对数函数解答题(3)

1．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x
的一个上界．已知函数
(1)若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；
(2)在(1)的条件下，求函数()g x 在区间 (3)若函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 答案： (1)1a =-； (2)[3,)+∞； (3)[7,3]-． 解答：
(1)因为函数()g x 为奇函数， 所以()()g x g x -=-，即 ，得
1a =±， 时不合题意，故1a =-．
(2)由(1)
易知()g x 在区间(1
,)+∞上单调递增，
上的值域为[3,1]--，
所以|()|3g x ≤，
故函数()g x 在区间上的所有上界构成集合为[3,)+∞． (3)由题意知，|()|5f x ≤在[0,)+∞上恒成立，
由[0,)x ∈+∞，得1t ≥． 易知()P t 在[1,)+∞上递增， 设121t t ≤<，
所以()h t 在[1,)+∞上递减，
()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =，
所以实数a 的取值范围为[7,3]-．
2．已知函数2
2(log )2f x x x =+.
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)若方程()24(0,2)x
f x a =⋅-在 有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围． 答案： (1)2()2
22x
x f x =+⋅；
(2)67a <<. 解答：
(1)设2log ,t x t R =∈，则2()222t
t
f t =+⋅ 所以2()2
22x
x f x =+⋅，
(2)原问题22
(2)240,(0,2)x
x a ⇔+-⋅+=在有两个不等实根，
令()2
2,()24(1,4)x
m h m m a m m ==-∈++,，
0(1)0,67(4)02142
h a h a ∆>⎧⎪>⎪⎪
∴∴<<⎨>⎪
-⎪<<⎪⎩ . 3
(1)若()
22g mx x m ++ 的定义域为R ，求实数m 的取值范围； (2)当[]1,1x ∈-时，求函数()()2
23y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值()h a ；
(3)是否存在非负实数m 、n ,的定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，
若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由． 答案： (1)；
(3)2,0==n m ． 解答： (1)
()log g x =∴()()
2212
2log 2y g mx x m mx x m =++=++，
令22u mx x m =++ ,当0m =,2u x =()0,+∞，不成立；
当0m ≠R ，
2
0,1440
m m m >⎧
∴∴>⎨∆=-<⎩ ，综上所述，1m >； []2[()]2()3,1,122
x x a x =-+∈-，
2
123,,22y t at t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦ ，
m n
对称轴为t a =
时，a t =时，()2min 3a y a h -==； 当2>a 时，2=t 时，()a y a h 47min -==．
，假设存在，由题意，知⎩⎨⎧==n n m m 2222解得⎩⎨⎧==20n m ，
所以存在2,0==n m ，使得函数[]0,2，值域为[]0,4．
4(0>a ，1≠a )． (1)当1>a 时，讨论()f x 的奇偶性，并证明函数()f x 在()1,+∞上为单调递减；
(2)当(),2∈-x n a 时，是否存在实数a 和n ，使得函数()f x 的值域为()1,+∞，若存在，求出实数a 与n 的值，若不存在，说明理由． 答案：
(1)奇函数，证明略；
解答：
(1)()f x 的定义域为{}|11x x x ><-或
关于原点对称， ∴()f x 为奇函数，
法1：当1a >时，设121x x <<，则
()(()(1111x x +-
，又1a >，，()()12f x f x ∴>，
∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数 法2：当1a >时，设121x x <<，令
所以12
log log a a t t >，
∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数 (2)，(),2∈-x n a ①当1a >
时，要使()f x 的值域为(1,)+∞，
则须(,)t a ∈+∞，
故有11,1221
n n a a a a =⎧=⎧⎪⎪∴+⎨⎨
=-=+⎪⎩⎪-⎩ ②当01
a <<时，(0,)t a ∈，则 ，当(),2
∈-x n a 时，函数()f x 的值域为()1,+∞． 5（0a >且1
a ≠)是定义域为R 的奇函数．
(1)求t 的值；
(2)若函数()f x 的图象过点，是否存在正数m ()1m ≠，使函数
()()22log x x
m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21
log 3，上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
答案： (1)t =2； （2））不存在． 解答：
(1)()f x 是定义域为R 的奇函数，002f t ∴=∴=（），；
(2)假设存在正数m ()1m ≠符合题意，由2=a 得
)]([log )(22x mf a a x g x x m -+=-=)]22(22[log 22x x x x m m ----+ ]2)22()22[(log 2+---=--x x x x m m ，
设x x t --=22，
则22)22()22(2
2
+-=+-----mt t m x
x
x x
，
]3log ,1[2∈x
，
记2)(2
+-=mt t t h ，
函数)]([log )(22x mf a a x g x x m -+=-在]3log ,1[2上的最大值为0，
∴(i)若10<<m ，则函数
1，
对称轴13
6
m ∴= ,不合题意；
(ⅱ)若1>m ，则函数1，最小值大
于0，
又此时
7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故)(x g 无意义 综上所述：不存在正数m ()1m ≠，使函数)]([log )(22x mf a
a x g x
x m -+=-在]3log ,1[2上的最大值为0．
6．已知函数()2log 1f x x =-的定义域为[]1,16，函数()()()2
2
2g x f x af x =++⎡⎤⎣⎦．
(1)求函数()y g x =的定义域；
(2)求函数()y g x =的最小值；
(3)若函数()y g x =的图象恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围． 答案： (1)[]1,4；
(2)()2min
3-,12,1133,1a a g x a a a a a ≥⎧⎪
=-++-<<⎨⎪+≤-⎩
； (3)()1,3a ∈-． 解答： (1)
2
116
116
x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，14x ∴≤≤，即函数()y g x =的定义域为[]1,4； (2)()()()()2
2
2
2
22log
22log 3g x f x af x
x a x a =++=+--+⎡⎤⎣⎦．
令[]2log ,0,2t x t =∈，则()()2
2
2
22212y t a t a t a a a =+--+=---++⎡⎤⎣⎦． 当1a ≥时，y 在[]0,2上是增函数，所有min 0,3t y a ==-； 当-11a <<时，y 在[]0,1a -上是减函数，[]1,2a -上是增函数，
所以2
min 1,2t a y a a =-=-++；
当1a ≤-时，y 在[]0,2上是减函数，所以min 2,33t y a ==+．
综上，()2min
3-,12,1133,1a a g x a a a a a ≥⎧⎪
=-++-<<⎨⎪+≤-⎩
． (3)由题知，()0g x >恒成立，即()min 0g x >()min 0g x >． 当1a ≥时， min 30,13y a a =->∴≤<；
当-11a <<时， 2
min 20,11y a a a =-++>∴-<<；
当1a ≤-时， min 330,y a a =+>∴无解； 综上，()1,3a ∈-．
7
(1)求证：()f x 是奇函数； (2)求证：()()(
)1x y
f x f y f xy
++=+； (3)
()f a ，()f b 的值． 答案：
(1)证明见解析； (2)证明见解析；
解答：
(1)
故函数的定义域为()11-，，关于原点对称． 再根据()11()lg(
)lg 11x x f x f x x x +-⎛⎫
-==-=- ⎪-+⎝⎭，
所以()f x 为奇函数； (2)证明： 11(1)(1)
()()lg
lg lg ,11(1)(1)
x y x y f x f y x y x y ----+=+=++++ 11(1)(1)1()lg lg lg ,11(1)(1)11x y
x y xy x y x y xy f x y xy xy x y x
y xy
+-
++----+===++++++++
+
()()()1x y
f x f y f xy
+∴+=+成立；
(3) 则由(2)可得()()1,f a f b +=()()2,f a f b -= 解得()31
(),.22
f a f b =
=- 8．已知函数)1(log )(2
+-=x ax x f a ，其中0>a 且1≠a ．
(1)时，求函数)(x f 的值域； (2)当)(x f 在区间上为增函数时，求实数a 的取值范围． 答案： (1)(,1]-∞；
(2) [)21,2,93⎛⎤+∞ ⎥
⎝⎦
.
解答： (1)
故定义域为R ，
在(0,)+∞单调递减 ，即函数)(x f 的值域为(,1]-∞； (2)依题意可知，
①当1a >时，由复合函数的单调性可知，必须21ax x -+
递增，且
210ax x -+>对
解得：2a ≥
②当01a <<时，由同理必须21ax x -+在且210ax x -+>对恒成立
综上，实数a 的取值范围为
9．已知函数2()log (1)f x x =+，当点(,)x y 在函数()y f x =的图象上运动时，
函数()y g x =（ (1)求函数()y g x =的解析式； (2)求函数()()()F x f x g x =-的根．
(3)函数()F x 在(0,1)x ∈上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由． 答案： (2)0x =或(3)()F x 有最小值 解答：
(2)函数()()()F x f x g x =-
令()0F x =，有
解得0x =或1x =，∴函数()F x 的零点0x =或1x =； (3)函数221
()()()log
(1)log (31)2
F x f x g x x x =-=+-
+
设31m x =+，由(0,1)x ∈得(1,4)m ∈，
上递减，在[2,4)上递增， 有最小值4，无最大值，
∴函数()F x 在(0,1)x ∈内有最小值
10．设函数()10log )(≠>=a a x x f a 且，函数2
()g x x bx c =-++，且(4)(2)1f f -=，
()g x 的图象过点(4,5)A -及(25)B --，．
(1)求)(x f 和()g x 的表达式； (2)求函数()[]x g f 的定义域和值域． 答案：
(1)()2log f x x =，()2
23g x x x =-++；
(2)定义域为(1,3)-，值域为(,2]-∞． 解答：
(1)由题意得，函数()10log )(≠>=a a x x f a 且， 由(4)(2)1f f -=，所以 所以()2log f x x =，
又因为()g x 的图像过点(4,5)A -及(25)B --，， 且16545b c --++=-， 解得2,3b c ==，所以()2
23g x x x =-++．
(2)()2
2log (23)f g x x x =-++⎡⎤⎣⎦， 由2
230x x -++>得13x -<<，
∴()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为(1,3)-，
又()2222log (23)log (1)4f g x x x x ⎡⎤=-++=--+⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
∵(1,3)x ∈- ∴()2log 42f g x ≤=⎡⎤⎣⎦，
∴()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域为(,2]-∞．
11 (1)求m 的值；
(2)若关于x 的不等式()
()2520f x ax f x a -++++<对任意实数[]2,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 答案： (1)7m =；
解答：
(1)由()f x 是奇函数得：()()f x f x -=-，
∴()f x 在()7,7-是增函数．
又
()f x 为奇函数，∴()()252f x ax f x a -->+，
∴27257x a x ax -<+<--<对任意[]2,3x ∈恒成立；
对于225x a x ax +<--， 即()2
52x x a x -->+，
20x +>，
（23x ≤≤），
设2t x =+，则2x t =-，且45t ≤≤，
所以()
()()2
22255115t t t t y g x t t
t
t
-----+====+-，
对于72x a -<+，
()2h x x a =+在[]2,3上递增，
∴()()min 2227h x h a ==+>-，则
对于257x ax --<，即()2
F 120x x ax =--<，
∴()()F 2280F 3330
a a =--<⎧⎪⎨=--<⎪⎩，则1a >-； 综上，a 的取值范围是 12．设函数()()log 3a f x x a =-0a >且1a ≠,当点(),P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(),Q x a y --2是函数()y g x =图象上的点． (1)写出函数)(
x g y =的解析式；
(2)若当[]2,3x a a ∈++
时，恒有试确定a 的取值范围． 答案： 解答：
(1)设点Q 的坐标为(,)x y ''，则2,x x a y y ''=-=-，即2,x x a y y ''
=+=-
(,)P x
y 在函数log (3)a y x a =-图像上，log (23)a y x a a ''∴-=+-， (2)由题意得3(2)3220x a a a a -≥+-=-+>；
|()f x g - 又|()()|1f x g x -≤，所以22
1log (43)1a x ax a -≤-+≤，
01a <<，22a a ∴+>
所以22
()43H x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为增函数，
所以22
()log (43)a x x ax a μ=-+在[2,3]a a ++上为减函数，
从而max [()](2)log (44)a x a a μμ=+=-，
min [()](4)log (96)a x a a μμ=+=-，
于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a a
a 的解．
由log (96)1a a -≥-解得 由log (44)1a a -≤解得 ∴所求a 的取值范围是 13
为奇函数，a 为常数． (1)求a 的值；
(2)判断函数()f x 在(1,)x ∈+∞ 上的单调性，并说明理由；
(3)若对于区间[]3,4 上的每一个x 值，求实数m 的取值范围．
答案：(1)1a =-；
(2)()f x 在(1,)x ∈+∞ 上是增函数； (3) 158
m <. 解答： (1)
()log f x =为奇函数，
()()0f x f x ∴-+=对定义域内的任意x 都成立，
.
(2)由(1)知：
()log f x = 任取12,(1,)x x ∈+∞ ，设12x x < ，
1x +
，12()()f x f x ∴<
()f x ∴ 在(1,)x ∈+∞ 上是增函数.
1
()2
x y =
对于区间[3,4] 上的每一个x 恒成立， 即()m g x < 恒成立，
14．已知函数()()2log f x x a =+. (1)，当1a =时，求的取值范围； (2)若定义在R 上奇函数满足()()2g x g x +=-，且当01x ≤≤时，，求()g x 在[]3,1--上的反函数()h x ；
x )(x g )()(x f x g =
(3)对于(2)中的()g x ，若关于x 的不等式在R 上恒成立，求实数t 的取值范围.
答案： (2)()[]
[]
0,1,211,0,23x x x h x x -∈⎧--=⎨∈--⎩；
(3)[]4,20-． 解答：
(1) ，220x ->，10x +> ，
； (2)因为()g x 是奇函数，所以()00g =，得1a =， ①当[]3,2x ∈--时， []20,1x --∈，
()()()()222log 1g x g x g x x =-+=--=-- ，
此时()[]0,1g x ∈，()
2
1g x x =--，所以()21x h x =--[]()0,1x ∈，
②当[]2,1x ∈--时，[]20,1x +∈，()()()22log 3g x g x x =-+=-+， 此时()[]1,0g x ∈-，()
2
3g x x -=-，所以()23x h x -=-[]()1,0x ∈-，
综上，()g x 在[]3,1--上的反函数为()[]
[]
0,1,211,0,23x x x h x x -∈⎧--=⎨∈--⎩ ；
(3)由题意，当[]0,1x ∈时，()()2log 1g x x =+，在[]0,1上是增函数， 当[]1,0x ∈-，()()()2log 1g x g x x =--=--，在[]1,0-上也是增函数， 所以()g x 在[]1,1-上是增函数，
设1213x x ≤<≤，则121221x x -≤-<-≤
由()()1222g x g x -<-，得()()12g x g x > 所以()g x 在[]1,3上是减函数，
由()g x 的解析式知，
设()3211828
812x x x t t u +-+==-
++，
①当1t >-时，
，即120t -<≤； ②当1t =-时，
③当1t <-时，
，即41t -≤<- 综上，实数t 的取值范围为[]4,20-. 15．已知函数()2
21f x ax x =++.
(1)若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的值域； (2)若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围及()f x 的定义域 答案:
(1)1a >；1lg 1,a ⎡⎫
⎛
⎫-
+∞ ⎪⎪⎢⎝
⎭⎣⎭；
(2)[]0,1，11⎛⎛⎫
-+-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
. 解答：
(1)因为()f x 定义域为R ，所以2
210ax x ++>对一切x R ∈成立，
由此得0
440
a a >⎧⎨
∆=-<⎩， 解得1a >，
又因为2
2112110ax x a x a a ⎛
⎫++=++-> ⎪⎝
⎭，
所以()2
1lg(21)lg 1f x ax x a ⎛
⎫=++≥-
⎪⎝⎭
， 所以实数a 的取值范围是()1,+∞，
()f x 的值域是
(2)因为()f x 的值域是R ，所以221u ax x =++的值域()0,⊇+∞ 当0a =时，21u x =+的值域为R ()0,⊇+∞；
当0a ≠时，221u ax x =++的值域()0,⊇+∞等价于0
4404a a a
>⎧⎪
-⎨≤⎪⎩ ,
解得01a <≤，
所以实数a 的取值范围是[]0,1， 当0a =由210x +>得，()f x 定义域为 当01a <≤时，由2210ax x ++>解得
1x a
-<
x >，
所以()f x 得定义域是11a ⎫
⎛-+⎪ ⎪ ⎭⎝。