概率论-事件发生的可能性
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A与B的共同元素 A的补集 在A中而不在B中的元素
A与B无公共元素
事件含义 样本空间，必然事件 不可能事件 样本点 基本事件 一个事件 A发生导致B发生 事件A与B相等 A与B至少有一个发生
A与B同时发生 A的对立事件 A发生而B不发生
A与B互斥
§2 概率
概率是事件发生可能性的数量指标。
即在多次重复后，某结果出现的比率。
D与B,D与E互不相容
C与E为对应事件。
B与C，B与A，E与A相容
A与C,A与D,C与D,B与E也是相容的。
符号 Ω Φ ω∈Ω {ω} A Ω A B A=B A∪B
A∩B Ā A-B
A∩B=φ
集合含义 全集 空集 集合的元素 单点集 一个集合 A的元素在B中 集合A与B相等 A与B的所有元素
3) ABC D 4) ABC D 5) ABCD BACD CBAD DBC A ABCD
例子P55 --11:
P( A)
2 P42 P53
2/5
例子P55 --12:
例子P55 --13:
例子P55 --14:
例子P55 16--18
例子P56 19--22
例子P56 23--26
用图形表示，即
A
B
也可定义多个事件的交。 交与并运算还满足分配律： (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) 用不同的记号，可写为 (A+B)C=AC+BC (AB)+C=(A+C)(B+C)
5、事件的差 事件A发生而事件B不发生，是一个事件， 称为事件A与B的差。 它由属于A但不属于B的所有样本点组成。 记作A-B 如：A={1,2,3},B={1,3,5}
每次试验一定发生的事件称为必然事件。 如点数大于0 一般用Ω表示必然事件。 每次试验一定不发生的事件称为不可能事件。 如点数大于9 一般用φ表示不可能事件 它们是随机事件的特例。 为了研究的方便，可以用点集来表示事件， 也可以用文氏图表示。
基本事件用只包含一个元素ω的单点集{ω}表示。 复合事件用包含若干个元素的集合表示。
3、事件的并（和） 两个事件A，B中至少有一个发生，即“A或B”， 是一个事件，称为A与B的并（和）。
它是由A与B的所有样本点构成的集合。
记作A+B或A∪B 掷骰子之例中，若 A={1,2,3},B={1,3,5} 则A∪B={1,2,3,5} 集合的运算规律对事件也成立，如 A∪B=B∪A,(A∪B)∪C=A∪(B∪C) A∪B A,A∪B B A∪φ=A,A∪Ω=Ω
例如掷一颗骰子，
A表示点数为4，即为单点集{4} B表示点数为偶数，即为点集{2,4,6} 点数为正数，是必然事件，即为全集{1,2,3,4,5,6} 点数为负数，是不可能事件，即为空集φ 所有基本事件对应的元素组成的集合称为样本空间。 每个基本事件对应的元素称为一个样本点。
三、事件间的关系及运算
这是因为由图
A
B
A+B=A+(B-A)
由于A与B-A互斥 故P(A+B)=P(A)+P(B-A) 再由(3)得证。 可见，只需P(AB)=0加法法则就成立。 若是多个事件之和，公式会变复杂。
P(A+B+C) =P(A+B)+P(C)-P((A+B)C) =P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(AC+BC)
§4 概率的加法法则
例1 10件产品中有6个一等品，3个二等品，1个废品。 规定一、二等品为合格品。求合格率与一、二等品 之间的关系。
解：A、B分别表示一、二等品，A+B表示产品合格
P(A) 6 P(B) 3
10
10
P(A B) 6 3 9
10 10
故 P(A+B)=P(A)+P(B)
解：组成试验的基本事件总数
C n
2 53
事件A表示取到两个白球，基本事件数m
C2 5
2
CC 故 P(A)
5 2
8
5 0.357 14
另解：若认为取出的两个球有先后次序，
则基本事件总数为
P2 8
8
7,
P A的事件数为
2 5
5
4
故 P(A) 5 4 5 0.357 8 7 14
2、偶然现象或随机现象 即使条件一定，结果也不可预测
如 掷一枚硬币，出现正面或反面？ 买一张彩票，是否中奖？ 是否会发生水灾？
要面对随机现象进行研究，还有一些要求。 二、随机试验与随机事件
随机试验是对随机现象进行试验或观察 1、相同的条件下可以重复进行 2、每次试验有多种可能的结果，而且在试验 之前即可明确有几种可能。
概率论
概率论－事件发生的可能性
教师介绍
阚海斌（博士、教授、博士导师） 办公室：袁成英计算机楼217室 Email: hbkan@
第一章 随机事件与概率
§1 随机事件
一、必然现象与随机现象 1、必然现象
在一定条件下肯定会发生的现象
如水100ºC沸腾，苹果从树上掉落
只有正、反面两个基本事件。
若A表示出现正面。
则
P(A) 1
2
例2 随意拨一个六位电话号码，正好找到朋友
张某的概率。
解：为简便，每位数字有10种选择。 基本事件总数是106。
事件A表示找到张某，则A只有一个基本事件。
故
P(A)
1 106
0.000001
例3 袋中装有5个白球，3个黑球。从中任取两个球， 计算取出的两个球都是白球的概率。
概率应有如下特征：
(1)是事件本身固有的，可通过大量试验来检验。
(2)符合一般常情，可能性大时，概率也大。 一般叙述可能性时用百分比。
以后为方便更多地用0到1之间的小数。
即0≤P(A)≤1 且 P(Ω)=1
P(φ)=0
1、典型概率 要计算事件发生的可能性，对随机试验有一定要求。 (1)每次试验只有有限个可能的试验结果。
3、每次试验不能预知哪一结果会发生。 当目的不同时，结果也会有不同。
如天气：下雨或不下雨。 晴、多云、阴、小雨、大雨等。
随机试验的每个结果称为随机事件，简称事件。 一般用大写英文字母A、B、C等表示。 例如在0、1、2、…、9中任取一数。 A表示取到0，B表示取到5， C表示取到奇数，D表示取到3的倍数。 它们都是随机事件。 不能分解为其它事件的事件称为基本事件。如A,B 能分解为其它事件的事件称为复合事件。如C,D
特别地，对立事件的概率之和为1。
P(A)+P(Ā)=1
常用形式为 P(A)=1-P(Ā)
(3)若B A，则 P(B A) P(B) P(A) 一般有 P(B-A)=P(B)-P(AB)
这是因为 B=(B-A)+AB 见右图
B
A
(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 称为广义加法法则
35
若B表示中一等奖(对6个号码)
C C B的基本事件数为 6 1 7 28
CCC 故 P(B)
11
7 7 28 0.0000292
35
书上的例子: p26
样本空间 S {(a,b,c, d) |1 a,b,c, d 4,且a,b,c, d互不相等} 则|S|=4!=24. A={(1,2,3,4), (4,3,2,1)}, |A|=2.
=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 其中要注意(AC)(BC)=ABC 类似地，可以证明
P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4) -P(A1A2)-P(A1A3)-P(A1A4)-P(A2A3)-P(A2A4)-P(A3A4) +P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4) -P(A1A2A3A4)
记作Ā 如A={1,2,3},Ā={4,5,6}
用图形表示
Ω A
Ā
易见A Ā=φ,A+Ā=Ω
Ā=Ω-A A=A
8、完备事件组 若事件A1,…,An两两互不相容， 并且A1+…+An＝Ω
称A1,…,An构成一个完备事件组。
用图形表示，如 A1
A3
A2
A与Ā构成一个完备事件组。 若Ω＝{1，2，3，4，5，6}
注意，若认为是取出一个，放回去后再取一个。
则基本事件总数是8×8，A的事件数为6×6
故 P(A) 55 25 88 64
例4 福利彩票35选7中特等奖的概率。 解：不论是号码是自选还是机选，
C 基本事件总数为 7 35
A表示中特等奖，则A只含一个基本事件，
C 故 P(A)
1
7
1 0.000000148 6724520
可以推广为一般的加法法则：
若A与B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B) 可以得到一些重要的推广。
(1)如果n个事件A1,A2,…,An两两互斥，则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
(2)若A1,A2,…,An构成一个完备事件组，它们的概率和为 P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1
用图形表示，即
AB
n个事件A1,…,An中至少有一个发生，是一个事件。 称为事件A1,…,An的和。 记作A1+…+An或A1∪…∪An
可列个事件A1,A2,…,An,…中至少有一个发生
称为事件A1,A2,…,An,…的和
记作 Ai 或UAi
i＝1
i＝1
若A={1,2,3},B={1,3,5},C={1,3,4}
(2)每次试验中，各基本事件发生的可能性相同。
这种试验称为古典概型试验。
定义1 若试验结果一共有n个基本事件组成，且这些事 件的出现具有相同的可能性，且事件A由其中某m个基 本事件组成，则事件A的概率为
P(A)
有利于A的基本事件数 试验的基本事件总数
＝
m n
例1 掷一枚硬币，出现正面的概率 解：设硬币是均匀的
则A1={1,2,3},A2={4,6},A3={5} 是一个完备事件组。
Ω A4
例1 从一批产品中每次取出一个产品进行检验， 事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3)用事件的运 算表示下列事件：三次都取到合格品，三次中至 少有一次取到合格品，三次中恰有两次取到合格 品，三次中最多有一次取到合格品。
则A-B={2},B-A={5}
用图形表示即
A B
6、互不相容事件 若A与B不能同时发生，即AB=φ 称事件A与B互不相容或互斥。 互斥事件没有公共的样本点。
基本事件间是互不相容的。
如A={1,2,3},B={1,3,5},C={4,5}
A与C是互不相容的。 A与B是相容的。
用图形表示 即
A
C
7、对立事件 事件“非A”,即A不发生，称为A的对立事件。 也称为A的逆事件。 它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成。
P( A) | A | 2 1 | S | 24 2
书上的例子: P27
书上例子:P27
书上例子:P28
书上例子: P29
书上例子: P29—续
例子P54 --6:
A B C D
A B C D
1) A B C D
2) ABCD ACBD ADBC BC AD BDAC CDAB
则A+B+C={1,2,3,4,5}
4、事件的交（积）
两个事件A与B同时发生，即“A且B”,是一个事件。 称为事件A与B的交（积）。 它是由A与B的公共样本点构成的集合。 记作AB或A∩B 如A={1,2,3},B={1,3,5} 则AB={1,3} 它也有运算律：
A∩B=B∩A (A∩B)∩C=A∩(B∩C) A∩B A A∩B B A∩φ=φ A∩Ω=A
1、事件的包含
若事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的 每个样本点也属于B,则称事件B包含事件A。
记作B A或A B
等价的说法是：B不发生，则A也不发生。Βιβλιοθήκη 用图形表示，即AB
例如A={4},B={2,4,6},则A B
对任何事件A,有φ A Ω
2、事件的相等 若AB且BA，称事件A与B相等。 即A与B中的样本点完全相同。 记作A=B 掷一颗骰子 A表示点数小于3，B表示点数为1或2 则A=B
解：三次全部取到合格品：A1A2A3 三次中至少有一次取到合格品A1+A2+A3 三次中恰有两次取到合格品
A1A2 A3 A1A2A3 A1A2A3
三次中至多有一次取得合格品 A1A2 A1A3 A2 A3
或A1A2 A3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3
例2 设x表示一个沿数轴做随机运动的质点 的位置，试说明下列各事件的关系： A={x|x≤20} B={x|x>3} C={x|x<9} D={x|x<-5} E={x|x≥9} 解：A C D,B E
A与B无公共元素
事件含义 样本空间，必然事件 不可能事件 样本点 基本事件 一个事件 A发生导致B发生 事件A与B相等 A与B至少有一个发生
A与B同时发生 A的对立事件 A发生而B不发生
A与B互斥
§2 概率
概率是事件发生可能性的数量指标。
即在多次重复后，某结果出现的比率。
D与B,D与E互不相容
C与E为对应事件。
B与C，B与A，E与A相容
A与C,A与D,C与D,B与E也是相容的。
符号 Ω Φ ω∈Ω {ω} A Ω A B A=B A∪B
A∩B Ā A-B
A∩B=φ
集合含义 全集 空集 集合的元素 单点集 一个集合 A的元素在B中 集合A与B相等 A与B的所有元素
3) ABC D 4) ABC D 5) ABCD BACD CBAD DBC A ABCD
例子P55 --11:
P( A)
2 P42 P53
2/5
例子P55 --12:
例子P55 --13:
例子P55 --14:
例子P55 16--18
例子P56 19--22
例子P56 23--26
用图形表示，即
A
B
也可定义多个事件的交。 交与并运算还满足分配律： (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) 用不同的记号，可写为 (A+B)C=AC+BC (AB)+C=(A+C)(B+C)
5、事件的差 事件A发生而事件B不发生，是一个事件， 称为事件A与B的差。 它由属于A但不属于B的所有样本点组成。 记作A-B 如：A={1,2,3},B={1,3,5}
每次试验一定发生的事件称为必然事件。 如点数大于0 一般用Ω表示必然事件。 每次试验一定不发生的事件称为不可能事件。 如点数大于9 一般用φ表示不可能事件 它们是随机事件的特例。 为了研究的方便，可以用点集来表示事件， 也可以用文氏图表示。
基本事件用只包含一个元素ω的单点集{ω}表示。 复合事件用包含若干个元素的集合表示。
3、事件的并（和） 两个事件A，B中至少有一个发生，即“A或B”， 是一个事件，称为A与B的并（和）。
它是由A与B的所有样本点构成的集合。
记作A+B或A∪B 掷骰子之例中，若 A={1,2,3},B={1,3,5} 则A∪B={1,2,3,5} 集合的运算规律对事件也成立，如 A∪B=B∪A,(A∪B)∪C=A∪(B∪C) A∪B A,A∪B B A∪φ=A,A∪Ω=Ω
例如掷一颗骰子，
A表示点数为4，即为单点集{4} B表示点数为偶数，即为点集{2,4,6} 点数为正数，是必然事件，即为全集{1,2,3,4,5,6} 点数为负数，是不可能事件，即为空集φ 所有基本事件对应的元素组成的集合称为样本空间。 每个基本事件对应的元素称为一个样本点。
三、事件间的关系及运算
这是因为由图
A
B
A+B=A+(B-A)
由于A与B-A互斥 故P(A+B)=P(A)+P(B-A) 再由(3)得证。 可见，只需P(AB)=0加法法则就成立。 若是多个事件之和，公式会变复杂。
P(A+B+C) =P(A+B)+P(C)-P((A+B)C) =P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(AC+BC)
§4 概率的加法法则
例1 10件产品中有6个一等品，3个二等品，1个废品。 规定一、二等品为合格品。求合格率与一、二等品 之间的关系。
解：A、B分别表示一、二等品，A+B表示产品合格
P(A) 6 P(B) 3
10
10
P(A B) 6 3 9
10 10
故 P(A+B)=P(A)+P(B)
解：组成试验的基本事件总数
C n
2 53
事件A表示取到两个白球，基本事件数m
C2 5
2
CC 故 P(A)
5 2
8
5 0.357 14
另解：若认为取出的两个球有先后次序，
则基本事件总数为
P2 8
8
7,
P A的事件数为
2 5
5
4
故 P(A) 5 4 5 0.357 8 7 14
2、偶然现象或随机现象 即使条件一定，结果也不可预测
如 掷一枚硬币，出现正面或反面？ 买一张彩票，是否中奖？ 是否会发生水灾？
要面对随机现象进行研究，还有一些要求。 二、随机试验与随机事件
随机试验是对随机现象进行试验或观察 1、相同的条件下可以重复进行 2、每次试验有多种可能的结果，而且在试验 之前即可明确有几种可能。
概率论
概率论－事件发生的可能性
教师介绍
阚海斌（博士、教授、博士导师） 办公室：袁成英计算机楼217室 Email: hbkan@
第一章 随机事件与概率
§1 随机事件
一、必然现象与随机现象 1、必然现象
在一定条件下肯定会发生的现象
如水100ºC沸腾，苹果从树上掉落
只有正、反面两个基本事件。
若A表示出现正面。
则
P(A) 1
2
例2 随意拨一个六位电话号码，正好找到朋友
张某的概率。
解：为简便，每位数字有10种选择。 基本事件总数是106。
事件A表示找到张某，则A只有一个基本事件。
故
P(A)
1 106
0.000001
例3 袋中装有5个白球，3个黑球。从中任取两个球， 计算取出的两个球都是白球的概率。
概率应有如下特征：
(1)是事件本身固有的，可通过大量试验来检验。
(2)符合一般常情，可能性大时，概率也大。 一般叙述可能性时用百分比。
以后为方便更多地用0到1之间的小数。
即0≤P(A)≤1 且 P(Ω)=1
P(φ)=0
1、典型概率 要计算事件发生的可能性，对随机试验有一定要求。 (1)每次试验只有有限个可能的试验结果。
3、每次试验不能预知哪一结果会发生。 当目的不同时，结果也会有不同。
如天气：下雨或不下雨。 晴、多云、阴、小雨、大雨等。
随机试验的每个结果称为随机事件，简称事件。 一般用大写英文字母A、B、C等表示。 例如在0、1、2、…、9中任取一数。 A表示取到0，B表示取到5， C表示取到奇数，D表示取到3的倍数。 它们都是随机事件。 不能分解为其它事件的事件称为基本事件。如A,B 能分解为其它事件的事件称为复合事件。如C,D
特别地，对立事件的概率之和为1。
P(A)+P(Ā)=1
常用形式为 P(A)=1-P(Ā)
(3)若B A，则 P(B A) P(B) P(A) 一般有 P(B-A)=P(B)-P(AB)
这是因为 B=(B-A)+AB 见右图
B
A
(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 称为广义加法法则
35
若B表示中一等奖(对6个号码)
C C B的基本事件数为 6 1 7 28
CCC 故 P(B)
11
7 7 28 0.0000292
35
书上的例子: p26
样本空间 S {(a,b,c, d) |1 a,b,c, d 4,且a,b,c, d互不相等} 则|S|=4!=24. A={(1,2,3,4), (4,3,2,1)}, |A|=2.
=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 其中要注意(AC)(BC)=ABC 类似地，可以证明
P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4) -P(A1A2)-P(A1A3)-P(A1A4)-P(A2A3)-P(A2A4)-P(A3A4) +P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4) -P(A1A2A3A4)
记作Ā 如A={1,2,3},Ā={4,5,6}
用图形表示
Ω A
Ā
易见A Ā=φ,A+Ā=Ω
Ā=Ω-A A=A
8、完备事件组 若事件A1,…,An两两互不相容， 并且A1+…+An＝Ω
称A1,…,An构成一个完备事件组。
用图形表示，如 A1
A3
A2
A与Ā构成一个完备事件组。 若Ω＝{1，2，3，4，5，6}
注意，若认为是取出一个，放回去后再取一个。
则基本事件总数是8×8，A的事件数为6×6
故 P(A) 55 25 88 64
例4 福利彩票35选7中特等奖的概率。 解：不论是号码是自选还是机选，
C 基本事件总数为 7 35
A表示中特等奖，则A只含一个基本事件，
C 故 P(A)
1
7
1 0.000000148 6724520
可以推广为一般的加法法则：
若A与B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B) 可以得到一些重要的推广。
(1)如果n个事件A1,A2,…,An两两互斥，则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
(2)若A1,A2,…,An构成一个完备事件组，它们的概率和为 P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1
用图形表示，即
AB
n个事件A1,…,An中至少有一个发生，是一个事件。 称为事件A1,…,An的和。 记作A1+…+An或A1∪…∪An
可列个事件A1,A2,…,An,…中至少有一个发生
称为事件A1,A2,…,An,…的和
记作 Ai 或UAi
i＝1
i＝1
若A={1,2,3},B={1,3,5},C={1,3,4}
(2)每次试验中，各基本事件发生的可能性相同。
这种试验称为古典概型试验。
定义1 若试验结果一共有n个基本事件组成，且这些事 件的出现具有相同的可能性，且事件A由其中某m个基 本事件组成，则事件A的概率为
P(A)
有利于A的基本事件数 试验的基本事件总数
＝
m n
例1 掷一枚硬币，出现正面的概率 解：设硬币是均匀的
则A1={1,2,3},A2={4,6},A3={5} 是一个完备事件组。
Ω A4
例1 从一批产品中每次取出一个产品进行检验， 事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3)用事件的运 算表示下列事件：三次都取到合格品，三次中至 少有一次取到合格品，三次中恰有两次取到合格 品，三次中最多有一次取到合格品。
则A-B={2},B-A={5}
用图形表示即
A B
6、互不相容事件 若A与B不能同时发生，即AB=φ 称事件A与B互不相容或互斥。 互斥事件没有公共的样本点。
基本事件间是互不相容的。
如A={1,2,3},B={1,3,5},C={4,5}
A与C是互不相容的。 A与B是相容的。
用图形表示 即
A
C
7、对立事件 事件“非A”,即A不发生，称为A的对立事件。 也称为A的逆事件。 它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成。
P( A) | A | 2 1 | S | 24 2
书上的例子: P27
书上例子:P27
书上例子:P28
书上例子: P29
书上例子: P29—续
例子P54 --6:
A B C D
A B C D
1) A B C D
2) ABCD ACBD ADBC BC AD BDAC CDAB
则A+B+C={1,2,3,4,5}
4、事件的交（积）
两个事件A与B同时发生，即“A且B”,是一个事件。 称为事件A与B的交（积）。 它是由A与B的公共样本点构成的集合。 记作AB或A∩B 如A={1,2,3},B={1,3,5} 则AB={1,3} 它也有运算律：
A∩B=B∩A (A∩B)∩C=A∩(B∩C) A∩B A A∩B B A∩φ=φ A∩Ω=A
1、事件的包含
若事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的 每个样本点也属于B,则称事件B包含事件A。
记作B A或A B
等价的说法是：B不发生，则A也不发生。Βιβλιοθήκη 用图形表示，即AB
例如A={4},B={2,4,6},则A B
对任何事件A,有φ A Ω
2、事件的相等 若AB且BA，称事件A与B相等。 即A与B中的样本点完全相同。 记作A=B 掷一颗骰子 A表示点数小于3，B表示点数为1或2 则A=B
解：三次全部取到合格品：A1A2A3 三次中至少有一次取到合格品A1+A2+A3 三次中恰有两次取到合格品
A1A2 A3 A1A2A3 A1A2A3
三次中至多有一次取得合格品 A1A2 A1A3 A2 A3
或A1A2 A3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3
例2 设x表示一个沿数轴做随机运动的质点 的位置，试说明下列各事件的关系： A={x|x≤20} B={x|x>3} C={x|x<9} D={x|x<-5} E={x|x≥9} 解：A C D,B E