人教版数学高二A版选修2-2学业分层测评 1.5.3 定积分的概念

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．关于定积分m ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13d x ，下列说法正确的是( )
A ．被积函数为y ＝－1
3x B ．被积函数为y ＝－1
3 C ．被积函数为y ＝－1
3x ＋C
D ．被积函数为y ＝－1
3x 3 【解析】 被积函数为y ＝－1
3. 【答案】 B
2．(2016·菏泽高二检测)已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛-6 6f (x )d x
＝( )
A ．0
B ．16
C ．12
D ．8
【解析】 偶函数图象关于y 轴对称，故⎠⎛-6 6f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.故选B.
【答案】 B
3．设f (x )＝⎩⎨⎧
x 2，x ≥0，
2x ，x <0，则⎠⎛-11f (x )d x 的值是( )
A. ⎠⎛-11x 2d x
B. ⎠⎛-1
12x d x C. ⎠⎛-1 0x 2d x ＋⎠⎛0
12x d x
D. ⎠⎛-1 02x d x ＋⎠⎛0
1x 2d x 【解析】 被积函数f (x )是分段函数，故将积分区间[－1,1]分为两个区间[－1,0]和[0,1]，由定积分的性质知选D.
【答案】 D
4．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x 求出的是( )
【导学号：60030035】
【解析】 定积分S ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间
的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方，对照各选项，知D 中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方．
【答案】 D
5．定积分⎠⎛a
b f (x )d x 的大小( )
A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关
B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关
C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关
D ．与f (x )，积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关
【解析】 定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi 的取法无关． 【答案】 A 二、填空题
6．(2016·长春高二检测)定积分⎠⎛1
3(－3)d x ＝__________.
【解析】 由定积分的几何意义知，定积分
⎠⎛1
3
(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3与y ＝－3，y ＝0 所围成图形面积的相反数．所以⎠⎛13(－3)d x
＝－(2×3)＝－6. 【答案】 －6
7．定积分⎠⎛-12－1|x |d x ＝__________.
【解析】 如图，⎠⎛-1
2|x |d x ＝12＋2＝5
2.
【答案】 5
2
8．曲线y ＝1
x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．
【解析】 如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121x d x ＝⎠⎛12⎝
⎛⎭⎪⎫
x －1x d x .
【答案】 ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －1x d x
三、解答题
9．(2016·济南高二检测)已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝56
3，求：
(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ；(3)⎠⎛1
2(3x 2－2x 3)d x .
【解】 (1)⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x
＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫
⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫
14＋154＝12.
(2)⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛1
4x 2d x ＝6⎝ ⎛⎭
⎪⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫
73＋563＝126. (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－1
2. 10．利用定积分的几何意义，求⎠⎛-1111－x 2d x 的值．
【解】 y ＝
1－x 2(－1≤x ≤1)表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的半圆(含圆与
x 轴的交点)．根据定积分的几何意义，知⎠⎛-1
1
1－x 2d x 表示由曲线y ＝
1－x 2与
直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积，
所以⎠⎛-1
1
1－x 2d x ＝S 半圆＝1
2π.
[能力提升]
1．(2016·黄冈高二检测)设曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭区域的面积为S ，则下列等式成立的是( )
A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d x
B ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x
C ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y
D ．S ＝⎠⎛0
1(y －y )d y
【解析】 作出图形如图，由定积分的几何意义知，S ＝⎠⎛0
1(x －x 2)d x ，
选B.
【答案】 B
2．已知和式S ＝1p ＋2p ＋3p ＋…＋n p
n p ＋1(p >0)，当n 趋向于∞时，S 无限趋向于
一个常数A ，则A 可用定积分表示为( ) 【导学号：60030036】
A.⎠⎛011
x d x B.⎠⎛01x p d x C.⎠⎛01⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x p d x D.⎠⎛01⎝ ⎛⎭
⎪⎫x n p d x 【解析】 S ＝1n ⎣⎢⎡
⎝ ⎛⎭⎪⎫1n p ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n p ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3n p ＋…＋
⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n n p ＝∑i ＝1
n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n p ·1
n
， ∴lim n →∞∑i ＝1
n
⎝ ⎛⎭⎪⎫i n p ·1n ＝⎠
⎛0
1x p d x . 【答案】 B
3．(2016·深圳高二检测)定积分⎠⎛2 016
2 0172 017 d x ＝________________.
【解析】 由定积分的几何意义知，定积分表示由直线x ＝2 016，x ＝2 017与y ＝2 017，y ＝0所围成矩形的面积，所以⎠⎛2 0162 0172 017d x ＝(2 017－2 016)×2 017
＝2 017.
【答案】 2 017
4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 3，x ∈[－2，2)，
2x ，[2，π)，
cos x ，[π，2π]，
求f (x )在区间[－2,2π]上的积分．
【解】 由定积分的几何意义知⎠⎛－2
2
x 3d x ＝0，
⎠⎛2
π2x d x ＝
(2π＋4)(π－2)
2
＝π2－4，
⎠⎛π
2π
cos x d x ＝0. 由定积分的性质得
⎠⎛－22π
f (x )d x ＝⎠⎛－22
x 3d x ＋⎠⎛2π2x d x ＋⎠⎛π2πcos x d x ＝π2－4。