高中全程复习配套课件平面向量的数量积苏教数学理ppt文档
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
①定义：已知如图，两个__非__零__向__量___a和b， OA＝a,OBb，则 向量a与b的夹角是__或 __ __A_O_B _.
②范围：向量a与b的夹角的范围是_0_°___≤__θ__≤__1_8_0_°__. ③当＝0时,a与b_同__向___. 当＝180时,a与b_反__向___. 当 90时,a与b__垂__直__.
【即时应用】 (1)已知正三角形ABC的边长为1，则
① A B A C _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② AB在AC方向上的投影为_________. (2)已知 a1 ， b2， ab1 ， 则向量 a 与 b 的夹角θ等于_______.
【解析】(1) ① A B A C A B A C c o s A 1 1 c o s 6 0 1 .
(请在括号内填“真”或“假”)
① ab225
②若θ为向量 a、 b的 夹 角 ， 则 cos10
10
③若 aab,则 1 ④ ab4ab18
() () () ()
【解析】① a b 1 2 1 2 2 2 4 2 2 2 5 , 故 ① 真 .
② c o s a b 1 2 ( 1 ) 4 2 1 0 ,② 真 .
(2)(2011·湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中，设
B C 2 B D ， C A 3 C E ， 则 A D B E _ _ _ _ _ _ .
(3)(2011·辽宁高考改编)已知向量 a 2 ,1 ,b 1 ,k ,
a 2 a b ,则 a b a b _ _ _ _ _ _ .
答案： 3
(2)由题意画出图形如图所示，取基底 AB，A结C， 合图形可得
A D 1 ( A B A C ) ， B E A E A B 2 A C A B ， A D B E
结论 模
几何表示
| a| a a
坐标表示
|a| x12y12
数量积
夹角
a b的 充要条件
ab |a||b|cos cos a b
| a || b | a b0
abx 1 x 2y 1 y 2 cos x1x2y1y2
x12y12 x22y22 x1x2+y1y2=0
| a b | 与 | a || b | 的关系
【解题指南】(1)借助 |a 2 b |2 ( a 2 b )( a 2 b )
求解；(2)用基向量 AB、 A表C示向量 A(3D)、借BE助；
a 2ab进0而求 求k， (ab) ab .
【规范解答】 (1 )|a2 b|2a24 ab4 b2 1 24 (1)
2 4 1 23 ， a2 b3 .
3向量的投影
设为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是_|_a_|_c_o_s__；向量 b在a方向上的投影是 __|_b_|_c_o_s__ .
4数量积的几何意义：数量积a b等于_a_的 __长 __度 __|_a_|_ 与__b_在 _a_的 __方 __向 ___
__上 __的 __投 _影 ___|b __|c _o _s _ __的乘积.
答案：①真 ②真 ③真 ④真
3.平面向量数量积的运算律
1交换律： a b___b _a__; 2数乘结合律： (a) b__(_a_b_)_ _a_(__b_)_; 3分配律： a (bc) __a_b__a__c_.
【即时应用】
(1)思考： abc与a(bc) 相等吗？
提示：不一定相等， a b,均bc为实数， ∴ ( a b ) c c ， a ( b c ) a , 不( a 一b ) 定c 与 相a ( 等b c .)
2.利用数量积求解长度问题常借助的式子
1a2
a
a
a
2
或a
a a.
2 ab
2
2
2
a b a 2a bb .
3若a x,y,则a x2 y2.
【例1】(1)(2011·大纲版全国卷改编)设向量 a ，b 满足
a b 1 ,ab 1 ， 则 a 2 b _ _ _ _ _ _ . 2
高中全程复习配套课件平面向量的数量积苏教数学理
…………三年3考 高考指数:★★★★
内容 A
平面向量的数量积 平面向量的平行与垂直
要求
B
C
√
√
1.平面向量的数量积
1数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，
则向量a与b的数量积是_|_a_|_|b__|c_o_s__，记作a b.
2向量的夹角
2
② AB在方AC向上的投影为
ABcosA1cos601. 2
(2) cosab 1 1,
a b 12 2
且0°≤θ≤180°,∴θ=60°.
答案： 1 ② 1 260
22
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量 a x 1 ,y 1 ， b x 2 ,y 2 ， θ为向量 a , b 的夹角.
|ab||a||b（ | 当且仅当 a b时等号成立）
x 1 x 2 y 1 y 2x 1 2 y 1 2
x 2 2 y 2 2
【即时应用】
(1)思考：若 a b0，是否说明向量 a和 b 的夹角为钝角？ 提示：不一定，也可能是平角.
(2)已知 a 1 ， 1 ， b 2 ,4 ,判断下列命题的真假.
(2)若非零向量 a ，b 满足 ab， 2abb0 ， 则 a与 b 的夹角
为______.
【解析】设 a , 的b 夹角为θ，
(2ab)b0 ， 2abb20 ，
2
2abcosb0,又ab0 ， 0180， cos1,120.
2
答案：120°
平面向量数量积的运算 【方法点睛】 1.平面向量的数量积题目类型及求法 (1)已知向量 a 、b 的模及夹角θ，利用公式 ababcos 求解； (2)已知向量 a 、b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解.
|a ||b | 22 0 2 2 5 1 0
③ a b 1 , 1 2 , 4 2 1 , 4 1 ，
aa b 2 1 4 1 2 2 0 ，
1 ,③ 真 .
④ ab3 ,3 ,4 ab41 , 1 2 ,46 ,0，
(ab )4 ab3 6 3 0 1 8 ,④ 真 .
②范围：向量a与b的夹角的范围是_0_°___≤__θ__≤__1_8_0_°__. ③当＝0时,a与b_同__向___. 当＝180时,a与b_反__向___. 当 90时,a与b__垂__直__.
【即时应用】 (1)已知正三角形ABC的边长为1，则
① A B A C _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② AB在AC方向上的投影为_________. (2)已知 a1 ， b2， ab1 ， 则向量 a 与 b 的夹角θ等于_______.
【解析】(1) ① A B A C A B A C c o s A 1 1 c o s 6 0 1 .
(请在括号内填“真”或“假”)
① ab225
②若θ为向量 a、 b的 夹 角 ， 则 cos10
10
③若 aab,则 1 ④ ab4ab18
() () () ()
【解析】① a b 1 2 1 2 2 2 4 2 2 2 5 , 故 ① 真 .
② c o s a b 1 2 ( 1 ) 4 2 1 0 ,② 真 .
(2)(2011·湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中，设
B C 2 B D ， C A 3 C E ， 则 A D B E _ _ _ _ _ _ .
(3)(2011·辽宁高考改编)已知向量 a 2 ,1 ,b 1 ,k ,
a 2 a b ,则 a b a b _ _ _ _ _ _ .
答案： 3
(2)由题意画出图形如图所示，取基底 AB，A结C， 合图形可得
A D 1 ( A B A C ) ， B E A E A B 2 A C A B ， A D B E
结论 模
几何表示
| a| a a
坐标表示
|a| x12y12
数量积
夹角
a b的 充要条件
ab |a||b|cos cos a b
| a || b | a b0
abx 1 x 2y 1 y 2 cos x1x2y1y2
x12y12 x22y22 x1x2+y1y2=0
| a b | 与 | a || b | 的关系
【解题指南】(1)借助 |a 2 b |2 ( a 2 b )( a 2 b )
求解；(2)用基向量 AB、 A表C示向量 A(3D)、借BE助；
a 2ab进0而求 求k， (ab) ab .
【规范解答】 (1 )|a2 b|2a24 ab4 b2 1 24 (1)
2 4 1 23 ， a2 b3 .
3向量的投影
设为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是_|_a_|_c_o_s__；向量 b在a方向上的投影是 __|_b_|_c_o_s__ .
4数量积的几何意义：数量积a b等于_a_的 __长 __度 __|_a_|_ 与__b_在 _a_的 __方 __向 ___
__上 __的 __投 _影 ___|b __|c _o _s _ __的乘积.
答案：①真 ②真 ③真 ④真
3.平面向量数量积的运算律
1交换律： a b___b _a__; 2数乘结合律： (a) b__(_a_b_)_ _a_(__b_)_; 3分配律： a (bc) __a_b__a__c_.
【即时应用】
(1)思考： abc与a(bc) 相等吗？
提示：不一定相等， a b,均bc为实数， ∴ ( a b ) c c ， a ( b c ) a , 不( a 一b ) 定c 与 相a ( 等b c .)
2.利用数量积求解长度问题常借助的式子
1a2
a
a
a
2
或a
a a.
2 ab
2
2
2
a b a 2a bb .
3若a x,y,则a x2 y2.
【例1】(1)(2011·大纲版全国卷改编)设向量 a ，b 满足
a b 1 ,ab 1 ， 则 a 2 b _ _ _ _ _ _ . 2
高中全程复习配套课件平面向量的数量积苏教数学理
…………三年3考 高考指数:★★★★
内容 A
平面向量的数量积 平面向量的平行与垂直
要求
B
C
√
√
1.平面向量的数量积
1数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，
则向量a与b的数量积是_|_a_|_|b__|c_o_s__，记作a b.
2向量的夹角
2
② AB在方AC向上的投影为
ABcosA1cos601. 2
(2) cosab 1 1,
a b 12 2
且0°≤θ≤180°,∴θ=60°.
答案： 1 ② 1 260
22
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量 a x 1 ,y 1 ， b x 2 ,y 2 ， θ为向量 a , b 的夹角.
|ab||a||b（ | 当且仅当 a b时等号成立）
x 1 x 2 y 1 y 2x 1 2 y 1 2
x 2 2 y 2 2
【即时应用】
(1)思考：若 a b0，是否说明向量 a和 b 的夹角为钝角？ 提示：不一定，也可能是平角.
(2)已知 a 1 ， 1 ， b 2 ,4 ,判断下列命题的真假.
(2)若非零向量 a ，b 满足 ab， 2abb0 ， 则 a与 b 的夹角
为______.
【解析】设 a , 的b 夹角为θ，
(2ab)b0 ， 2abb20 ，
2
2abcosb0,又ab0 ， 0180， cos1,120.
2
答案：120°
平面向量数量积的运算 【方法点睛】 1.平面向量的数量积题目类型及求法 (1)已知向量 a 、b 的模及夹角θ，利用公式 ababcos 求解； (2)已知向量 a 、b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解.
|a ||b | 22 0 2 2 5 1 0
③ a b 1 , 1 2 , 4 2 1 , 4 1 ，
aa b 2 1 4 1 2 2 0 ，
1 ,③ 真 .
④ ab3 ,3 ,4 ab41 , 1 2 ,46 ,0，
(ab )4 ab3 6 3 0 1 8 ,④ 真 .