平面直角坐标系中特殊点的横、纵坐标关系

平面直角坐标系（课堂实录）
————找准你的位置
师：同学们，在日常生活中，我们经常要确定物体所在的位置，也经常要确定并准确表示我们自己所处的位置。

今天，就让我们一起来学习这方面的知识。

师：现在先让我们一起来看一幅地图。

（展示地图）
这是成都市部分中学的简要地图。

我们此时正位于青羊区教培中心。

大家都知道，成都市的街道纵横交错，犹如一块块方格。

图中每块方格的边长代表一公里。

今天啊，从外地有一批老师到了我们成都的中心——天府广场，他们准备兵分两路。

其中一部分老师想到教培中心来进行交流和学习，他们现在不知道怎样到这儿来，你通过这张简要地图，你会怎样告诉他？（学生答：他可以向北走两公里就到了）那么，我们能不能用数字来表示这一点呢？如果能，我们怎样做？（学生答：我们可以过天府广场和青羊区教培中心画一条直线，取向上的方向为正方向，一公里为单位长度构建数轴，这时候青羊区教培中心就可以用2来表示）另一部分老师想到我们学校——青羊实验中学去参观访问，我们又如何告诉他们该怎样走呢？（学生答：向北走3公里，向东走1公里）但我们学校现在并不在这条数轴上，要表示青羊实验中学的位置，一条数轴还够不够？（学生答：不够）那么我们需要再建立一条数轴来表示我们学校的位置。

你怎样建立？
但是，这时两条数轴，就有了两个原点，我们能否将原点重叠在一起呢？（学生答：可以。

演示课件）好！像这样有公共原点且互相垂直的两条数轴就构成了确定平面上一点位置的参照系。

我们把这种参照系称为笛卡尔平面直角坐标系，简称为平面直角坐标系。

（板书标题：平面直角坐标系）
师：平面直角坐标系是法国著名的数学家、物理学家、哲学家笛卡尔发明的。

我们先来看看有关他的资料（展示图片）。

传说中，笛卡尔发明平面直角坐标系是看到蜘蛛结网而得来的灵感，也有人说他是从渔夫结网当中受到了启发。

事实的真相究竟如何，至今已难于考证。

但是，我们知道笛卡尔是一位勤于思考的人，他的一生都在思考当中渡过。

他有句名言：我思故我在。

同学们可以体会一下这句话所蕴含的深刻含义。

在他发明平面直角坐标系以前，代数与几何是完全分离的两个学科。

正因为平面直角坐标系的建立，才使得代数与几何有机地融为了一体。

恩格斯由此评价说：笛卡尔平面直角坐标系的建立是数学发展史上的一个里程碑。

下面，让我们一起来看看笛卡尔是怎样建立起平面直角坐标系的吧！
师：我们先画一条水平方向的数轴，再画一条竖直方向的数轴，并让它们有公共的原点。

我们把这条水平方向的数轴称为横轴，也称为，一般我们在箭头下写上以表示横轴；这条竖直方向的数轴称为纵轴，也称为。

X轴与Y轴合称为坐标轴。

同学们看看，坐标轴把平面分为了几个部分？（学生答：四）对，坐标轴将整个平面分成了四个部分，如果加上坐标轴本身，平面上现在共有五个部分。

我们把X轴的正半轴与Y轴的正半轴所夹的部分，也就是右上方的这个部分称为第一象限，然后按逆时针计，分别将其余几个部分记为第二象限、第三象限以及第四象限。

特别需要提醒同学们注意的是：坐标轴上的点不在第一、第二、第三和第四象限。

简言之，坐标轴上的点不属于任何一个象限。

现在，我们来看看笛卡尔是怎样来描述一个点的位置的吧。

假如平面上有一点C，过这个点，我们向X轴作垂线，垂足所表示的数是2，我们就称2是点C
的横坐标；我们再向Y轴作垂线，垂足所表示的数是1，我们就称1是点C的纵坐标。

合起来，我们称点C的坐标是2，1，记为C：（2，1）。

（书写横坐标、纵坐标）再如：点D（-2，3）。

现在考考大家，在轴的点C如何表示呢？很好，反过来，假如现有一点E，它的坐标是（3，-1），那么它在平面当中的哪个位置呢？在第四象限！（0，-2）又在哪里？在y轴的负半轴上。

师：此时，让我们重新回到刚才的问题。

现在，我们如何用坐标来准确地描述各个中学的位置呢？我们首先建立起平面直角坐标系。

许老师先以天府广场为原点建立好平面直角坐标系。

下面，我请同学来告诉我们。

（抽一组学生回答）师：我有一个问题想请教大家：各个中学的相对位置是不变，那么，是否它们的坐标也永远不变？（学生答：不是）。

师：好，那我们重新选取坐标原点来看一看各中学的坐标是不是发生变化了。

同学们说，选哪个点为坐标原点呢？（学生说，然后观察，再做一轮练习）师：接下来的练习，大家把所发的练习看到，我们选取某一点为坐标原点，请同学们画好坐标轴，建立起平面直角坐标系，然后做后边的练习。

与学生对答案，适时评价。

师：下面让我们利用学习的知识来进行一个游戏，好吗？现在，每一个同学都成为了平面网格当中的一个点。

我们先来确定一个同学，作为坐标系的原点。

好，我们请这位同学来做原点。

请你向前平伸出你的左手，向右平伸出你的右手。

好了，我们的平面直角坐标系建立好了。

每个同学看看自己的坐标是多少？好，我开始请一些同学来说说看。

班长……学习委员……小组长……（换位思考）（平面上的点是无限多的）
师：反过来，下面由我报出一些点的坐标，相应位置上的同学就请站起来。

看谁的反应快，看有没有同学站错了。

注意了……（3，2）、（2，3）、（-1，4）、（4，-1）……有没有同学从刚才的游戏中发现了什么？（学生答后，老师在黑板上书写：二、游戏中的发现：（1）点的坐标是有序的。

）——点的坐标与有序数对是一一对应的。

师：请大家注意力集中，看看接下来的游戏当中，我们还能发现什么？
师：请位于X轴的同学站起来，现在从左到右每位同学迅速地报一下自己的坐标。

（学生报坐标：（-3，0）、（-2，0）、（-1，0）……）好了，谁从游戏中发现到什么规律没有？（学生答。

老师板书：发现（2）：坐标轴上点的坐标特征：X轴上的点，纵坐标为0；Y轴上的点，横坐标为0）——类比思想师：我们的游戏进行得很顺利，下面的问题会稍稍难一点。

请位于第一象限的同学站起来。

（学生在犹豫中站了起来）问坐标轴上的同学：为什么你们不站起来呀？……请同学思考：这些同学的坐标有什么共同点？（学生答）师：好的。

下面请同学们和同桌交流一下后，说出你们交流后的结果。

（学生说：他们的坐标都是正数。

）对，大家看，第一象限有一点P（x，y），过点P 分别向X，Y轴作垂线，垂足都落在正半轴上。

因此，横坐标X>0，纵坐标Y>0。

师：那么，很自然的，第二、三、四象限上的点，坐标特征又如何？（请三个同学上台写出结论，并接受大家的质疑）——孔子举一反三。

师：同学们，到这个时候，我们的学习先告一个段落。

接下来，我请同学们小结一下。

我们想想：今天我学了哪些知识？我学会了解决哪些问题？我有些什么体会和感受？我给大家一分钟的时间……
师：同学们，老师希望你们不仅在平面直角坐标系找准自己的位置，而且，在生活中，也能找准自己的位置。

好吗？今天的课就到这里，谢谢你们！！下课！。