【5套打包】长沙市初三九年级数学上(人教版)第24章圆检测试卷(解析版)

人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)
一、选择题
1.下列语句中,正确的是( )
A.长度相等的弧是等弧;等弧对等弦
B.在同一平面上的三点确定一个圆
C.直径是弦;半圆是劣弧
D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
答案 D 选项A中,长度相等的弧不一定是等弧,故A错误;选项B中,不在同一直线上的三点确定一个圆,故B错误;选项C中,直径是圆中最长的弦,半圆既不是优弧也不是劣弧,故C 错误;选项D中,三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,故D正确.故选D.
2.如图,已知☉O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是( )
A.6
B.5
C.4
D.3
答案 B 过O作OC⊥AB于C,由垂径定理得AC=BC=AB=12,在Rt△AOC中,由勾股定理得
OC=-=5.故选B.
3.如图,△ABC内接于☉O,∠OBC=40°,则∠A的度数为( )
A.80°
B.100°
C.110°
D.130°
答案 D 连接OC,如图所示,∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=40°,∴∠BOC=100°.∵∠1+∠BOC=360°,∴∠1=260°,∵∠A=∠1,∴∠A=130°.故选D.
4.如图,四边形ABCD内接于☉O,已知∠ADC=140°,则∠AOC的大小是( )
A.80°
B.100°
C.60°
D.40°
答案 A 因为∠ADC=140°,所以∠ABC=180°-∠ADC=40°,所以∠AOC=2∠ABC=80°.
5.如图,矩形ABCD的长为6,宽为3,点O1为矩形的中心,☉O2的半径为1,O1O2⊥AB于点P,O1O2=6,若☉O2绕点P按顺时针方向旋转360°,则在旋转过程中,☉O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现( )
A.3次
B.4次
C.5次
D.6次
答案 B 当☉O2与AD相切且位于AD上方时,有一个交点;当☉O2与AD相切且位于AD下方时,有一个交点;与BC相切时与AD情况相同,所以共出现4次,故选B.
6.如图,直径AB为12的半圆绕点A逆时针旋转60°,此时点B旋转到点B',则图中阴影部分的面积是( )
A.12π
B.24π
C.6π
D.36π
答案 B 因为以AB为直径的半圆绕点A逆时针旋转60°得到以AB'为直径的半圆,故S半圆
AB'=S半圆AB,则S阴影=S扇形BAB'+S半圆AB'-S半圆AB=S扇形BAB'===24π,故选B.
7.如图,已知线段OA交☉O于点B,且OB=AB,点P是☉O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案A连接OP,根据题意知,当OP⊥AP时,∠OAP的取值最大.在Rt△AOP 中,∵OP=OB,OB=AB,∴AO=2OP,∴∠OAP=30°.故选A.
8.如图,直线AB与☉O相切于点A,弦CD∥AB,E,F为圆上的两点,且∠CDE=∠ADF.若☉O的半
径为,CD=4,则弦EF的长为( )
A.4
B.2
C.5
D.6
答案 B 连接OA,并反向延长交CD于点H,连接OC,
∵直线AB与☉O相切于点A,∴OA⊥AB,
∵弦CD∥AB,∴OH⊥CD,
∴CH=CD=×4=2,
∵☉O的半径为,∴OA=OC=,
∴OH=-=,
∴AH=OA+OH=+=4,∴AC==2.
∵∠CDE=∠ADF,∴=,∴=,∴EF=AC=2.
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,☉P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被☉P截得的弦AB的长为4,则a的值是( )
A.4
B.3+
C.3
D.3+
答案B作如图所示的辅助线,易得OC=CD=3,AP=3,AE=2,故PE=DE=-=1,PD=,故a=PC=DC+PD=3+.
10.如图,已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连接PA、PB,则△PAB面积的最大值是( )
A.8
B.12
C.
D.
答案 C 如图,平移AB使其与☉C相切于P,此时P点距离AB最远,即△PAB的面积最大,连接AC,连接PC并延长交AB于H.因为PC是☉C的半径,MN∥AB,所以PH⊥AB.∵直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A点的坐标为(4,0),B点的坐标为(0,-3),则AB=5.∵S△ABC=·BC·AO=·AB·CH,∴CH=,∴PH=1+=,∴△PAB面积的最大值是×5×=,故选C.
二、填空题
11.“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”,这个命题用反证法证明应假设.
答案三角形中三个内角都小于60°
解析第一步应假设结论不成立,即三角形中三个内角都小于60°.
12.如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图,若∠AOB=120°,弧AB的长为12πcm,则该圆锥的侧面积为cm2.
答案108π
解析圆锥的侧面积就是所给扇形的面积,设扇形的半径为r cm,∵弧AB的长为12πcm,∴πr=12π,解得r=18,∴S=πr2=π×182=108π(cm2).另解:S=rl=×18×12π=108π(cm2).
13.如图,将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形.则S扇形= cm2.
答案4
解析由题意可知扇形的周长为8cm.因为半径r=2cm,所以弧长l=8-2×2=4(cm),所以S扇形=l·r=×4×2=4(cm2).
14.如图,点A、B、C、D都在☉O上,∠ABC=90°,AD=3,CD=2,则☉O的直径的长是.
答案
解析连接AC,∵点A、B、C、D都在☉O上,∠ABC=90°,∴∠ADC=180°-∠ABC=90°,AC是直径,∵AD=3,CD=2,∴AC==,即☉O直径的长是.
15.如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连接外圆上的两点A、B,并使AB与车轮内圆相切于点D,外圆的半径OC⊥AB于D,测得CD=
10cm,AB=60cm,则这个车轮的外圆半径为cm.
答案50cm
解析如图,连接OA,设半径为r cm,∵CD=10cm,AB=60cm,∴AD=AB=
30cm,OD=(r-10)cm,∴r2=(r-10)2+302,解得r=50.
∴这个车轮的外圆半径是50cm.
16.如图,两个同心圆,大圆的半径为5cm,小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB与小圆相交,则弦AB的取值范围是.
答案8<AB≤10
解析如图,当AB经过圆心时最长,此时AB=2×5=10.当AB与小圆相切于D时,利用勾股定理可得AD=4.利用垂径定理可得AB=8.根据直线与圆的位置关系可得,若大圆的弦AB与小圆相交,则8<AB≤10.
17.如图,在平面直角坐标系中,直线l经过原点O,且与x轴正半轴的夹角为30°,点M在x 轴上,☉M半径为2,☉M与直线l相交于A、B两点,若△ABM为等腰直角三角形,则点M的坐标为.
答案(2,0)或(-2,0)
解析过点M作MC⊥l,垂足为C,
∵△MAB是等腰直角三角形,∴MA=MB,且∠BAM=∠ABM=45°.∵MC⊥l,∴∠BAM=∠CMA=45°,∴AC=CM.
在Rt△ACM中,∵AC2+CM2=AM2,即2CM2=4,
∴CM=.在Rt△OCM中,∠COM=30°,
∴CM=OM,∴OM=2CM=2,∴M(2,0).
根据对称性知,若点M在x轴负半轴上,则点M(-2,0)也满足条件.
18.如图24-5-16,在☉O中,AB是直径,点D是☉O上一点,点C是的中点,CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q.连接AC.关于下列结论:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心,其中正确结论是(只需填写序号).
答案②③
解析如图,连接OD,∵DG是☉O的切线,∴∠GDO=90°.∴∠GDP+∠ADO=90°.在Rt△APE中,∠OAD+∠APE=90°,∵AO=DO,∴∠OAD=∠ADO.∴∠APE=∠GPD=∠GDP,∴GP=GD.结论②正
确.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAQ+∠AQC=90°.∵点C是的中点,∴∠CAQ=∠ABC.又∵∠ABC+∠BCE=90°.∴∠AQC=∠BCE,∴PC=PQ.∵∠ACP+∠BCE=90°,∠AQC+∠CAP=90°,∴∠CAP=∠ACP,∴AP=CP,∴AP=CP=PQ,∴点P是△ACQ的外心.所以结论③正确.由于不能确定∠BAD与∠ABC的关系,所以结论①不一定正确.故答案是②③.
三、解答题
19.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.点M在☉O上,MD恰好经过圆心O,连接MB.
(1)若CD=16,BE=4,求☉O的直径;
(2)若∠M=∠D,求∠D的度数.
答案(1)∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,CD=16,
∴DE=CD=8.
∵BE=4,∴OE=OB-BE=OD-4.
在Rt△OED中,OE2+ED2=OD2,
∴(OD-4)2+82=OD2,解得OD=10.
∴☉O的直径是20.
(2)∵弦CD⊥AB,∴∠OED=90°.
∴∠EOD+∠D=90°.
∵∠M=∠D,∠EOD=2∠M,
∴∠BOD+∠D=2∠M+∠D=90°.
∴∠D=30°.
20.如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点,以OA为半径的☉O与BC切于点D,与AC交于点E,连接AD.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若∠BAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积(结果保留π).
答案(1)证明:连接OD.
∵BC是☉O的切线,D为切点,
∴OD⊥BC.
又∵AC⊥BC,
∴OD∥AC,
∴∠ADO=∠CAD.
又∵OD=OA,
∴∠ADO=∠OAD,
∴∠CAD=∠OAD,即AD平分∠BAC.
(2)连接OE,ED.
∵∠BAC=60°,OE=OA,∴△OAE为等边三角形,
∴∠AOE=60°,∴∠ADE=30°.
又∵∠OAD=∠BAC=30°,∴∠ADE=∠OAD,
∴ED∥AO,
∴S△AED=S△OED,∠OED=∠AOE=60°,
∵OE=OD,∴△ODE为等边三角形,∴∠DOE=60°,
∴阴影部分的面积=S扇形ODE==π.
21.如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证:AB=AC;
(2)求证:DE为☉O的切线;
(3)若☉O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.
答案(1)证明:连接AD,∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,又BD=CD,
人教版九年级数学（上）第24章《圆》单元检测题
一．选择题
1．如图，AO是圆锥的高，圆锥的底面半径OB＝0.7，AB的长为2.5，则AO的长为（）
A．2.4 B．2.2 C．1.8 D．1.6
2．如图，OA为⊙O的半径，点P为OA的中点，Q为⊙O上的点，且∠APQ＝135°，若OA＝2，则PQ的长度为（）
A．B．C．3D．
3．若⊙O的半径为5cm，OA＝4cm，则点A与⊙O的位置关系是（）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．内含
4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝130°，则∠BOD＝（）
A．50°B．80°C．100°D．130°
5．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BOC＝50°，则∠A的度数是（）
A．25°B．20°C．80°D．100°
6．下列命题错误的是（）
A．经过平面内三个点有且只有一个圆
B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D．圆内接菱形是正方形
7．如图，A、B、C是半径为4的⊙O上的三点．如果∠ACB＝45°，那么的长为（）
A．πB．2πC．3πD．4π
8．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中线，以C为圆心，5cm为半径作⊙C，则点M与⊙C的位置关系为（）
A．点M在⊙C上B．点M在⊙C内
C．点M在⊙C外D．点M不在⊙C内
9．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是（）
A．6﹣πB．6﹣πC．12﹣πD．12﹣π
10．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，PA，PC均是⊙O的切线，若∠B＝40°，则∠P 的度数是（）
A．80°B．90°C．100°D．120°
11．如图，⊙O直径是10，弦AB长为8，M是AB上的一个动点，则OM的长度不可能是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．如图，⊙C过原点，且与坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣3，0），且M是第三象限内⊙C上一点，则∠BMO的度数为（）
A．100°B．110°C．120°D．130°
二．填空题
13．在边长为的正方形OABC中，D为边BC上一点，且CD＝1，以O为圆心，OD为半径作圆，分别与OA、OC的延长线交于点E、F，则阴影部分的面积为．
14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝1，则△PMN周长的最小值为．
15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为．
16．如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A、B、C、D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的外围周长为．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．
18．在⊙O中，直径AB＝4，PD与⊙O相切于点C，交AB的延长线与点D，且∠PDO＝30°，则劣弧的弧长为．
三．解答题
19．如图，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足B．
（1）若∠OAB＝40°，求∠C度数；
（2）若∠C＝30°，AC＝4，求⊙O的直径．
20．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB＝AC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）PC＝2，OA＝4，求⊙O的半径．
21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．
22．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
23．如图，AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点F，且与⊙O的切线CD互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠EAC＝∠CAB；
（2）若CD＝4，AD＝8，求⊙O的半径．
24．如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB＝10cm，BC＝8cm，CD平分∠ACB．
（1）求AC与BD的长；
（2）求四边形ADBC的面积．
25．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，点P是CD延长线上一点，连接PB、BD．（1）若BD平分∠ABP，求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接AP，延长BD交AP于点F，若BD⊥AP，AB＝，OP＝，求OE的长度．
参考答案
一．选择题
1．解：由勾股定理得，AO＝＝2.4，故选：A．
2．解：作OE⊥PQ于E，连接OQ．
∵AP＝OP＝1，∠APQ＝135°，
∴∠OPE＝45°，
∴OE＝PE＝，
在Rt△OQE中，
QE＝＝＝，
∴PQ＝PE+QE＝+＝，
故选：D．
3．解：∵⊙O的半径为5cm，OA＝4cm，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．
故选：A．
4．解：
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝130°，∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝50°，
由圆周角定理得，2∠A＝∠BOD＝100°，
故选：C．
5．解：∵∠BOC＝50°，
∴∠A＝∠BOC＝25°．
故选：A．
6．A、当三点在一直线上时，三点不共圆；故本项错误，符合题意；
B、三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点；它到三角形
三个顶点的距离都相等；故本选项正确，不符合题意；
C、因为在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系
中，只要有一组成立，则另外几组一定成立；故本选项正确，不符合题意；
D、因为在菱形中只有正方形外接圆；故本项正确，不符合题意；
故选：A．
7．解：如图，连接OA、OB．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝4，
∴的长是：＝2π．
故选：B．
8．解：∵由勾股定理得AB＝＝10cm，
∵CM是AB的中线，
∴CM＝5cm，
∴d＝r，
所以点M在⊙C上，
故选：A．
9．解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴正六边形ABCDEF的面积是：＝6×＝6，∠FAB＝∠EDC ＝120°，
∴图中阴影部分的面积是：6﹣＝，
故选：B．
10．解：连接OA，
∵∠B＝40°，
∴∠AOC＝2∠B＝80°，
∵PA，PC均是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OCP＝90°，
∴∠AOC+∠P＝180°，
∴∠P＝100°，
故选：C．
11．解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂线段最短可知当M于点D重合时OM最短，当OM是半径时最长，
∵，⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
∵弦AB的长为8，OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4，
在Rt△OAD中，
OD＝＝＝3，
∴当OM＝3时最短，
∴OM长的取值范围是：3≤OM≤5．
∴OM的长度不可能是2．
故选：D．
12．解：∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣3，0），
∴OA＝3，OB＝3，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝60°，
∵四边形ABMO是圆内接四边形，
∴∠BMO＝120°，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．解：在Rt△OCD中，OD＝＝＝2，∴∠COD＝30°，
在Rt△COD和Rt△AOG中，
，
∴Rt△COD≌Rt△AOG（HL）
∴AG＝CD＝1，∠AOG＝∠COD＝30°，
∴∠DOG＝30°，
∴阴影部分的面积＝×﹣×1××2﹣＝3﹣﹣，故答案为：3﹣﹣．
14．解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，
则MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点，PM+PN的最小值＝MN′，
∵∠MAB＝20°，
∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，
∵N是弧MB的中点，
∴∠BON＝∠MOB＝×40°＝20°，
由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，
∴∠MON′＝∠MOB+∠N′OB＝40°+20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，
∴MN′＝OM＝OB＝AB＝＝4，
∴△PMN周长的最小值＝1+4＝5，
故答案为：5．
15．解：连接OD，
∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，
∴DE＝CE＝CD＝×8＝4，∠OED＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝5，即⊙O的半径为5．
故答案为：5．
16．解：如图，连接AF、DF，
由圆的定义，AD＝AF＝DF，
所以，△ADF是等边三角形，
∵∠BAD＝90°，∠FAD＝60°，
∴∠BAF＝90°﹣60°＝30°，
同理，弧DE的圆心角是30°，
∴弧EF的圆心角是90°﹣30°×2＝30°，
∴＝，
由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，
所以，图中阴影部分的外围周长＝×4＝π．故答案为：π．
17．解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，
∴S
阴影＝S
矩形
﹣S
四分之一圆
＝2×3﹣π×22＝6﹣π，
故答案为：6﹣π
18．解：∵PD切⊙O于C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠PDO＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵直径AB＝4，
∴半径是2，
∴劣弧的弧长是＝，故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．解：（1）∵AB⊥CD，∠OAB＝40°，∴∠AOB＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠CAO，
∴∠AOB＝2∠C＝50°，
∴∠C＝25°；
（2）连接AD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∵∠C＝30°，AC＝4，
∴CD＝AC＝2．
∴⊙O的直径是2．
20．（1）证明：连结OB，如图，
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
∵OA⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°，
∵OB＝OP，
∴∠4＝∠5，
而∠3＝∠4，
∴∠5+∠2＝90°，
∴∠5+∠1＝90°，即∠OBA＝90°，
∴OB⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥PB于H，如图，则BH＝PH，
设⊙O的半径为r，则PA＝OA﹣OP＝4﹣r，
在Rt△PAC中，AC2＝PC2﹣PA2＝（2）2﹣（4﹣r）2，在Rt△OAB中，AB2＝OA2﹣OB2＝42﹣r2，
而AB＝AC，
∴（2）2﹣（4﹣r）2＝42﹣r2，解得r＝1，
即⊙O的半径为1．
21．（1）证明：如图．
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B．
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD＝×4＝2，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，∴r2＝（2）2+（r﹣2）2，
解得：r＝3，
∴⊙O的半径为3．
22．证明：（1）连接OC，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D，
又∵∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝（180°﹣∠ACD）＝30°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠1＝30°，
∴∠COD＝60°，
又∵∠D＝30°，
∴∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠A＝30°，
∴∴∠1＝2∠A＝60°∠1＝2∠A＝60°．
∴∴，
在Rt△OCD中，．
∴．∴图中阴影部分的面积为2﹣π．
23．（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AE，
∴OC∥AE，
∴∠1＝∠3，
∵OC＝OA，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
即∠EAC＝∠CAB，
（2）解：①连接BC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°
∵∠1＝∠2，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∵AC2＝AD2+CD2＝42+82＝80，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为10÷2＝5．
24．解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝6（cm），
∵CD平分∠ACB，
∴BD＝AD＝AB＝5（cm）；
（2）四边形ADBC的面积＝△ABC的面积+△ADB的面积＝×6×8+×5×5＝49（cm2）．
25．（1）证明：连接BC，BO，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DBE＝∠C＝90°﹣∠CDB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∵∠PBD＝∠EBD，
∴∠PBD＝∠OBC，
∴∠PBO＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，BO，
∵CD是⊙O的直径，
∴BC⊥BD，
∵BD⊥AP，
∴AP∥BC，
∴∠C＝∠APC，
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AE＝BE，
∴AP＝BP，
∴∠APC＝∠BPC，
∴∠C＝∠BPC，
∴CE＝PE，
设OE＝x，CO＝BO＝r，
∴r+x＝﹣x，
∴r＝﹣2x，
∵AB＝，
∴BE＝AB＝，
在Rt△BEO中，BO2＝OE2+BE2，即（﹣2x）2＝x2+（）2，解得：x＝，x＝（不合题意，舍去），
∴OE＝．
人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(9)
一．解答题
1．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E 是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
3．如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切．
（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积．
4．如图，B是⊙O外一点，连接OB，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．
（Ⅰ）求证：AD平分∠BAC；
（Ⅱ）若⊙O的半径为4，OB＝7，求AC的长．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：BC＝BH；
（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．
6．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，交AC于点D，其中DE∥OC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若AD＝，且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD的长．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB 于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，∠ABC＝30°，求阴影部分面积．
8．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE
（1）求证：∠C＝∠BED；
（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）
9．如图，AB是⊙O的一条弦，点E是AB的中点，过点E作EC⊥AO于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：BD＝DE；
（2）若∠BDE＝60°，DE＝，求⊙O的半径．
10．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D为⊙O上一点，连结AD、OD、BD，∠A＝∠B＝30°．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若OA＝5，求OA、OD与AD围成的扇形的面积．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的长．
12．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN 交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E （1）求证：EM是圆O的切线；
（2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度；
（3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度．
13．如图，AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，CO交AB于点，其中AC＝AD，AD的延长线交过点B的切线BM于点E．
（1）求证：CD∥BM；
（2）连接OE交CD于点G，若DE＝2，AB＝4，求OG的长．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（3）若CD＝1，EF＝，求AF长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AQ＝AC，AD＝4时，求BP的长．
参考答案一．解答题
1．（1）证明：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AH，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH＝，
∴DB＝2DH＝2，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴，
∴AD＝5．
∴⊙O的半径为．
2．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴＝4，
∵点D是AC的中点，
∴，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BCD中，＝＝2，在Rt△BED中，BE＝＝＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴，即，
∴．
3．（1）证明：如图1，连接OE，
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OED，
∵AD＝AG，
∴∠D＝∠G，
∴∠OED＝∠G，
∴OE∥AG，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵EF∥AB，
∴∠BAF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝90°，
∵OE∥AG，
∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴OE⊥EF，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∵AC＝4，
∴CH＝，
∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴，
在Rt△OHC中，
OC＝＝＝4，
∵OA＝AC＝OC＝4，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
＝＝．
∴S
扇形OAC
4．（Ⅰ）证明：连OD，如图，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
∵AC⊥BD，
∴OD∥AC．
∴∠2＝∠3，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠3．
∴∠1＝∠2，
即AD平分∠BAC；
（Ⅱ）解：∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴，即．
解得AC＝．
5．（1）证明：连接OE，如图，
∵AC为切线，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∵EH＝EC，
在Rt△BEH和Rt△BEC中
∴Rt△BEH≌Rt△BEC（HL），
∴BC＝BH；
（2）在Rt△ABC中，BC＝＝3，
设OE＝r，则OA＝5﹣r，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，解得r＝，
∴AO＝5﹣r＝，
在Rt△AOE中，AE＝＝，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．
6．（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵DE∥OC，
∴∠DEB＝∠COB，∠DOC＝∠ODE．
∵∠ODE＝∠OED，
∴∠DOC＝∠BOC．
∵OD＝OD，OC＝OC，
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
∴∠ODA＝90°．
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，∴AB•AE＝k，
如图2，连接DB，
∵EB是⊙O的直径，
∴∠EDB＝90°，
∴∠DEB+∠EBD＝90°，∵AD是⊙O的切线，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADE+∠EDO＝90°，∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO，
∴∠ADE＝∠EBD，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
∴AD2＝AE•AB，
∵，
∴，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴x
1＝3，x
2
＝1，
∴AE＝1，AB＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
∴⊙O的半径为1．
∵∠B＝90°，AC是⊙O的切线，
∴DC＝BC，
设CD＝x，在Rt△ABC中，AC＝x+，AB＝3，BC＝x，∴，
解得：x ＝
．
∴． 7．（1）证明：连接OD ，如图所示．：
在Rt △ADE 中，点O 为AE 的中心，
∴DO ＝AO ＝EO ＝AE ，
∴点D 在⊙O 上，且∠DAO ＝∠ADO ．
∵AD 平分∠CAB ，
∴∠CAD ＝∠DAO ，
∴∠ADO ＝∠CAD ，
∴AC ∥DO ，
∵∠C ＝90°，
∴∠ODB ＝90°，即OD ⊥BC ，
∵OD 为半径，
∴BC 是⊙O 的切线；
（2）解：∵⊙O 的直径为4，
∴AE ＝4，DO ＝AO ＝EO ＝AE ＝2，
∵∠ABC ＝30°，
∴∠CAD ＝∠DAO ＝30°，
∴CD ＝AD ，DE ＝AE ＝2，AD ＝
＝＝2， ∴CD ＝，AC ＝
＝＝3， ∵tan ∠ABC ＝
， ∴BC ＝＝＝3，
∴阴影部分面积＝S △ABC ﹣S 梯形ODCA ﹣S 扇形ODE ＝AC •BC ﹣（OD +AC ）•CD ﹣＝×3×3﹣（2+3）×﹣＝2﹣．
8．（1）证明：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AC切⊙O于点A
∴CA⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABD＝90°，
而∠DAB+∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝∠C，
∵∠DAB＝∠BED，
∴∠C＝∠BED；
（2）解：连接OD，如图，
∵∠BED＝∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠BED＝100°，
∴的长度＝＝．
9．（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵EC⊥AO，
∴∠ACE＝90°，
∴∠A+∠AEC＝90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∴∠OBA+∠DBE＝90°，
∴∠AEC＝∠DBE，
∵∠AEC＝∠BED，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（2）解：连接OE，
∵OA＝OB，E是AB的中点，
∴∠OEB＝90°，
∵BD＝DE，∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，∠OBE＝30°，
∴BE＝DE＝，
∴OB＝＝＝2．
10．解：（1）证明：∵∠ADO＝∠BAD＝30°，∴∠DOB＝60°
∵∠ABD＝30°，
∴∠ODB＝90°
∴OD⊥BD．
∵点D为⊙O上一点，
∴BD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠DOB＝60°，
∴∠AOD＝120°．
∵OA＝5，
∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为．11．（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BA C＝30°，
∴BD＝AB＝＝4．
12．（1）证明：连接FO，
∵CN＝AC，
∴∠CAN＝∠CNA，
∵AC∥ME，
∴∠CAN＝∠MFN，
∵∠CAN＝∠FNM，
∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN，
∵CD⊥AB，
∴∠HAN+∠HNA＝90°，
∵AO＝FO，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，
∴EM是圆O的切线；
（2）解：连接OC，
∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝4a，AH＝3a，
∵CA＝CN，
∴NH＝a，
∴AN＝＝＝a＝3，∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12，
设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，
在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9，
由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2，
解得：r＝，
∴圆O的直径为25；
（3）∵CH＝DH＝12，
∴CD＝24，
∵AC：CD＝5：8，
∴CN＝AC＝15，
∴DN＝24﹣15＝9，
∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA，
∴△FND∽△CNA，
∴，
∵AN＝3，
∴FN＝．
13．（1）证明：∵AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BM，
∵AC＝AD，
∴＝，
∴AB⊥CD，
∴CD∥BM；
（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AE，
∵AB⊥BE，
∴AB2＝AD•AE，
∴（4）2＝AD（AD+2），
∴AD＝8（负值舍去），
∴AE＝10，
∴BE＝＝＝2，
∴OE＝＝2，
∵DF⊥AB，BE⊥AB，
∴DF∥BE，
∴＝，
∴＝，
∴OF＝AF﹣OA＝，
∵FG∥BE，
∴＝，
∴＝，
∴OG＝．
14．证明：（1）如图1，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连结DE．
∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC＝EH．
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠HFE．
在△CDE与△HFE中，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF．
（3）解：由（2）得CD＝HF，又CD＝1，
∴HF＝1，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠EHF＝∠BEF＝90°，
∵∠EFH＝∠BFE，
∴△EHF∽△BEF，
∴，即，
∴BF＝10，
∴OE＝BF＝5，OH＝5﹣1＝4，
∴Rt△OHE中，cos∠EOA＝，
∴Rt△EOA中，cos∠EOA＝，
∴，
∴OA＝，
∴AF＝．
15．解：（1）连接DC，
∵＝，
∴∠DCA＝∠DOA，
∵∠ADQ＝∠DOQ，
∴∠DCA＝∠ADQ，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°
∴∠DCA+∠DAC＝90°，
∵∠ADQ+∠DAC＝90°，∠ADO＝∠DAO，∴∠ADQ+∠ADO＝90°，
∴DP是⊙O切线；
（2）∵∠C＝90°，OC为半径．
∴PC是⊙O切线，
∴PD＝PC，
连接OP，
∴∠DPO＝∠CPO，
∴OP⊥CD，
∴OP∥AD，
∵AQ＝AC＝2OA，
∴＝＝，
∵AD＝4，。