北京市平谷区2020年新人教版九年级上期末考试数学试题

平谷区2020～2020学年度第一学期末考试试卷
初 三 数 学 2020年1月
考生 须知
1．试卷分为试题和答题卡两部分，所有试题均在答题卡上．．．．．．
作答． 2．答题前，在答题卡上考生务必将自己的考试编号、姓名填写清楚． 3．把选择题的所选选项填涂在答题卡上；作图题用2B 铅笔．
4．修改时，用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面清洁，不要折叠．
一、选择题(本题共32分，每小题4分)
下列各小题均有4个选项，其中只有一个选项是正确的. 1．3-的相反数是
A ． 3
B ．3-
C ．13
D ．1
3
-
2．如图，在∆ABC 中，DE ∥BC ，且AD :AB=2:3，则DE :BC 的值为
A ．13
B ．23
C ．1
2
D ．2
3．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，若∠C =40°，则∠AOB 的度数是 A ．40° B ．50°
C ．55°
D ．80°
4． 如果
252+=a b b ，那么b
a
的值是
5．如图，在平面直角坐标系中，P 是1∠的边OA 上一点， 点P 的坐标为(3，4)，则sin 1∠的值为
A ．34
B ．43
C ．4
5 D ．35
6．将抛物线2
3=y x 先沿x 轴向右平移1个单位， 再沿y 轴向 上移2个单位，所得抛物线的解析式是 A ．2
3(1)2=++y x B ．2
3(1)2=-+y x
C ．23(1)2=--y x
D ．23(1)2=+-y x
7．如图，在∆ABC 中, ∠C ＝90°，分别以A 、B 为圆心， 2为半径画圆，则图中阴影部分的面积和为
A ．3π
B ．2π
C ．π
D ．
2π3
A ．1
2
B ．2
C ．1
5
D ．5
E D C
B
A
2题图
C
B
A O
3题图
5题图
7题图
A
B
C
8．如图，AB 为半圆的直径，点P 为AB 上一动点．动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动到点B ，运动时间为t ．分别以AP 与PB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图象大致为( )
二、填空题(本题共16分，每小题4分)
9．在一个不透明的口袋中，装有5个红球4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为_______．
10．点),2(1y P -和点),1(2y Q -分别为抛物线322
--=x x y 上的两点，则21___y y ． (用“＞”
或“＜”填空)．
11．如图，△ABC 为等边三角形，D 是△ABC 内一点，且AD ＝2，将△ABD 绕点A 逆时针旋转到
△ACE 的位置，这时点D 走过的路线长为 ．
12．如图，P 是抛物线342
+-=x x y 上的一点，以点P 为圆心、1个单位长度为半径作⊙P ， 当⊙P 与直线y ＝2相切时，点P 的坐标为 ． 三、解答题(本题共30分，每小题5分)
13．计算:1
012sin 4512(tan 601)2-⎛⎫
︒--+︒-+ ⎪⎝⎭
．
14．已知0142
=-+x x ，求代数式)4()2)(2()12(2
---+-+x x x x x 的值．
15．如图，在△ABC 中，∠C =60°，AC =2， BC =3． 求tan B 的值．
11题图
12题图
8题图
A B C D
16．如图，在边长为1的正方形网格中有两个三角形 △ABC 和△DEF ，试证这两个三角形相似．
17．一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k
y x
=的图象交于A (1，4)、B (﹣2，m )两点， (1)求一次函数和反比例函数的关系式；
(2)画出草图，并根据草图直接写出不等式x
k
b ax >+的解集．
18．抛物线c bx x y ++=2
过点(2，-2)和(-1，10)，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点． (1)求抛物线的解析式． (2)求△ABC 的面积．
四、解答题(本题共10分，每小题5分)
19．在矩形ABCD 中，AB = 10，BC = 12，E 为DC 的中点，
连接BE ，作AF ⊥BE ，垂足为F ． (1)求证:△BEC ∽△ABF ； (2)求AF 的长．
2020图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的直线， 垂足为D ，且AC 平分∠BAD ． (1) 求证:CD 是⊙O 的切线；
(2) 若AC ＝62，AD ＝4，求AB 的长．
O
D
C
B
F
E
A B
C
D
①
F
E
P
B
O
A N
M
五、解答题(本题共17分，其中第21题5分，22题5分，23题7分) 21．如图，在AOB Rt ∆中，︒=∠90ABO ，4=OB ，8=AB ， 且反比例函数x
k
y =
在第一象限内的图象分别交OA 、AB 于点C 和点D ，连结OD ，若4=∆BOD S ， (1) 求反比例函数解析式； (2) 求C 点坐标．
22．老师要求同学们在图①中MON ∠内找一点P ，使点P 到OM 、ON 的距离相等．
小明是这样做的:在OM 、ON 上分别截取OA =OB ，连结AB ，取AB 中点P ，点P 即为所求． 请你在图②中的MON ∠内找一点P ，使点P 到OM 的距离是到ON 距离的2倍．要求:简单叙述做法，并对你的做法给予证明．
23．已知关于x 的方程04)14(2
=++-x k kx ．
(1)当k 取何值时，方程有两个实数根；
(2)若二次函数4)14(2
++-=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，
求k 值并用配方法求出抛物线的顶点坐标；
(3)若(2)中的抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．将抛物线向上平移n 个单位，使平
移后得到的抛物线的顶点落在△ABC 的内部(不包括△ABC 的边界)，写出n 的取值范围．
六、解答题(本题7分)
24．以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，
其中∠ABO =∠DCO =30°．
(1)点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，连接EF 和FM ．
①如图1，当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时，EF FM
=_______；
②如图2，将图1中的△AOB 绕点O 沿顺时针方向旋转α角(060α<<)， 其他条件不变，判断EF FM
的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
(2)如图3，若BO =33，点N 在线段OD 上，且NO =3．点P 是线段AB 上的一个动点，在将
△AOB 绕点O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为_______，最大值为_______．
七、解答题(本题8分)
25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上两点，经过A 、C 、B 的
抛物线的一部分1C 与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分2C 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为(0，2
3
-
)，点M 是抛物线2C :)0(322<--=m m mx mx y 的顶点．
(1)求A 、B 两点的坐标．
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得PBC ∆的面积最大？
M
F
E
O
D
C B
A
图1
M
F
E
O
D
C B A
图2
A B D O N P
图3 D O N 备用图。