衡水名师卷2023-2024高考模拟压轴卷(二)数学含答案解析

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数学（二）
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码､考场号､座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知点()06,P y 在焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>上，若15
2
PF =，则p =（）
A.3
B.6
C.9
D.12
2.电影《孤注一郑》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（）
A.6人
B.9人
C.12人
D.18人
3.已知0a b c >>>，则下列说法一定正确的是（）A.a b c >+ B.2a bc <C.2
ac b > D.2ab bc b ac
+>+4.已知向量()()2,3,1,2a b =-=-
，则a b +
在a b -
方向上的投影向量为（）
A.816,1717⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ B.1220,1717⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ C.1220,1717⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ D.2020,1717⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
5.已知某正六棱柱的体积为，其外接球体积为205π
3
，若该六棱柱的高为整数，则其表面积为（）
A.18
+ B.18
+ C.24
+ D.24
6.已知甲､乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是()()cos 03πf x x x =
的图像.某日小明和小红分别从甲､乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点
记为(),a b ，小红行走轨迹的点记为(),c d ，且满足3π2
a
c +=，函数()2g a b
d =-，则()g a 的一个单调递减区间为（
）
A.4π0,
3⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B.π5π,33⎛⎫
⎪⎝⎭
C.4π8π,33⎛⎫
⎪⎝⎭
D.()
2π,3π7.已知椭圆22
:1(09,)9x y C m m m +=<<∈Z 的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上但不在坐标轴上，且
12PF F 是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为
7
8
，则m =（）
A.4
B.5
C.6
D.8
8.已知函数()()e eln e 1x
m
f x m x x
=++-的定义域为()0,∞+，若()f x 存在零点，则m 的取值范围为（
）
A.1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭
B.(]
0,e C.10,e ⎛⎤
⎥⎝⎦
D.[)
e,∞+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知1232i,4i z z =+=-，则（）
A.12z z +的虚部为-1
B.1243z z -是纯虚数
C.12z z 在复平面内所对应的点位于第一象限
D.
2
14i
z z =+10.已知()7
2
7
0127(43)13(13)(13)x a a x a x a x -=+-+-++- ，则（）
A.4945
a = B.
7
71
41
i
i a
==-∑
C.136
024622
a a a a +++=+ D.613
135722
a a a a +++=-11.设()M x 是定义在*N 上的奇因函数，是指x 的最大奇因数，比如：()()33,63M M ==，()81M =，则（
）
A.对()()*
,212k M k M k ∈-N
B.()()
2M k M k =C.()()()1263931M M M +++= D.()126363
M +++= 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合{
}
2
450,{}A x
x x B x x m =-->=>∣∣，若0m =，则()
A B ⋂=R ð__________；若A B ⋃=R ，则m 的取值范围为__________.
13.某校拟开设“生活中的数学”“音乐中的数学”“逻辑推理论”“彩票中的数学”和“数学建模”5门研究性学习课程，要求每位同学选择其中2门进行研修，记事件A 为甲､乙两人至多有1门相同，且甲必须选择“音乐中的数学”，则()P A =__________.
14.定义：对于函数()f x 和数列{}n x ，若()()()10n n n n x x f x f x +-+='，则称数列{}n x 具有“()f x 函数性质”.已知二次函数()f x 图像的最低点为()0,4-，且()()121f x f x x +=++，若数列{}n x 具有“()f x 函数性质”，且首项为1的数列{}n a 满足()()ln 2ln 2n n n a x x =+--，记{}n a 的前n 项和为n S ，则数列
52n n S ⎧⎫
⎛⎫⋅-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中c =，且()
2tan tan tan b B a B A B =-+.（1）求C ；
（2）求22a b +的取值范围.16.（15分）
已知函数()ln x f x x a x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
.（1）讨论()f x 的最值；
（2）若1a =，且()e x k x
f x x
- ，求k 的取值范围.
17.（15分）
在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE 为菱形，现沿AC 进行翻折，使得AB ⊥平面ACDE ，过点E 作EF
∥
AB ，且1
2
EF AB =
，连接,,FD FB BD ，所得图形如图②所示，其中G 为线段BD 的中点，连接FG .
（1）求证：FG ⊥平面ABD ；
（2）若2AC AD ==，直线FG 与平面BCD 所成角的正弦值为7
，求AB 的值.18.（17分）
某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销售情况进行统计，如图所示.
（1）求a 的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择4天，记汽车销售量在区间[)200,250内的天数为X ，求X 的分布列及数学期望；
（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有,A B 两个盒子，其中A 盒中放有9张金卡､1张银卡，B 盒中放有2张金卡､8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.19.（17分）
已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左顶点为A ，直线1:2l y x =-与C 的一条渐近线平行，且与C
交于点B ，直线AB 的斜率为13
.（1）求C 的方程；
（2）已知直线()2:28l y x m m =+≠与C 交于,P Q 两点，问：是否存在满足EA EP EP EQ EA EQ ⋅=⋅=⋅
的点()00,E x y ？若存在，求2
2
00x y -的值；若不存在，请说明理由.
数学（二）
一､选择题
1.A
【解析】由抛物线的定义可知15
622
p PF =+
=，解得3p =.故选A 项.2.B
【解析】设中年人抽取x 人，青少年抽取y 人，由分层随机抽样可知
20080
,48036480
x ==36
y
，解得15,6x y ==，故中年人比青少年多9人.故选B 项.3.D 【解析】当3,2,1a b c ===时，a b c =+，且2ac b <，故A ，C 项错误；因为0a b >>，0a c >>，所以2a bc >，故B 项错误；()
()()2
0ab bc b ac b c a b +-+=-->，故D 项正确.故选D 项.
4.C 【解析】由题意得()()1,1,3,5a b a b +=--=- ，则a b + 在a b - 方向上的投影向量为
2
()()1220(),1717||a b a b a b a b +⋅-⎛⎫
-=- ⎪-⎝⎭
，故选C 项.5.D
【解析】设该正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，其外接球的半径为R
，易知
34ππ33
R =
，则R ==
①，且2
64a h ⋅⋅=②，联立①②，因为h ∈Z ，解得1,4a h ==，所以正六棱
柱的表面积2
3126244
S a ah =
⋅+=.故选D 项.6.A 【解析】依题意得cos ,cos cos 3πcos 22a a b a d c ⎛
⎫===-=- ⎪⎝⎭，且03π,03π3π,2a a
⎧⎪⎨-⎪⎩
解得03πa ，则()2cos 2cos
2cos 2cos 1222a a a g a a =+=+-，令cos 2
a
t =，则[]1,1t ∈-，因为2221y t t =+-在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，所以()g a 在区间4π8π0,,2π,33⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内单调递减.故选
A 项.
7.B 【解析】依题意得126PF PF +=，设12F F n =，不妨设点P 在第一象限，则112PF F F n ==，则
26(06)PF n n =-<<，故222122(6)7cos 28
n n n PF F n ∠+--==或()22221(6)7cos 268n n n PF F n n ∠+--==-，
解得4n =或2411n =，又2
,2n m m ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭
Z 9，所以4,5n m ==.故选B 项.8.C 【解析】由题意得0m >，令()0f x =，则()ln ln e
e ln e eln x m
x x m x +++=+.令()e e x g x x =+，易知
()g x 单调递增，所以()()ln ln g x m g x +=，即ln ln x m x +=，即ln ln m x x =-.令()ln h x x x =-，则()1x
h x x
'-=
，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '<单调递减，又()11h =-，当0x →时，()h x ∞→-，所以ln 1m - ，解得10e
m < .故选C 项.
二､多选题
9.BC 【解析】127i z z +=+的虚部为1，故A 项错误；124311i z z -=为纯虚数，故B 项正确；
()()1232i 4i 145i z z =+-=+，其在复平面内所对应的点()14,5位于第一象限，故C 项正确；
24i 14i
i i
z -==--=，144z +=+，故D 项错误.故选BC 项.10.AC 【解析】依题意得()7
7
(43)[313]x x -=+-，所以4347C 33527a =⨯=⨯=945，故A 项正确；令1
3
x =
，得03a =，令0x =，得
77
4i i a ==∑，所以7
771
43i i a ==-∑，故B 项错误；令2
3
x =
，得7012345672a a a a a a a a =-+-+-+-①，又7012345674a a a a a a a a =+++++++②，由①+②可得
77
135024642222
a a a a ++++==+，故C 项
正确；同理，由②-①得13
6
135722a a a a +++=-，故D 项错误.故选AC 项.
11.ABD 【解析】由题意得()()2M k M k =，故B 项正确；()()()2,2121M k M k k M k k k =-=-
，故A 项正确；
5163
12363632632
+++++=
⨯=⨯ ，所以()()123636363M M ++++== ，故D 项正确；()()()()1263[1M M M M +++=+ ()()][()()36324M M M M ++++++ ()][()6213631M M =+++++
()()()10
23121M M M ⎤⎡++=++
⎦⎣ ()()][()()33124M M M M ++++++ ()108642030]222222M ==+++++=
6
14136514-=-，故C 项错误.故选ABD 项.三､填空题
12.()
50,14x x ∞⎧⎫<--⎨⎬⎩
⎭
【解析】集合{
1A x
x =<-∣或54x ⎫
>⎬⎭
，所以R A =ð504B x x ⎧⎫
=<⎨⎬⎩
⎭ .若A B ⋃=R ，结合数轴可知1m <-，故m 的取值范围为(,1)∞--.
13.
925
【解析】若甲､乙两人的选课都不相同则共有12
43C C 4312=⨯=种；若甲､乙两人的选课有1门相同，则共有2
1
1
4432C C C 24+=种.故()22
5512249
C C 25
P A +=
=.14.-
5112
【解析】由题意知()2
4(0)f x ax a =->，又()()()12121f x f x a x x +-=+=+，所以1a =，则()2
4f x x =-.由题意得()()2
ln 2ln 2ln
2
n n n n n x a x x x +=+--=-，由()
()()10n n n n x x f x f x +-+='，得()()1n n n n f x x x f x +='-，即22
144
22n n n n
n n
x x x x x x +-+=-=，又()
()
2
2
11222,222n n n n n
n
x x x x x x +++-+=
-=
，所以()()2
12
12222n n n n x x x x ++++=--，则1122ln 2ln 22n n n n x x x x ++++=--，即
12n n a a +=，故{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12,21n n n n a S -==-.令n n c S =.
()
552122n n n ⎛⎫⎛⎫-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则()1
11822n n n
c c n -+-=-⋅-，故当8n 时，1n n c c +<，当9n 时，1n n c c +>，故()9min 5112
n c c ==-.四､解答题
15.解：（1）因为()()tan tan πtan A B C C +=-=-，
所以
2tan tan tan b B a B C
=+，由正弦定理得
sin 2tan sin tan tan B B
A B C
==+()
2sin cos 2sin cos sin cos cos sin sin B C B C
B C B C B C ==
++2sin cos sin B C A
因为sin 0,sin 0A B ≠≠，所以2cos 1C =，则1cos 2
C =
，又()0,πC ∈，所以π3
C =
.（2）由余弦定理得223a b ab =+-，
因为22
2
a b ab + ，
所以2222
2
2
2
2
,
22
a b a b a b ab a b +++-+-=
即226a b + .当且仅当a b ==.
又223a b ab +=+，且0ab >，所以223a b +>.
综上，22a b +的取值范围为(]3,6.
16.解：（1）由题意得()f x 的定义域为()0,∞+，
()11
,ax f x a x x
-=-
='当()0,0,a x ∞∈+
时，()0f x '<，所以()f x 在区间()0,∞+内单调递减，无最值；
当0a >时，令()0f x '=，得1x a
=
，当10,
x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()()0,f x f x '<单调递减，当1,x a ∞⎛⎫
∈+
⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增.故当1
x a
=
时，()f x 取得最小值，且最小值为11ln f a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，无最大值.综上，当0a
时，()f x 无最值；当0a >时，()f x 的最小值为1ln a +，无最大值.（2）当1a =时，由()e x k x
f x x - ，
得e ln x k x
x x x
-- ，
整理得2e ln x k x x x x +- ，
即2ln e x
x x x x k +- .令()2ln e
x
x x x x
h x +-=，则()h x '()()()
22
21ln 1e ln e e x x
x
x x x x x x +---+-=
()()ln 1e x
x x x --=
，
由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =-的最小值为()110f =>，即ln 0x x ->恒成立，
所以当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增；当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '<单调递减.故当1x =时，()h x 取得最大值()21e h =
，即2e
k ，
故k 的取值范围为2,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.
17.（1）证明：连接CE 交AD 于点O ，连接GO .在菱形ACDE 中，CE AD ⊥，
因为AB ⊥平面,ACDE CE ⊂平面ACDE ，所以CE AB ⊥，
又,,AB AD A AB AD ⋂=⊂平面ABD ，
所以CE ⊥平面ABD .
因为,G O 分别为,BD AD 的中点，所以1,2
GO AB GO =∥AB ，又1,2
EF AB EF =∥AB ，所以GO EF ∥，
所以四边形GOEF 为平行四边形，
所以FG ∥EO ，所以FG ⊥平面ABD .
（2）解：在菱形ACDE 中，因为AC AD =，
所以ACD 和ADE 都是正三角形，
取ED 的中点H ，连接AH ，则AH AC ⊥，
又AB ⊥平面ACDE ，所以,AB AC AB AH ⊥⊥，即,,AB AC AH 两两垂直.
以A 为坐标原点，,,AB AC AH 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设2(0)AB a a =>，
则13(0,2,0),(2,0,0),(0,1,(,1,,,22C B a D F a G a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
则()2,2,0,(0,1BC a CD =-=- ，
3
0,,
22
FG⎛=-
⎝⎭
.
设平面BCD的法向量为()
,,
m x y z
=
，
则
220,
0,
m BC ax y
m CD y
⎧⋅=-+=
⎪
⎨
⋅=-+=
⎪⎩
取1
z=
，则m a
⎛⎫
= ⎪
⎪
⎝⎭
.
记直线FG与平面BCD所成角为θ，
则
||
sin|cos,|
||||
FG m
FG m
FG m
θ
⋅
=〈〉==
,
7
=
解得1
a=，即AB的值为2.
18.解：（1）依题意得(0.0010.0020.00320.006)50 1.
a
++++⨯=解得0.004
a=.
所求平均数为250.1750.15125
⨯+⨯+⨯
0.21750.32250.22750.05150
+⨯+⨯+⨯=.
（2）依题意得
1
4,
5
X B⎛⎫
~ ⎪
⎝⎭
，
则()
4
4256
5625
P X⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
，
()
3
1
4
14256
1C
55625
P X⎛⎫
==⨯⨯=
⎪
⎝⎭
()
22
2
4
1496
2C,
55625
P X⎛⎫⎛⎫
==⨯=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
()
3
3
4
1416
3C
55625
P X⎛⎫
==⨯=
⎪
⎝⎭
()
4
11
4
5625
P X⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
X01234
P 256
62525662596625166251625故()14455E X =⨯
=.（3）设“选到A 盒”为事件1A ，“选到B 盒”为事件2A ，，摸到金卡”为事件1B ，，摸到银卡”为事件2B ，因为12,B B 是对立事件，
所以()119121*********
P B =⨯+⨯=.()()219120
P B P B =-=由题意得()()1212
P A P A ==，所以()()()12122P A B P A B P B ==∣()()()2112111102,9920
P B A P A P B ⨯==∣则()()2212819P A B P A B =-=
∣∣.故所求的概率89123791091045
P =⨯+⨯=.19.解：（1）易知C 的一条渐近线方程为y x =，
则a b =.
设(),2B t t -，
又(),0,0A a a ->，直线AB 的斜率为13
，所以213
t t a -=+，解得62a t +=
，则62,22a a B ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，
代入222x y a -=中，解得4a =.
故C 的方程为22
11616
x y -=.（2）因为EA EP EP EQ ⋅=⋅ ，
所以()
0EP EA EQ ⋅-= ，即0EP QA ⋅=
，所以PE AQ ⊥，
同理可得,AE PQ EQ AP ⊥⊥.
设()()1122,,,P x y Q x y ，联立22
1,16162.x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
整理得2234160x mx m +++=，
由题意知()
22Δ1612160m m =-+>，且8m ≠，
解得m <-
m >8m ≠，所以21212416,33
m m x x x x ++=-=.过点A 与2l 垂直的直线的方程为122
y x =--，设该直线与C 的右支交于另一点H ，联立22
1,161612,2x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
整理得238800x x --=，解得203x =或4x =-（舍去）.所以2016,3
3H ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为(1122016,33PH AQ x y x ⎛⎫⋅=---⋅+ ⎪⎝⎭
)22121220801644333y x x x x y ⋅=+----(122121220801642333
y y x x x x x =+---+()()1212)225(1m x m x m x x -++=--+()()()22128016164802)54233333
m m x x m m m m +⎛⎫++--=-⨯-+⋅-+- ⎪⎝⎭
222216580168801603333333m m m m m m m -=--+++--=所以PH AQ ⊥，同理可证QH AP ⊥.
又AH PQ ⊥，所以H 与E 重合.
因为H 在C 上，所以220016x y -=.
故存在点E 满足EA EP EP EQ EA EQ ⋅=⋅=⋅ ，且220ij x y -的值为16.。