安徽省太和中学高三数学第一次联考试题 文(含解析)

2016届安徽省太和中学高三第一次联考
文数 试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合{}{}
2|0,|55x A x x x B x =+≥=≥，则A B ⋂=（ ） A.{}
}01x x x ≥≤-或 B.{}}1x x ≥- C.{}}1x x ≥ D.{}}0x x ≥
2.双曲线
22
1916
x y -=的右焦点为（ ） A.()5,0 B.()0,5 C.(
)
7,0 D.()
0,7
3.已知
1y
x i i
=+-，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则复数x yi +的共轭复数对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 4.设命题:p “任意340,log log x x x >>”，则非p 为（ ） A.存在340,log log x x x >> B.存在340,log log x x x >≤ C.任意340,log log x x x >≤ D 。

任意340,log log x x x >=
从甲、乙两种玉米中各抽测了10株玉米苗的高度（单位：cm ）其茎叶图如图所示，根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）
A.甲种玉米苗的平均高度大于乙种玉米苗的平均高度，且甲种玉米苗比乙种玉米苗长的整齐
B.甲种玉米苗的平均高度大于乙种玉米苗的平均高度，且乙种玉米苗比乙种玉米苗长的整齐
C.乙种玉米苗的平均高度大于乙种玉米苗的平均高度，且乙种玉米苗比乙种玉米苗长的整齐
D.乙种玉米苗的平均高度大于乙种玉米苗的平均高度，且甲种玉米苗比乙种玉米苗长的整齐 6.若点()16,tan θ在函数2log y x =的图像上，则2
sin 2cos θ
θ
=（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 7.给出一个程序框图，则输出x 的值是
A.39
B.41
C.43
D.45
8.若一动直线x a
=与函数()2
2cos 4f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，()3cos2g x x =的图像分别交于,M N 两点，则MN 的最大值为（ ）
A.2
B.3
C.2
D.3
9.某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
A.10
B.15
C.20
D.30
10.已知函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，如果()()2,0
2015lg ,0
x x f x x x ⎧≥⎪+=⎨
-<⎪⎩，那么
()201579854f f π⎛
⎫+⋅- ⎪⎝
⎭=（ ）
A.-2
B.2
C.-4
D.4
11.已知直角梯形,90,224ABCD BAD ADC AB AD CD ∠=∠=︒===，沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A.
43
π
B.4π
C.8π
D.16π 12.函数()()()()220,f x x a a f m f n =->=，且0m n <<，若点(),P m n 到直线
80x y +-=的最大距离为时，则a 的值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

13.已知向量()()2,1,1,2a b ==-r r
，则()
2a b a +⋅=r r r 。

14.函数()()sin 2tan ,,22f x x x πππ⎛⎫
=∈-
⎪⎝
⎭的所有零点之和为 。

15.已知()f x 是定义在R 上偶函数，又()20f =，若0x >时，()()'
0xf x f x ->，则不
等式()0xf x <的解集是 。

16.在ABC V 中，若()()()sin sin :sin sin :sin sin 4:5:6A B A C B C +++=，则该三角形
面积为ABC V 的最大边长等于 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分,。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分） 已知数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，且3251
,35a a a ==。

⑴求{}n a 的通项公式 ⑵若(
)1n n n b a a n N
+
+=∈，求数列{}n
b 的前n 项和n
S。

18.（本小题满分12分）
已知函数()cos sin cos sin 2sin cos 222222
x x x x x x f x ⎫⎛⎫=-++⎪⎪⎭⎝⎭。

⑴求()f x 的最小正周期 ⑵若将()f x 的图像向右平移6
π
个单位，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 的单调递增区间。

19.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，,,,AC BC D E F ⊥分别是,,AC AB AP 的中点，,M N 分别为线段,PC PB 上的动点，且有MN PC ⊥ ⑴求证：DE P 面FMN ；
⑵若M 是PC 的中点 ，证明平面 FMN ⊥平面DMN
20.（本小题满分12分） 为了美化校园环境，某校针对学生乱扔垃圾现象进行罚款处理。

为了更好的了解学生的态度，随机抽取了200人进行了调查，得到如下数据：
⑴若乱扔垃圾的人数y 与罚款金额x 满足线性回归方程，求回归方程y bx a =+，其中
3.4,b a y bx =-=-，并据此分析，要使乱扔垃圾者不超过20%，罚款金额至少是多少元？
⑵若以调查数据为基础，从5种罚款金额中随机抽取2种不同的数额，求这两种金额之和不低于25元的概率。

21.（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为
1
2
，它的一个焦点恰好是抛物线2
14
x y =
的焦点。

⑴求椭圆C 的方程； ⑵设AB 为椭圆C 的一条不垂直于x 轴的弦，且过点()1,0。

过A 作关于x 的对称点'
A ，证
明：直线'A B 过x 轴的一个定点。

22.（本小题满分12分）
已知()1f x x =，且对任意的n N +
∈，()()()()''
11,n n n f f x f x xf
x +=+
⑴求()n f x 的解析式；
⑵设函数()()()(),0,,0n n n g x f x f m x x m m =+-∈>对于任意的三个数
1232,,,23m m x x x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，以()()()313233,,g x g x g x 的值为边长的线段是否可构成三角形？请
说明理由。

2016届安徽省太和中学高三第一次联考 文数参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 【解析】因为2
{|0}{|01}A x x x x x x =+≥=≥≤-或，{|55}{|1}x B x x x =≥=≥，所以{|1}A B x x ⋂=≥.
2.A 【解析】因为3,4a b ==，所以5c =，故双曲线2
2
19
16
x y -=的右焦点的坐标是(5,0).
3.D 【解析】法一：由题意，()112y i y x i i +==+-，所以,2
1,
2
y
x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩解得1,2x y ==.故复数x yi +即为12i +，其共轭复数为12i -，对应的点为()1,2-，位于第四象限.
4.B 【解析】全称命题的否定，要把量词任意改为存在，且否定结论，故非p 为：存在0x >，
34log log x x ≤.
5.D 【解析】从茎叶图可以看出，甲种玉米苗的平均高度为：
19202123252937333231
2710+++++++++=，乙种玉米苗的平均高度为：
10141026273044464647
3010
+++++++++=，因此，乙种玉米苗的平均高度大于甲种玉米
苗的平均高度，同时通过茎叶图也可以看出，甲种玉米苗高度基本集中在20到30之间，因此，甲种玉米苗比乙种玉米苗长得整齐，故选D.
6.D 【解析】由题意知2tan log 164θ==，所以2
sin 22sin 2tan 8cos cos θθθθθ
===. 7.C 【解析】由流程图可知，57923S n =+++++L ，只要480S <，就再一次进入循
环体循环，直到首次出现2011S ≥，才跳出循环体，输出x ，程序结束.由
2579234480S n n n =+++++=+≥L 得20n ≥，所以220343x =⨯+=.
8. D 【解析】2()2cos (
)1cos(2)1sin 2,()3cos242
f x x x x
g x x π
π
=+=++=-=，所以()()1sin 23cos212sin(2)3
4
f x
g x x x x π-=--=-+≤，MN 的最大值就是()()f x g x -的
最大值.故选D.
9. C 【解析】由三视图的俯视图、正视图和侧视图可还原的空间几何体一个四棱锥M-ABCD ，如图所示，由勾股定理计算CD=5，即知底面是边长为5的正方形ABCD ，补形为三棱柱，则
所求的几何体的体积：
12×3×4×5-11
34532⨯⨯⨯⨯=20. 10.D 【解析】令4x π=，则(2014)2sin 144
f ππ
+==；令10000x =-，则(7985)f -=
(100002015)lg[(10000)]4f -+=--=.所以(2015)(7985)1444
f f π
+⋅-=⨯=.
11.D 【解析】如图，4,2AB AD CD ===，所以22,22AC BC ==，即AC BC ⊥.取AC 的中点为E ，AB 的中点为O ，连接DE,OE,OC ，因为三棱锥D ABC -体积最大，所以平面DCA ⊥平面ABC ，此时容易计算出OD=2，即OD=OB=OA=OC=2，故O 是外接球的球心，OA 是球的半径，于是三棱锥
D ABC -外接球的表面积是24216ππ⨯=.
12.B 【解析】由()2
2
()||0f x x a a =->和()()f m f n =，0m n <<知，
,0m a a n <--<<，所以2222()f m m a m a =-=-，2222()f n n a a n =-=-，
因为()()f m f n =，所以2222m a a n -=-，即2222m n a +=，所以点()P m n ，的轨迹是以(00)O ，为圆心，半径2r a =
的圆上位于第三象限的部分，点(),P m n 到直线
80x y +-=的最大距离即为圆心到直线的距离与半径之和，所以82622
a +=，即
2a =.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 5 【解析】因为2(4,3)-a +b =，所以(2)5+⋅=a b a . 14.
【
解
析
】
因为()sin[2tan()]sin(2tan )sin(2tan )()f x x x x f x πππ-=-=-=-=-，所以函数为奇函
数，故所有零点之和为0.
15. (,2)(0,2)-∞-U 【解析】 显然0x ≠，故不等式()0xf x <与不等式()
0f x x
<同解．记()()f x g x x =
，则当0x >时，有/
/2()()()0xf x f x g x x -=>，从而可知()()f x g x x
=是奇函数，且当0x >时为增函数，又(2)(2)02f g ==，画出()g x 的草图可得不等式()()0
f x
g x x =<的解集为(,2)(0,2)-∞-U ，即不等式()0xf x <的解集为(,2)(0,2)-∞-U ．
16. 14 【解析】设sin sin 4A B k +=，则sin A sin 5,sin sin 6+=+=C k B C k ，联立可解得357sin ,sin ,sin 222
k k k
A B C =
==
，由正弦定理可得::3:5:7a b c =，所以2223571cos 2352C +-==-⨯⨯，3sin C =.设3,5,7a t b t c t ===，由1
sin 1532
ab C =，
即2153153t =，解得2t =，所以△ABC 的最大边长为14c =.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解：（Ⅰ）由于1{}n
a 为等差数列，若设其公差为d ，则325
11115,3a a a ==⋅，
1125d a +=，11111(4)3d d a a +=+，解得1
1
1,2d a ==， …………4分 于是112(1)n n a =+-，整理得121n a n =-. ……………………5分
（Ⅱ）由（1）得11111
()(21)(21)22121
n n n b a a n n n n +===--+-+， …………8分
所以111111(1)2335212121
n n
S n n n =
-+-++-=
-++L . ……………………10分 18．【解析】（Ⅰ）()3(cos
sin )(cos sin )2sin cos 222222
x x x x x x
f x =-++ 223(cos sin )sin 22
x x
x =-+3cos sin x x =+)cos 23sin 21(2x x +
= )3
sin(2π
+
=x ． ………………4分
所以)(x f 的最小正周期为π2． …………………6分 （Ⅱ）Θ将)(x f 的图象向右平移
6
π
个单位，得到函数)(x g 的图象， ∴⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-=-
=
3)6(sin 2)6()(πππ
x x f x g )6sin(2π+=x ， ………8分 由22()2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，可得222()33
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈， 所以单调递增区间为2[2,2]()33
k k k Z ππππ-+∈. ………12分 19．【证明】（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥， 又AC BC ⊥，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC PC ⊥. ………3分
又∵MN PC ⊥，∴//MN BC ，而//DE BC ，∴//DE MN , ∴//DE 平面FMN . ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知MN ⊥平面PAC ，故MN FM ⊥. .………8分
（第19题）
A
D P B
C F
E
M N
由题意易知DM FM ⊥，
而DM MN M =I ，所以FM ⊥平面DMN ， ………10分 所以平面FMN ⊥平面DMN . ………12分
20.解：（Ⅰ）由条件可得10,40x y ==,则40 3.41074a =+⨯=, ………3分 故回归直线方程为$74 3.4y x =-,………5分
由74 3.420020%x -≤⨯可得10x ≥,
所以,要使乱扔垃圾者不超过20%,处罚金额至少是10元. ………7分
（Ⅱ）设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5中数额中随机抽取2种,总的抽选方法有(0,5),(0,10),(0,15),(0,20),(5,10),(5,15),(5,20),(10,15),(10,20),(15,20)共10种情况,
满足金额之和不低于25元的有4种,故所求概率为:42
()105
P A =
= ………12分 21. （Ⅰ）解：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则12c a =，又抛物线2
1
4
x y =的焦点为(1,0)，所以1c =，所以2
3
4,3a b ==，
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=. ……………5分 （Ⅱ）证明：设直线AB 的方程为：1122111,(,),(,),(,)x ty A x y B x y A x y '=+-，直线A B '与
x 轴的交点为0(,0)M x . ,,A B M 'Q 三点共线，12112101210121,1()
y y y y y y
x x x x x ty t y y ++∴
=∴=-----，化简整理可得
12
012
21ty y x y y =
++ …………① ……………8分
联立22
1431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去x 得：2212122
6(43)690,,43t
t y ty y y y y t
-++-=∴+
=
⋅=+ 2
943t -+ …………② ……………10分 将②代入①得：202
92431314
643t
t x t t -+=+=+=-+，即直线A B '过x 轴的另一个定点(4,0)M .证毕.
……………12分
22.解：（Ⅰ）''
1()()()n n n f x f x xf x +=+，即'11()()()n n n f x f x xf x --'=+，
''1()[()]n n f x xf x -∴= 1()()n n f x xf x a -∴=+ 令1x =，上式可化为1(1)(1)n n f f a -=+，(1)1,0n f a =∴=Q ， 11(),()n n n f x x f x x x x -=∴=⋅=Q . ………………5分
（Ⅱ）由（1）得()()()()n n n n n g x f x f m x x m x =+-=+-，所以33
3()()g x x m x =+-，
所以223()33()6()2
m
g x x m x m x '=--=-. ………………6分 于是当2[,]23m m x ∈时，3()0g x '≥，所以3()g x 在2[,]23
m m
x ∈上为增函数，故
333min
33max 32[()](),[()]()2433
m m m m g x g g x g ====. ………………8分
不妨设123x x x <<，则33
313233()()()43m m g x g x g x ≤<<≤， ………………10分 而333
313233()()2()423
m m m g x g x g x +>⨯=>≥， 故以313233(),(),()g x g x g x 的值为边长的线段可构成三角形. ………………12分。