高速同轴数字全息系统研究及粒子好场检测

摘要
大气中含有大量的液体和固体颗粒，既有人为制造的，也有天然存在的。

大气颗粒对天气、气候和生物的健康起着关键作用。

因而，对大气颗粒的精确测量具有重要的意义。

使用高速CCD或CMOS相机代替普通面阵相机，可以实现较短时间间隔内的动态大气颗粒全息图记录，避免运动拖影的产生。

借助数字图像处理技术对全息图进行分析，可以实现对颗粒粒径、空间分布、运动轨迹、速度、球形度等参数的测量。

数字全息技术在粒子测量方面展现了诸多优势，不仅装置结构简单稳定，并且可以三维成像、区分层叠粒子。

本文就利用数字全息技术对大气颗粒的测量展开相关实验研究，主要工作内容如下：
阐述数字全息技术的基本理论，通过对三种再现算法的实验验证，比较它们的优缺点。

为了避免拍摄动态物体全息图时产生运动拖影，设计并搭建了高速同轴数字全息系统。

对于全息图记录过程中引入的噪声，讨论如何去除全息图背景噪声以及如何抑制同轴全息零级衍射项。

为了完成对粒子几何参数和运动参数的获取，结合实验装置，分析同轴数字全息测量方法，并通过对标准粒子的模拟实验完成了粒子粒径、空间位置、速度和球形度的测量。

针对再现间隔的选取导致粒子在光轴方向的位置测量存在误差的问题，在原有装置的基础上，通过加入反射镜，实现全息图的双视角记录。

粒子沿光轴的坐标将由反射镜的位置与反射镜像的位置所确定，使粒子沿光轴坐标的测量精度得到了提高。

关键字：数字全息技术；粒子位置测量；速度测量；球形度；双视角
Abstract
The atmosphere contains a large amount of liquid and solid particles, both man-made and naturally occurring. Atmospheric particles play a key role in the health of the weather, climate and living things. Therefore, accurate measurement of atmospheric particles is of great significance. Using a high-speed CCD or CMOS camera instead of a normal area array camera, dynamic atmospheric particle hologram recording can be realized in a short time interval to avoid the occurrence of motion smear. The analysis of holograms by means of digital image processing technology can measure the particle diameter, spatial distribution, motion trajectory, velocity, sphericity and other parameters. Digital holography has many advantages in particle measurement. It not only has a simple and stable device structure, but also can image and distinguish laminated particles in three dimensions. In this paper, the digital holography technology is used to conduct experimental research on the measurement of atmospheric particles. The main work contents are as follows:
Explain the basic theory of digital holography technology, and compare the advantages and disadvantages by experimental verification of three kinds of reproduction algorithms. In order to avoid motion smear when shooting dynamic object holograms, a high-speed coaxial digital holography system was designed and built.
For the noise introduced during the hologram recording process, how to remove the hologram background noise and how to suppress the zero-order diffraction term of the coaxial hologram are discussed. In order to complete the acquisition of particle geometry parameters and motion parameters, the coaxial digital holographic measurement method was analyzed in combination with the experimental device, and the particle size, spatial position, velocity and sphericity were measured by simulation experiments on standard particles.
The selection of the reproduction interval causes the error of the position measurement of the particles in the optical axis direction. On the basis of the original device, the two-views recording of the hologram is realized by adding the mirror. The coordinates of the particles along the optical axis will be determined by the position of the mirror and the position of the mirror image, thus the measurement accuracy of the particles along the optical axis coordinates is improved.
KEYWORDS: Digital holography; Particle position measurement; Speed measurement;
目录
第一章绪论 (1)
1.1课题研究背景和意义 (1)
1.2课题国内外研究现状 (1)
1.3主要研究内容 (3)
第二章数字全息技术的基本理论 (5)
2.1引言 (5)
2.2标量衍射理论 (5)
2.3全息图记录 (6)
2.4全息图再现 (8)
2.4.1角谱法 (8)
2.4.2菲涅耳变换法 (8)
2.4.3卷积法 (9)
2.5再现算法分析 (10)
2.6全息图景深 (12)
2.7本章小结 (13)
第三章高速同轴数字全息系统研制 (14)
3.1引言 (14)
3.2同轴数字全息光路 (14)
3.3同轴数字全息参数分析 (15)
3.4高速同轴数字全息系统 (16)
3.5本章小结 (19)
第四章同轴数字全息粒子状态参数的方法 (21)
4.1引言 (21)
4.2全息图的预处理 (21)
4.2.1背景噪声去除 (21)
4.2.2零级衍射消除 (22)
4.3粒子自动提取 (22)
4.4粒子粒径和空间位置测量 (23)
4.5粒子速度测量 (24)
4.6粒子球形度测量 (25)
4.7粒子双视角测量 (26)
4.8本章小结 (28)
第五章高速同轴数字全息实验分析 (29)
5.1引言 (29)
5.2标准粒子场粒径和空间位置测量 (29)
5.3粒子运动轨迹与速度测量 (32)
5.4标准粒子球形度测量 (37)
5.5粒子双视角数字全息测量 (40)
5.6本章小结 (42)
第六章总结与展望 (44)
6.1工作总结 (44)
6.2展望 (45)
参考文献 (46)
攻读硕士学位期间的学术活动及成果情况 (50)
插图清单
图2.1 全息图记录和再现坐标图 (6)
图2.2 数字全息图的离散化图片 (7)
图2.3 分辨率板全息图 (10)
图2.4 角谱法再现图 (11)
图2.5 菲涅尔变换法与卷积法再现图 (11)
图2.6 不同再现距离全息图像再现图 (12)
图3.1 同轴全息光路示意图 (14)
图3.2 同轴全息图实像与虚像示意图 (15)
图3.3 装置示意图 (17)
图3.4 装置实物图 (17)
图4.1 粒子的不同衍射距离的再现灰度和梯度图 (23)
图4.2 粒子旋转示意图 (25)
图4.3 双视角数字全息示意图 (27)
图4.4 双视角全息图x-z坐标图 (27)
图5.1 粒子全息图与再现图 (30)
图5.2 45um标准粒子场的粒子提取与灰度梯度混合判焦法 (31)
图5.3 连续记录的动态粒子全息图 (33)
图5.4 粒子运动轨迹图 (34)
图5.5 t0时刻粒子圆心坐标图 (34)
图5.6 球形度测量装置图 (37)
图5.7 粒子球形度测量全息图 (38)
图5.8 粒子球形度测量再现图 (39)
图5.9 双视角数字全息装置图 (40)
图5.10 粒子双视角全息图与不同再现距离下的再现图 (41)
图5.11 粒子双视角三维分布图 (42)
表格清单
表3.1 半导体激光器参数 (18)
表3.2 准直镜参数 (18)
表3.3 CMOS参数 (19)
表3.4 GCM-127精密平移台性能参数 (19)
表5.1 45um标准粒子分布与直径 (32)
表5.2 粒子t0~t4时刻运动过程的圆心坐标 (35)
表5.3 粒子t5~t9时刻运动过程的圆心坐标 (35)
表5.4 粒子不同时刻的速度大小 (36)
表5.5 GCM-1107M旋转平台参数 (37)
表5.6 粒子短轴与长轴之比 (39)
表5.7反射镜参数 (40)
表5.8 粒子实像与镜像的三维坐标 (42)
表5.9 双视角全息图计算得到的粒子Z轴坐标 (42)
第一章绪论
第一章绪论
1.1课题研究背景和意义
微米级粒子的特征检测在科学研究和工程领域中有着重要需求，尤其是对大气中的粒子进行测量显得更为关键[1]。

随着工业化过程的加速，大量的颗粒物质由于人为因素直接或间接地释放到大气中，其中既包括直接以固态形式存在的颗粒物，还包括由气态颗粒物经过大气反应或者凝结而成的固态颗粒物[2]。

近年来，大量的研究发现，与较大的颗粒物环境相比，在较小的颗粒物环境中生存对人类健康的危害更大[3]。

因此，世界卫生组织（WHO）和其它国际组织已经修改了相关污染物的空气质量指南和浓度限值，并将重点放在较小的颗粒物PM2.5和PM10上[8]。

大气气溶胶通常指的是悬浮于大气中的固体或液体颗粒，直径在10-3~102微米之间。

虽然它的质量仅占总空气质量的十亿分之一，然而，大气气溶胶不仅会影响气候的变化，而且对于地气系统之间的辐射平衡也同样起着至关重要的作用[9]。

这主要是由于当太阳穿过大气时，其中的气溶胶在吸收一部分能量的同时，还会发生散射现象。

并且气溶胶粒子之间的凝结作用也会对云层的密度和浓度等产生影响。

因此确定大气中存在的气溶胶粒子大小、形状和分布对于我们理解地气系统的辐射平衡至关重要，并且对于天气预测、减小环境污染等都有直接或间接的关系。

粒子测量的方法有很多，依据测量原理的不同，主要可以划分为两大类：非光学方法和光学方法[10]。

由于适用范围的不同，各种测量方法都有其各自的优缺点。

其中，光学测量方法主要包含：瑞利散射法、基于Mie散射的响应谱法、夫琅禾费衍射法、全息照相法、显微照相法和动态光子相关法等。

光学测量方法作为一种先进的测量方法，由于其高精度，不直接与样品接触，测量速度快和自动化程度高等优点，被广泛的应用于各种粒子场测量中。

数字全息技术作为新一代成像技术，在医学成像、形貌测量、无损检测、环境研究、粒子场测量等领域都有十分广泛并且深入的应用，不仅具有结构装置简单、稳定的优点，并且能够实现三维成像。

对于粒子场在任意时刻的振幅和相位信息，通过数字全息技术都可以完整的捕获下来，借助图像处理技术对粒子全息图的分析能够准确有效地获取粒子粒径、空间位置、速度和其他参量，并且不会受到粒子形状对测量的限制，因此对于三维粒子场的实时在线检测十分方便有效。

1.2课题国内外研究现状
1948年英国物理学家丹尼斯加博尔提出了一种基于光的衍射和干涉原理的全息技术[11]。

全息技术主要由两部分组成：波前记录和波前再现。

波前记录指的是物光波的振幅和相位信息会在两束相干光发生干涉时，以干涉条纹的形式保存下
合肥工业大学专业硕士研究生学位论文
来；波前再现指的是物体的三维信息在使用记录光波对全息图进行二次照射时会被重新显现出来[12]。

但当时的全息摄影需要借助胶片作为底片，操作过程费时并且繁琐，不能实时进行。

并且由于光源性能的缺乏，并没有得到十分理想的全息图，导致全息技术发展受到了很大的阻碍。

随着高强度相干光源激光的出现，数字全息技术的概念在20世纪70年代由古德曼和劳伦斯首次提出。

数字全息技术抛弃传统的全息胶片或干板，改用光电耦合器件（CCD或CMOS相机等）直接记录物光波的干涉条纹[13]，再通过在计算机中模拟参考光波照射全息图的过程从而完成全息图的再现。

数字全息技术免去了传统记录过程中对记录介质的复杂处理步骤，简化了全息图的记录过程，实现了全息图的实时在线记录。

借助图像处理技术和各种算法，不仅能够有效的抑制图像中的噪声，很大程度地改善全息图的成像质量，还可以完整有效地获取被测物体的各方面参数，因而在很多领域中数字全息技术都得到了高效的应用。

1964年B.J.Thompson首次在粒子场测量中使用了全息技术，并利用同轴全息实现了大气中的云雾粒子测量[14]。

这使得人们发现了可以将全息技术应用于粒子测量，经过多年的发展，在医学成像、显微测量和多相流粒子测速中，数字全息技术都显现了巨大的应用优势。

1989年FWO Bryngdahl采用迭代方法，在数字全息技术中引入没有缺点的漫射器，提出了数字全息图的无斑点重建[15]。

1993年ISHIZUKA K提出了离轴数字全息的最佳采样方案，通过该方法在较低放大率下使用相同的图像数字转换器可以实现全息图区域更宽的数字化处理，并且能减少辐射损伤。

还提出了减少晶体样本的离轴全息图中的像差校正的泄露的方法[16]。

1997年Thomas M. Kreis等人提出了卷积法作为再现算法，通过对比菲涅尔变换法，分析两种再现算法各自的优缺点[17]。

并将卷积法用于再现粒子场的全息图[18]，指出数字再现除了可以再现跟被测物平面平行的面还可以再现与被测物平面垂直的面。

2000年S. Murata等人提出了通过对全息图灰度值的计算从而完成对粒子的定位[19]，并且通过实验和仿真完成了粒子尺寸和位置的测量，验证了数字全息技术应用于粒子测量的巨大优势。

2003年Mark A. Schulze等人利用数字全息技术完成了半导体芯片的缺陷检测。

不仅直观的展示了缺陷的拓扑结构，并且测量结果与扫描电子显微镜生成的图像十分接近[20]。

2010年N Pandey等人研究了再现过程的调整算法。

通过该算法可以任意调整全息图的输出范围，并且对于再现像的特定部分可以进行放大后再输出[21]。

第一章绪论
2015年Johan Zakrisson等人提出了一种基于瑞利——索末菲反向传播的数字全息显微测量方法[22]，用于识别细胞的几何形状。

并通过实验证明该方法可用于病理生理学中的流动室测定，能够实现不同位置处大量细胞的快速形状变化测量。

2018年T. Cacace等研究了通过数字全息技术实现在垂直谐振器中对超声场的校准和成像[23]。

证明了数字全息技术可以满足不同阶段下利用声泳完成在生物微流体平台下实验的需求。

在国内，也有部分学者对数字全息技术及其应用进行了研究。

中国科学院的刘诚和李银柱等人研究了数字全息技术中零级衍射像的消除方法，并成功提高了全息图的成像质量[24]。

来自西北核技术研究所的徐青和曹娜等人为了解决喷雾场全息测量过程的复杂性，同时采用光学全息和数字全息完成了雾化场的全息测量，提高了喷雾场全息测量的效率[25]。

暨南大学的胡翠英等人研究了数字显微全息技术测量生物薄膜折射率的方法，并通过对洋葱表皮细胞折射率的测量验证了该方法的可行性[26]。

1.3主要研究内容
本论文课题来源于国家自然科学基金项目“亚米尺度空间云粒子关键参数数字全息照相探测机理与模型”(NO.41371336)。

本文主要研究通过数字全息技术，完成对大气气溶胶粒子相关参数的检测，关注国内外与项目相关的最新理论和实验研究进展，以本课题组在数字全息技术方面的研究结果为基础，进一步对数字全息图记录和再现的原理与方法进行了分析；并对如何提高全息图再现质量的方法，以及粒子自动识别算法进行了研究；结合硬件分析，搭建了高速同轴数字全息系统，分析了粒子粒径、位置、三维空间分布、速度和球形度等参数的测量方法；并且讨论了如何提高粒子沿光轴坐标定位的精度。

本文的主要研究内容如下：第一章：对于完成大气气溶胶粒子参数检测的研究意义以及通常采用的粒子检测方法进行了介绍，阐述了数字全息技术在粒子场检测方面展现的巨大优点以及数字全息技术的国内外发展和研究现状，阐明了本课题的研究意义。

第二章：介绍了与数字全息技术相关的基础理论，包括标量衍射理论和全息图的记录与再现，讨论了全息图的景深。

对比了三种常见的再现算法：角谱法、菲涅尔变换法和卷积法，通过对分辨率板的再现结果分析了三种算法的适用范围。

第三章：介绍了同轴数字全息光路，并对其中的各项参数进行了分析。

阐明同轴数字全息系统中孪生像产生的原因，在粒子场测量中，由于记录距离远远大于粒子直径，因此可以忽略虚像对实像的干扰。

结合硬件分析，搭建了一套高速同轴数字全息系统。

第四章：研究了提高数字全息图成像质量的方法。

包括抑制背景噪声和抑制同轴全息零级衍射项的方法。

讨论了通过自适应阈值粒子自动提取算法实现粒子的
合肥工业大学专业硕士研究生学位论文
自动识别与提取。

分析了粒子粒径和位置测量方法，通过灰度梯度联合聚焦算法测量粒子粒径和空间分布。

介绍了粒子速度测量方法，通过连续采集多幅全息图，得到粒子轨迹，再借助Hough变换计算粒子圆心坐标，从而得到粒子速度。

研究了粒子球形度测量方法，通过对不同角度下的粒子全息图进行椭圆拟合计算得到粒子球形度。

针对粒子在光轴方向上坐标测量的不确定性，研究双视角数字全息测量方法，通过记录同一粒子的实像与反射镜像，得到粒子在光轴方向上更高精度的坐标数值。

第五章：对直径为45μm的标准粒子场进行了粒径和三维分布检测，得到粒子的平均粒径大小，并对粒子的三维空间分布情况进行了分析。

对动态粒子的运动轨迹和速度进行了测量，得到了各个粒子在不同时刻下的运动速度。

对标准粒子场的球形度进行了检测，验证了检测方法的可行性。

对粒子双视角全息图进行了测量，得到了同一粒子的实像和反射镜像，进而获取更高精度的光轴坐标数值。

第六章：总结了数字全息的基本理论和高速同轴数字全息系统的粒子场测量方法，分析了粒子场粒径、空间位置、速度和球形度的测量结果。

并对提高粒子光轴坐标测量精度的方法进行了讨论。

对于所得的实验结果，从硬件和软件两个部分探讨后续工作的开展。

第二章数字全息技术的基本理论
2.1引言
随着计算机技术和光电耦合器件的发展，基于光学全息技术而形成的数字全息技术作为一种新的度量工具受到广泛的关注。

数字全息技术不需要光学全息中对记录介质复杂的处理过程，对全息图的记录高效而便捷。

并且在计算机中完成全息图的再现过程，使得再现图更加易于观察和分析。

本章将对数字全息技术有关的基本理论进行介绍，包括标量衍射理论和全息图的记录与再现过程。

通过三种常见再现算法的比较，得出本文选取再现算法的依据。

对于全息图记录中存在的景深问题进行了讨论。

2.2标量衍射理论
标量衍射理论作为激光研究中的基本工具，可以使用一些经典的衍射公式来表达光的传播过程，比如基尔霍夫公式、瑞利——索末菲公式和衍射的角谱公式[27]。

菲涅尔积分是上述公式的傍轴近似表达，通过这些公式，就可以计算出光波传播一定距离后的光波分布情况。

以角谱公式为例，式（2.1）表明光波在传播z距离后，观察屏接收到的频谱可以由衍射屏的频谱与相位延迟因子相乘后得到的结果来表示。

G z(f x,f y)=G0(f x,f y)exp[2πjz
λ√1−(λf
x
)2−(λf y)2]（2.1）
式（2.1）中，G z(f x,f y)表示观察屏的频谱函数，G0(f x,f y)表示衍射屏的频谱函数，
exp[2πjz
λ√1−(λf
x
)2−(λf y)2]表示与传播距离z有关的相位延迟因子。

式（2.1）
即为光传播的角谱理论。

在确定观察屏的频谱函数后，如果再确定衍射屏的频谱函数，那么在传播z距离后的衍射屏的光波复振幅便可由式（2.2）求出。

U(x,y,z)=F−1{F{U(x,y,0)}exp[2πjz
λ√1−(λf
x
)2−(λf y)2]}（2.2）
如果将式（2.2）中的传递函数写为
H(f x,f y)=exp[2πjz
λ√1−(λf
x
)2−(λf y)2]（2.3）
当对式（2.3）中的根号部分进行泰勒展开并取前两项时，可以得到较好的傍轴近似
5
6
H(f x ,f y )≈exp [jkz(1−
(λf x )2+(λf y )22)] （2.4） 对于式（2.2）中的逆傅里叶变换有解析解，所以可以得到菲涅尔衍射积分： ()()
()()()220000000exp ,,exp 2jkz jk U x y U x y x x y y dx dy j z z λ∞∞
−∞−∞⎧⎫⎡⎤=−+−⎨⎬⎣⎦⎩⎭⎰⎰ （2.5） 2.3全息图记录
数字全息图的记录与传统光学全息过程类似，主要基于光波的干涉原理，当物光波和参考光波发生干涉后，全息图将通过CCD 或CMOS 相机保存下来，这样既保存了物光波的振幅信息也保存了相位信息。

当使用与原先参考光波相同的光波再次照射全息图时，依据光衍射原理再现初始的物光波的波前分布情况，就可以实现对被测物体的三维重建。

图2.1是全息图记录和再现的坐标。

图2.1 全息图记录和再现坐标图
Fig2.1 Coordinate graphs of holographic recording and reconstructing
式（2.6）表示物光波的复振幅，其中o(x,y)为振幅，φ(x,y)为初相位；式
（2.7）表示参考光波的复振幅，其中r(x,y)为振幅，ϕ(x,y)为初相位：
()()(),,exp ,O x y o x y j x y φ=−⎡⎤⎣⎦ （2.6） ()()(),,exp ,R x y r x y j x y ϕ=−⎡⎤⎣⎦ （2.7） 由图2.1可知，假设被测物体与CCD 或CMOS 靶面的距离为0z ，那么记录下的
全息图的强度分布为式（2.8）：
7
()()()
()()()()()()()()()()()22
**22,,,,,,,,,,,2,,cos ,(x,y)I x y R x y O x y R x y O x y R x y O x y O x y R x y r x y o x y r x y o x y x y φϕ=+=+++=++−⎡⎤⎣⎦ （2.8）
式（2.8）中r(x,y)2为参考光的强度，o(x,y)2为物光的强度，这两项代表零级衍射项，仅取决于振幅，在全息图中表现为亮斑噪声。

第三项为包含物光波振幅与相位信息的干涉项，在全息图中表现为孪生像，既有实像也有虚像的存在，虚像会对全息图的成像质量造成一定的干扰。

因为式（2.8）为全息图强度的离散分布，所以想要得到数字全息图就要对其进行离散化表达[28]。

如图 2.2所示，假设相机像素个数为N x ×N y ，像素尺寸为
x y αβ∆⨯∆。

所需要进行的步骤就是对每个面积大小为x y αβ∆⨯∆的像素块完成卷积运算，然后将每个像素块的亮度值认为是该像素的光强平均值，从而得到数字全息图的强度分布为式（2.9）[29]。

可以看出，每个像素块的亮度都限制在一个大小为x y L L ⨯的矩形函数中。

图2.2 数字全息图的离散化图片
Fig2.2 Discretized picture of digital hologram ()(),,,,,D H x y x y x y x y I x y I x y rect comb rect x y x y L L αβ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=* ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∆∆∆∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ （2.9）
其中，“*”为卷积运算符，(),H I x y 为像素块的亮度值。

由于ɑ与β一般接近于1，所以可以将式（2.9）简化为：
()(),,,,D H x y x y x y I x y I x y comb rect x y L L ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪∆∆⎝⎭⎝⎭
（2.10）
8
数字全息图将会以矩阵的形式存储在计算机中，矩阵中数值的大小代表了全息图的亮度信息。

式（2.11）为数字全息图在空间离散采样后的表达：
()()()2
2
22,,,,M N m M n N x y x y I m n I x y rect x m x y n y L L δ=−=−⎛⎫=−∆−∆ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ （2.11） 其中m ，n 是整数，/2/2M m M −≤≤，/2/2N n N −≤≤。

,x y x y rect L L ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
表达式为：
12,2,0x y x y x L y L x y rect L L ⎛⎫⎧≤≤= ⎪⎨ ⎪⎩⎝⎭，，其他 （2.12） 2.4全息图再现
数字全息技术将全息图保存在计算机中，与光学全息技术不同，不需要使用参考光照射原先的干涉条纹，而是在计算机中通过数值计算完成对全息图的再现过程。

常用的再现算法包括角谱法、菲涅耳变换法和卷积法。

本节通过理论介绍与实验的方法对比三种再现算法，说明本文选取再现算法的理由。

2.4.1角谱法
角谱法是在角谱理论的基础之上研究得到的再现算法[30]。

由于角谱理论不受到任何条件的约束，通过将光场看成是不同方向传播的平面波分量，从空间频域对光传播方向上任意点的复振幅进行了准确的描述。

角谱理论凭借在近场光学和激光传输等研究领域的便捷性，得到了广泛的应用[31]。

根据角谱理论，角谱法实现的理论公式为式（2.2），通过对式（2.2）进行离散化表达即可得到在计算机中使用角谱法进行数值再现采用的公式（2.13）
()()(){}
10,,,,z x y u m x n y FFT FFT u m x n y H m f n f z −∆∆=∆∆∆∆⎡⎤⎣⎦ （2.13） 式（2.13）中m ，n 为空间采样值，m ，n = 0,1,2…N -1，根据采样定理，频域采样增量与空域增量之间的关系如下: 11,x y f f N x N y ∆=∆=∆∆ （2.14） 式（2.14）中M ，N 分别表示x 方向和y 方向的采样点数。

从式（2.13）可以看出角谱法使用了两次FT 计算，最终得到的再现图的采样间隔与全息图的采样间隔完全一样，所以得到的再现图大小也和全息图一样。

2.4.2菲涅耳变换法
在计算机中利用菲涅尔变换法实现再现计算时，主要是根据菲涅耳-基尔霍夫
9 衍射积分的菲涅耳近似表达式完成对全息图的数值再现[32]，该方法所基于的理论公式为菲涅耳衍射积分的傅里叶形式。

在傍轴条件下，当全息图记录距离z 满足菲涅耳近似条件：
z 3≫{[(x ′−x)2+(y ′−y)2]2}
max 8λ （2.15）
衍射场的傅里叶变换表达式可以表示为：
U (x 1,y 1)=exp⁡(jkz)jλz exp [jk 2z (x 2+y 2)]F [U (x 0,y 0)exp (jk x 02+y 0
22z )] （2.16）
设全息图上像元大小为0x ∆和0y ∆，像面上像元大小为1x ∆和1y ∆，式
（2.16）离散化表示为：
()()()()()()221111221100,exp 2,exp 2m x n y U m x n y jk z m x n y F U m x n y jk z ⎛⎫∆+∆∆∆= ⎪ ⎪⎝⎭
⎧⎫⎡⎤∆+∆⎪⎪⨯∆∆⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭ （2.17）
根据式(2.17)可知，在通过一次FT 计算后，采用菲涅尔变换法就可以得到全息图的再现图，在经过FFT 计算后得到的空域采样间距分别为和。

如果
将全息图平面视为空间域，那么对其使用菲涅耳变换法得到的再现图平面也为空间域，按照空域与频域采样间隔之间的关系，可以得到： ,i i z z x y M x N y λλ∆=∆=∆∆ （2.18） 根据式(2.18)可知，通过菲涅耳变换法进行再现计算得到的再现图，其图片尺寸大小与全息图并不相同，并且当再现距离逐渐增加时，再现像的尺寸也会逐渐减小。

这是由于像平面的采样间隔随着再现距离的增加而增大，因此采样数量也会随着减少。

2.4.3卷积法
通过卷积法对全息图进行数值再现依据的理论公式为式（2.5），它同样也是角谱理论的近似表达形式之一[33]。

对式(2.5)两边进行FT −1计算，可以得到式（2.19）
(){}(){}()()22000exp ,,exp 2jkz jk F U x y F U x y F x y j z
z λ⎧⎫⎡⎤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ （2.19） 设x f ，y f 是频域坐标，则菲涅耳衍射传递函数可表示为
()()()22exp ,exp 2F x y jkz jk H f f F x y j z z λ⎧⎫⎡⎤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ （2.20）
1x ∆1y ∆。