2018学年高中数学人教B版必修4课件：2-2-2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 精品

[再练一题] 1.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一 象限，D为AC的中点，分别求向量A→B，A→C，B→C，B→D的坐标.
【导学号：72010057】
【解】 如图，正三角形ABC的边长为2，
则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， ∴C(1， 3)，D12， 23， ∴A→B＝(2,0)，A→C＝(1， 3)， B→C＝(1－2， 3－0)＝(－1， 3)， B→D＝12－2， 23－0＝－32， 23.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同.( )
【解析】 (1)错误.对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样. (2)正确.根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终 点坐标. (3)错误.根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关. (4)错误.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
【自主解答】 (1)D→A＝D→C＋C→B＋B→A ＝－C→D－B→C－A→B ＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3) ＝(－1－m，－7－n).
(2)12A→B ＝12(O→B－O→A)
＝12－5，－1－3，－2 ＝12(－8,1)＝－4，12，∴12A→B＝－4，12.
【答案】 (1)B (2)A (3)∵A→B＝(－2,10)，B→C＝(－8,4)，A→C＝(－10,14)， ∴A→B＋2B→C＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)， B→C－12A→C＝(－8,4)－12(－10,14) ＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3).
平面向量坐标的线性运算的方法： (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量 的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
[再练一题] 2.已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b. 【解】 (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
x2＝cos 120°＝－12， y2＝sin 120°＝ 23， 所以D－12， 23. 所以A→B＝ 23，12，A→D＝－12， 23.
求点、向量坐标的常用方法： (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向 量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标. (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐 标减去始点坐标即得该向量的坐标.
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ).
∵A→P ＝A→B ＋λA→C ，
∴xy－ －23＝ ＝31＋ ＋57λλ， ， 则xy＝ ＝54＋ ＋57λλ， .
(1)若P在一、三象限角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12， 即λ＝12时，点P在一、三象限角平分线上. (2)若P在第三象限内，则45＋＋75λλ<<00，， ∴λ<－1. 即λ<－1时，点P在第三象限内.
探究3 已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分 别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点C的横坐标的取值范围是什么？
图2-2-16 【提示】 当ABCD为平行四边形时，则A→C＝A→B＋A→D＝(2,0)＋(1,1)＝(3,1)， 故满足条件的顶点C的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞).
阶
阶
段
段
一
三
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算. 3.会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关 向量共线、直线平行及点共线等问题.(重点、难点)
[基础·初探] 教材整理1 向量的正交分解及坐标表示 阅读教材P99～P100“例1”以上内容，完成下列问题. 一、向量的正交分解及坐标B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1)， 即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标
已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与
→ AB
________. 【解析】 易得A→B＝(2,0)，
由a＝(x＋3，x2－3x－4)与A→B相等得
1.向量的正交分解：
2.向量的直角坐标： (1)在直角坐标系内，分别取与x轴和y轴方向 相同 的两个单位向量e1，e2，则 对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是 向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝ (a1，a2) . (2)向量的坐标：设点A的坐标为(x，y)，则O→A＝ (x，y) .符号(x，y)在直角坐标 系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量.
)
A.－4，12
B.4，－12
C.－1，－32
D.(8,1)
(3)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求A→B＋2B→C，B→C
－12A→C的坐标.
【精彩点拨】 (1)可利用向量加法的三角形法则将D→A分解为D→C＋C→B＋B→A来 求解.
(2)可借助A→B＝O→B－O→A来求12A→B坐标. (3)可利用A→B＝(xB－xA，yB－yA)来求解.
已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10).若A
→
P
＝A
→
B
＋λA
→
C
(λ∈R)，试求λ为
何值时，
(1)点P在一、三象限角平分线上；
(2)点P在第三象限内.
【精彩点拨】 解答本题可先用λ表示点P的横、纵坐标，再根据条件列方程 或不等式求解.
【自主解答】 设点P的坐标为(x，y)，
则A→P ＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)， A→B ＋λ·A→C ＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]
平面向量的坐标运算
(1)设A→B＝(2,3)，B→C＝(m，n)，C→D＝(－1,4)，则D→A＝( ) A.(1＋m,7＋n) B.(－1－m，－7－n) C.(1－m,7－n) D.(－1＋m ，－7＋n)
(2)已知向量O→A＝(3，－2)，O→B＝(－5，－1)，则向量12A→B的坐标是(
x＋3＝2， x2－3x－4＝0，
解得x＝－1.
【答案】 －1
相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________
图2-2-17
【解析】 以向量a的终点为原点，以过该点的水平和竖直的网格线所在直 线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－ 1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3).由c＝λa＋ μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则μλ＝4.
教材整理2 向量的直角坐标运算
阅读教材P100～P102内容，完成下列问题.
向量的 加、减法
实数与向 量的积
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2) ，a－b ＝ (a1－b1，a2－b2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐 标的和与差 若a＝(a1，a2)，λ∈R，则λa＝(λa1，λa2) ，即数乘向量的积的坐标 等于数乘以向量相应坐标的积
【答案】 4
[构建·体系]
1.已知点A(1，－3)，A→B的坐标为(3,7)，则点B的坐标为( )
A.(4,4)
B.(－2,4)
C.(2,10)
D.(－2，－10)
【解析】
设点B的坐标为(x，y)，由
＝(1,3)，所以yx－＋52＝＝31，， 解得xy＝ ＝－ 8，1，
所以点B的坐标为(－1,8).
(2)如题干图，O→C＝－O→A＝－(－1，－1)＝(1,1)，
由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以O→B＝(1，－1)，
同理O→D＝(－1,1).
【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1,1) (－1,1) (3)由题意知B, D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点.设 B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定义， 得x1＝cos 30°＝ 23，y1＝sin 30°＝12， 所以B 23，12.
图2-2-14
(3)如图2-2-15，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角， 求点B和点D的坐标和A→B与A→D的坐标.
图2-2-15
【精彩点拨】 表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量
的坐标
【自主解答】
(1)设B的坐标为(x，y)，
→ AB
＝(x，y)－(－2,5)＝(x＋2，y－5)
[探究共研型]
向量坐标运算的综合应用 探究1 已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及 O→P ＝ O→A ＋t A→B .当t为何值时，点P 在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ 【提示】 ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t). 若点P在x轴上，则2＋3t＝0， ∴t＝－23. 若点P在y轴上，则1＋3t＝0， ∴t＝－13.
若点P在第二象限，则21＋＋33tt><00，， ∴－23<t<－13.
探究2 对于探究1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.
【提示】 ∵O→A＝(1,2)，P→B＝(3－3t,3－3t). 若四边形OABP为平行四边形， 则O→A＝P→B， ∴33－－33tt＝＝21，， 该方程组无解. 故四边形不能成为平行四边形.
解惑：________________________________________________________
[小组合作型] 平面向量的坐标表示
(1)已知A→B＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为( )
A.(1,8)
B.(－1,8)
C.(3,2)
D.(－3,2)
(2)如图2-2-14，在正方形ABCD中，O为中心，且 O→A ＝(－1，－1)，则 O→B ＝ ________；O→C＝________；O→D________.
1.解答本题可用待定系数法，此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未 知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，此方法是待定系数法的基本形式， 也是方程思想的一种基本应用.
2.坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的 向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.
[再练一题] 3.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2-2-17所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈ R)，则μλ＝________.