一次函数的一种性质及应用

一次函数的一种性质及应用
一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数），教科书给出一种性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减少。

但是没有给出它经过坐标象限的性质，出现这类型的例题，一般要作出它的图象。

在这里我们推出它的性质及应用这种性质。

给出y=kx（k≠0）正比例函数的图象如下。

得出：（1）当k＞0时，直线y=kx必须过一、三象限；
（2）当k＜0时，直线y=kx必须过二、四象限。

因为直线y=kx+b与直线y=kx是平行的，所以它们经过同样的象限。

而且当b＞0时，直线y=kx+b，经过在y的正半轴上的点（o，b），所以它必过一二象限，当b＜0时，直线y=kx+b经过y的负半轴上的点（o，b），所以它必经过三四象限。

我们可以总结出y=kx+b这样的性质：
（1）当k＞0时，直线y=kx+b必须过一三象限。

（2）当k＜0时，直线y=kx+b必经过二四象限。

（3）当b＞0时，直线y=kx+b必经过一二象限。

（4）当b＜0时，直线y=kx+b必经过三四象限。

应用它灵活判别直线y=kx+b经过的象限，和已知直线y=kx+b经过的象限，判别k、b的符号及其它相关系的问题，又是中考热点。

下面试举几例。

例1：一次函数y=3-2x不经过的象限是（）。

（A）第一，（B）第二，（C）第三，（D）第四。

解：∵k=-2＜0，
∴直线必经过二四象限。

2∵b=3＞0
∴直线必经过一二象限。

∴直线y=3-2x经过一二四象限，即不经过第三象，故选（C）。

例2：函数y=ax+b的图象，经过一二四象限，则（）。

（A）a＞0，b＞0，（B）a＞0，b＜0，
（C）a＜0，b＞0，（D）a＜0，b＜0。

解：∵直线经过二四象限。

∴a＜0。

2∵直线经过一二象限。

∴b＞0。

故选（C）。

例3：已知一次函数y=kx-k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过（）。

（A）一二三象限，（B）一三四象限，
（C）一二四象限，（D）二三四象限。

解：∵y随x的增大而增大，
∴k＞0，-k＜0，
∴y=kx-k经过一三四象限，故选（B）。

例4：在下列直角坐标系中，一次函数y=kx-2k的图象只可能是下图的（）。

解：当k＞0时，直线y=kx-2k必过一三四象限。

当k＜0时，直线y=kx-2k必过一二四象限。

可以排除（C），（D）。

可以排除（A），故选（B）。

例5：一次函数y=mx+n与y=mnx（m≠0，n≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）。

（A）（1）和（3），（B）（2）和（3），（C）（1）和（4），（D）（3）和（4）。

解：（1）∵y=mx+n经过一二三象限，
∴m＞0，n＞0，
∴y=mnx经过一三象限，排除（1）。

（2）∵y=mx+n经过一三四象限，
∴m＞0，n＜0，
∴y=mnx经过二四象限，排除（2）。

（3）∵y=mx+n经过二三四象限，
∴m＜0，n＜0，
∴y=mnx经过一三象限，
故可能为（4），故选（D）。