黑龙江省牡丹江一中高一数学上学期12月月考试卷(含解

2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高一（上）12月月考数学试卷
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．cos（﹣π）的值为（）
A．B．﹣C．﹣D．
2．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形中心角为（）
A．B．C．D．
3．设角α的终边经过点P（﹣3a，4a），（a＞0），则sinα+2cosα等于（）A．B．﹣C．﹣D．
4．下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是（）
A．y=|sinx| B．C．y=tanx D．y=cos x
5．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值为（）
A．B．C．D．
7．设a=sin，b=cos，c=tan，则（）
A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b
8．（1+tan17°）（1+tan18°）（1+tan27°）（1+tan28°）的值是（）
A．2 B．4 C．8 D．6
9．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
10．已知f（x）是以5为周期的奇函数，f（﹣3）=4且sinα=，则f（4cos2α）=（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
11．函数的零点个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）
A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0） B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2） C．f（﹣2）＜f（0）＜f （2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．函数y=sin2x+cos2x在[0，π]上的单调递减区间为．
14．若，，且α，β为钝角，则α+β的值为．15．函数y=log2[sin（2x﹣）]+的定义域为．
16．函数f（x）=，下列四个命题
①f（x）是以π为周期的函数
②f（x）的图象关于直线x=+2kπ，（k∈Z）对称
③当且仅当x=π+kπ（k∈Z），f（x）取得最小值﹣1
④当且仅当2kπ＜x＜+2kπ，（k∈Z）时，0＜f（x）≤
正确的是．
三、解答题
17．已知sin（π+θ）=，求
+的值．
18．已知=3，计算：
（1）；
（2）（sinα+cosα）2．
19．求函数的最大、小值，及取得最大、小值时x 的取值集合．
20．设0＜α＜π，若，求的值．
21．设函数f（x）=sin（ωx+ϕ），（ω＞0，﹣π＜ϕ＜0）的两个相邻的对称中心分别为（，0），
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（3）用五点法作出函数f（x）在[0，π]上的简图．
22．已知函数g（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜，ω＞0）的图象如图所示，函数f（x）=g（x）+cos2x﹣sin2x
（1）如果，且g（x1）=g（x2），求g（x1+x2）的值；
（2）当﹣≤x≤时，求函数f（x）的最大值、最小值及相应的x值；
（3）已知方程f（x）﹣k=0在上只有一解，则k的取值集合．
2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高一（上）12月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．cos（﹣π）的值为（）
A．B．﹣C．﹣D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．
【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可．
【解答】解：cos（﹣π）=cos=cos=﹣cos=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．
2．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形中心角为（）
A．B．C．D．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】由扇形面积公式得θr=2π，θr2=3π，先解出r值，即可得到θ值．
【解答】解：设这个扇形中心角的弧度数是θ，半径等于r，则由题意得θr=2π，
θr2=3π，
解得 r=3，θ=．
故选：D．
【点评】本题考查扇形的面积公式，弧长公式的应用，得到θr=2π，θr2=3π，是解题的关键，属于基础题．
3．设角α的终边经过点P（﹣3a，4a），（a＞0），则sinα+2cosα等于（）
A．B．﹣C．﹣D．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；方程思想；定义法；三角函数的求值．
【分析】由题意可得 x=﹣3a，y=4a，r=5a，可得sinα=及cosα=值，从而得到
si nα+2cosα的值．
【解答】解：∵a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），
∴x=﹣3a，y=4a，r=5a，
∴sinα==，cosα==﹣，∴sinα+2cosα=﹣，
故选：C．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，求出sinα和cosα的值是解题的关键．
4．下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是（）
A．y=|sinx| B．C．y=tanx D．y=cos x
【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】逐一检验各个选项中各个函数的周期性和奇偶性，从而得出结论．
【解答】解：y=|sinx|的最小正周期为π，且它为偶函数，故满足条件．
y=cos（2x+）=﹣sin2x 的最小正周期为π，且它为奇函数，故不满足条件，故排除
B．
根据y=tanx为奇函数，故排除C．
根据y=cos x的周期为=6π，不满足条件，故排除D，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
5．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．
【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，
∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．6．已知sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值为（）
A．B．C．D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得tanα=的值．
【解答】解：∵sinα=﹣，且α为第四象限角，∴cosα==，
则tanα==﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
7．设a=sin，b=cos，c=tan，则（）
A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b
【考点】三角函数线．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值．
【分析】利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可．
【解答】解：sin=cos（﹣）=cos（﹣）=cos，
而函数y=cosx在（0，π）上为减函数，
则1＞cos＞cos＞0，
即0＜b＜a＜1，
tan＞tan=1，
即b＜a＜c，
故选：A
【点评】本题主要考查三角函数值的大小比较，利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性是解决本题的关键．
8．（1+tan17°）（1+tan18°）（1+tan27°）（1+tan28°）的值是（）
A．2 B．4 C．8 D．6
【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】解三角形．
【分析】先将（1+tan17°）（1+tan28°）展开，利用两角和的正切函数变形化简求出值，同理可得（1+tan18°）（1+tan27°）的值，代入式子求值即可．
【解答】解：因为（1+tan17°）（1+tan28°）=1+tan17°+tan28°+tan17°tan28°
=1+tan（17°+28°）（1﹣tan17°tan28°）+tan17°tan28°
=1+tan45°（1﹣tan17°tan28°）+tan17°tan28°=2；
同理可得，（1+tan18°）（1+tan27°）=2；
所以（1+tan17°）（1+tan18°）（1+tan27°）（1+tan28°）=4．
故选：B．
【点评】本题考查两角和的正切函数变形的应用，注意公式的灵活应用，属于中档题．9．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题．
【分析】利用y=sin2x=cos（2x﹣）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可选得答案．【解答】解：∵y=sin2x=f（x）=cos（2x﹣），
∴f（x+）=cos[2（x+）﹣]
=cos（2x+），
∴为得到函数y=cos（2x+），的图象，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个长度单
位；
故选C．
【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查诱导公式的应用，属于中档题．10．已知f（x）是以5为周期的奇函数，f（﹣3）=4且sinα=，则f（4cos2α）=（）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】利用同角三角函数的基本关系式及函数的周期性求得答案．
【解答】解：∵sinα=，∴4cos2α=4（1﹣2sin2α）=4（1﹣2×）=﹣2．
又f（﹣3）=4，
∴f（4cos2α）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣f（2﹣5）=﹣f（﹣3）=﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．11．函数的零点个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】数形结合；转化思想．
【分析】先把研究函数零点个数问题转化为对应的函数y=3sin x与y=log x的交点个数，再利用函数的周期以及函数的最值以及单调性画出函数图象，由图即可得出结论．
【解答】解：因为函数的零点个数就是对应的函数y=3sin x 与y=log x的交点个数．
又因为函数y=3sin x的周期T==4．而y=log x=﹣3⇒x=8．
在同一坐标系中画图得：
又图得：交点有5个．
故函数的零点个数是5．
故选 D．
【点评】本题的易错点在于对函数的基本性质理解不透，以至于图象画的不准，影响判断．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）
A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0） B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2） C．f（﹣2）＜f（0）＜f （2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】创新题型；三角函数的图像与性质．
【分析】依题意可求ω=2，又当x=时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f（x）=Asin（2x+），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．
【解答】解：依题意得，函数f（x）的周期为π，
∵ω＞0，
∴ω==2．
又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，
∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，
∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．
∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．
f（2）=Asin（4+）＜0，
f（0）=Asin=Asin＞0，
又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asinx在区间（，）是单调递减的，
∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．函数y=sin2x+cos2x在[0，π]上的单调递减区间为[，] ．
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数在在[0，π]上的单调递减区间．
【解答】解：函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
结合x∈[0，π]，可得函数的减区间为[，]，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．14．若，，且α，β为钝角，则α+β的值为．
【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．
【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．
【分析】求出α，β的余弦函数值，然后利用两角和的余弦函数求解即可．
【解答】解：，，且α，β为钝角，
可得cosα==﹣．
cosβ=﹣=﹣．
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ==，
∴α+β=．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
15．函数y=log2[sin（2x﹣）]+的定义域为
．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；函数思想；集合思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0，结合求解三角不等式，取交集得答案．
【解答】解：要使原函数有意义，则，
由①得：﹣；
由②得：，即2kπ，k∈Z．
∴．
取k=﹣1时，，取k=0时，．
取交集得：或．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了三角不等式的解法，属中档题．
16．函数f（x）=，下列四个命题
①f（x）是以π为周期的函数
②f（x）的图象关于直线x=+2kπ，（k∈Z）对称
③当且仅当x=π+kπ（k∈Z），f（x）取得最小值﹣1
④当且仅当2kπ＜x＜+2kπ，（k∈Z）时，0＜f（x）≤
正确的是②④．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质；简易逻辑．
【分析】由题意作出此分段函数的图象，由图象研究该函数的性质，依据这些性质判断四个命题的真假，此函数取自变量相同时函数值小的那一个，由此可顺利作出函数图象．
【解答】解：由题意函数f（x）=，
画出f（x）在x∈[0，2π]上的图象．
由图象知，函数f（x）的最小正周期为2π，故①错误；
由图象知，函数图象关于直线x=+2kπ（k∈Z）对称，故②正确；
在x=π+2kπ（k∈Z）和x=+2kπ（k∈Z）时，该函数都取得最小值﹣1，故③错误，在2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤，故④正确．
故正确的命题为：②④．
故答案为：②④
【点评】本题考点是三角函数的最值，本题是函数图象的运用，由函数的图象研究函数的性质，并以由图象研究出的结论判断和函数有关的命题的真假．
三、解答题
17．已知sin（π+θ）=，求
+的
值．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用诱导公式求得sinθ=﹣，再利用诱导公式化简所给的式子，从而求得结果．
【解答】解：由sin（π+θ）=，可得，
∴原式
==
=
====8．
【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
18．已知=3，计算：
（1）；
（2）（sinα+cosα）2．
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】由已知及同角三角函数基本关系式可得：tanα=﹣4，利用同角三角函数基本关系式化简代入即可得解；
【解答】（本题满分为12分）
解：由已知可得：sinα﹣2cosα=3sinα+6cosα，
可得：2sinα=﹣8cosα，解得：tanα=﹣4．
．
．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基本知识的考查．
19．求函数的最大、小值，及取得最大、小值时x
的取值集合．
【考点】三角函数的最值．
【专题】函数思想；换元法；三角函数的求值．
【分析】问题可化为y=﹣t2+t+2（0≤t≤1）的最值，由二次函数区间的最值可得．
【解答】解：由题意可得y=1﹣cos2x+cosx+1=﹣cos2x+cosx+2，
∵，∴0≤cosx≤1，
设t=cosx，则y=﹣t2+t+2（0≤t≤1）
∵关于t的二次函数开口向下，对称轴，
∴函数y=﹣t2+t+2在上为增函数，在上为减函数，
∴当时，，
此时，或，集合为；
当t=1或t=0时，y min=2，时cosx=0或cosx=1
此时或或x=0，集合为
【点评】本题考查三角函数的最值，换元并转化为二次函数区间的最值是解决问题的关键，属中档题．
20．设0＜α＜π，若，求的值．
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件判断，求得sin（α+）的值，可得 sin（2α+）和cos（2α+）的值，从而求得=sin[（2α+）﹣]的值．
【解答】解：∵0＜α＜π，∴，∵，
∴．
又∵，且，∴，
∴．
∴sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=2••（﹣）=﹣，
∴cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=1﹣2•=﹣，
故
=
．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，判断
，是解题的关键，属于中档题．
21．设函数f（x）=sin（ωx+ϕ），（ω＞0，﹣π＜ϕ＜0）的两个相邻的对称中心分别为（，0），
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（3）用五点法作出函数f（x）在[0，π]上的简图．
【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】作图题；图表型；数形结合；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由题意可求周期T，利用周期公式可求ω，由点（，0）在函数图象上，可得，结合范围﹣π＜ϕ＜0，可求ϕ，从而可求f（x）的解析式；
（2）由，可解得f（x）对称轴方程．
（3）分别取2x﹣=0、、π、、2π，求出对应的x值和y值列表，然后描点，再用平滑曲线连接得函数图象．
【解答】解：（1）∵f（x）的两个相邻的对称中心分别为，，∴，
∴ω=2，
∴由，可得：，解得：，
∵﹣π＜ϕ＜0，
∴，
∴．
（2）∵由，可得，k∈Z，
∴f（x）对称轴方程为
x
0 π2π
2x﹣
0 1 0 ﹣1 0
y=sin（2x﹣）
第三步：连线画出图象如图所示：
【点评】本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的有关概念，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查利用五点作图法作函数的图象，属于基础题．
22．已知函数g（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜，ω＞0）的图象如图所示，函数f（x）=g（x）+cos2x﹣sin2x
（1）如果，且g（x1）=g（x2），求g（x1+x2）的值；
（2）当﹣≤x≤时，求函数f（x）的最大值、最小值及相应的x值；
（3）已知方程f（x）﹣k=0在上只有一解，则k的取值集合．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．
【专题】整体思想；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由图象求出A、T、ω和φ，求出g（x）的解析式，由图象和条件求出x1+x2的值，代入解析式由特殊角的正弦函数求g（x1+x2）的值；
（2）由（1）和两角和、差的正弦公式化简f（x），由x的范围、正弦函数的性质，求出答案；
（3）由x∈求出的范围，由正弦函数的性质求出的范
围，由条件和方程的根转化求出k的取值集合．
【解答】解：（1）由图象得，A=1，
T=，则，所以ω=2，
把点代入得，sin（2×+φ）=0，则2×+φ=kπ，
解得（k∈Z），由﹣π＜ϕ＜0得，，
所以，
因为，且g（x1）=g（x2），
所以由图得，，
则；
（2）由（1）得，f（x）=g（x）+cos2x﹣sin2x
==，
因为，所以，
当时，即时，y max=2，
当时，即时，；
（3）由（2）得，f（x）=，
因为x∈，所以∈，
则，
即，
因为方程f（x）﹣k=0在上只有一解，
则k的取值集合是（﹣，]∪{﹣2}．
【点评】本题考查由三角函数的图象求解析式，三角函数的图象变换，以及正弦函数的性质，属于中档题．。