下册--东北大学高数期末考试试题

2008~2009学年第二学期
试题
一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0)
3dz
dx dy =-；
(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；
(C)曲线(,)
0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；
(D) 曲线(,)
0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1)
2. 设1
0 (1,2,)n u n n
≤<
=，则下列级数中必收敛的是[ ]
(A)1
n n u ∞
=∑； (B)
1
(1)n
n
n u
∞
=-∑； (C)
1
n ∞
= (D)
21
(1)n
n
n u
∞
=-∑.
3. 如果81
lim 1=+∞→n
n n a a ，则幂级数∑∞
=03n n n x a [ ]
(A) 当8<x 时收敛； (B) 当2<x 时收敛； (C) 当81>x 时发散； (D) 当2
1
>x 时发散.
4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω
++⎰⎰⎰= [ ] .
(A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 52
5
a π.
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）
1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 .
2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 .
3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分
()L
x y ds +⎰= .
4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 .
5. 设∑为平面1234
x y z
++=在第一卦限中的部分，则曲面积分
()234x y z dS ∑
++⎰⎰= . 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为
0, 20
()3, 022x f x x -≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，()f x 的Fourier 级数的和函数为()s x ，则
(4)s = .
三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且与平面0x y z ++=垂直的平面方程.
2. 设z = f (e x
sin y , x 2
+ y 2
), 其中f 具有二阶连续偏导数，求2z
x y
∂∂∂.
3. 设(,,)F x y z 具有连续偏导数，且对任意实数t 有(,,)F tx ty tz (,,)k t F x y z =(k 为自然数)，试证:曲面(,,)0F x y z =上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处2220x y z F F F ++≠).
4. 计算二重积分D
xydxdy ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区
域.
5. 将函数()arctan f x x =展开成关于x 的幂级数，并求展开式成立的区间. 四、 (8分) 设曲线积分[]
⎰-+B
A x dy x f ydx x f e )()(与路径无关，且2
1
)0(=
f ，求)(x f ，并求当A ，B 分别为（0，0），（1，1）时的曲线积分值.
五、(8分) 计算积分222(I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+被
平面4z =截下的有限部分的下侧.
六、(8分) 3．(10分)平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x - 2y - 2z )的中心, 且垂直于
直线L : 0
0x y z =⎧⎨+=⎩, 求平面与球面的交线在xOy 平面上的投影, 并求投影与(1, -4,
1)点的最短和最长距离.
七、(6分) )判断级数11
1ln n n n n ∞
=+⎛⎫- ⎪⎝
⎭∑的敛散性.
解答
一、1. 【解】应选择C
.),(),,(0000y x f y x f y x 存在只是全微分存在的必要条件，故A 是错误的。

曲
面
))
0,0(,0,0(),(f y x f z 在点=的
法向量为)
1,1,3()1),0,0(),0,0((--±=-±y x f f 故
B
是
错
误
的。

))
0,0(,0,0(0),(0),(f x
x y y x f z y y x f z 在点即曲线⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=====切向量为
)3,0,1(),
1(0
0===x x dx
dz dx
dy
，故C 是正确的，D 是错误的。

2. 【解】应选择D..
.
)1(,,,1,112
121222绝对收敛故收敛由比较法收敛而∑∑∑∞
=∞=∞=-<n n n n n n n
u u n n u .
3. 【解】应选择B
时即由比值法，2181,81lim lim 33313331<<==+∞→++∞→x x x x a a x
a x a n n n n n n n n 收敛∑∞
=0
3n n n
x a
.
4. 【解】应选择B.
504
2002222254sin sin )(a dr r d d d drd r r dv z y x a πϕϕθθϕϕππ==⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω 二、1. 【解】应填
122
146
x y z --+==-； )6,4,2(),,(z y x F F F n z y x ==→
，)12,8,2()2,2,1(-=→
-n
所求法线为：
122
146
x y z --+==- 2. 【解】应填dx dy +；
1)1,1(,2),(=-=x x f y x y x f ；1)1,1(,2),(=+-=y y f y x y x f ；dy
dx dz +=)
1,1(。

3. 【解
曲线L 的方程为：1=+y x ，2)(==
+⎰
⎰ds ds y x L
L。

4.【解】应填2π；
ππθπ
2)44(21
2341
20
2
2
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-===-Ω
dr r r dz rdr d dv V r r
5.【解
613221
361361)432(=⋅⋅⋅===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dS dS z y x D 6. 【解】应填3
(4)4
s =
. 4
3
2)04()04((4))(4=++-=
=f f s x f x 的间断点，是.
三、1. 【解】 12(1,0,2)M M =-- 平面0x y z ++=的法向量1(1,1,1)n =…
1211022111i j k
M M n i j k ⨯=--=--
所求平面方程为 20x y z --=. 2. 【解】
12e sin 2x z
yf xf x
∂=+∂ 22111221221e sin cos 2e sin 2e cos 4e cos x x x x z
y yf y yf x yf xyf yf x y
∂=++++∂∂ 221112221e sin cos 2e (sin cos )4e cos x x x z
y yf y y x y f xyf yf x y
∂=++++∂∂
3. 【证】 F (tx , ty , tz ) = t k F (x , y , z )两边对t 求导得 xF 1 + yF 2 + zF 3 = kt k - 1F (x , y , z ) 令t = 1, 有xF x + yF y + zF z = kF (x , y , z )
设(x 0, y 0, z 0)为曲面上任一点, 则过此点的切平面方程为 F x (x - x 0) + F y (y - y 0) + F z (z - z 0) = 0
即 xF x (x 0, y 0, z 0) + yF y (x 0, y 0, z 0) + zF z (x 0, y 0, z 0) = kF (x 0, y 0, z 0) = 0, 则过曲面上任一点(x 0, y 0, z 0)的切平面都经过坐标原点. 4. 【解】210
x
x
D
xydxdy xdx ydy =⎰⎰⎰⎰
21
2012x
x xy dx =⎰
12401()2x x x dx =-⎰ 12401()2x x x dx =-⎰ 124
= 5. 【解】2422
1
()1(1)1n n f x x x x x
'==-+++-++ (21x <)
两边积分 242200
1(1(1))1x x n n
dx x x x dx x =-+++-++⎰⎰
3521
11
(1)arctan 35
21
n n x x x x x n +-=-++
+++ 11x -<≤
四、【解】 (,)[e ()], (,)()x
P x y f x y Q x y f x =+=-,
(), e ()x Q P
f x f x x y
∂∂'=-=+∂∂ 因曲线积分与路径无关，因此
Q P x y
∂∂=∂∂， 即 ()e ()x f x f x '-=+ ()()e x f x f x '+=,
解得 1
()e e 2
x x f x -=-+
所以
(1,1)(0,0)11[e e ][e e ]22
x x
x x I ydx dy --=++-⎰ 11
10
010[e e ]2dx dy -=+-⎰⎰＝1
1
01e 1[e e ]22e y --=-…
五、【解】 补充∑1: z = 4 (x 2 + y 2 ≤ 4)上侧, 则 1
1
I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰
设∑和1∑所围成的区域为Ω，则由高斯公式可得
1
2222()x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ∑+∑Ω
++=++⎰⎰⎰⎰⎰
=2zdxdydz Ω
⎰⎰⎰= 4
128
23
z zdz ππ⋅=
⎰, 221
2224
1664x y x dydz y dzdx z dxdy dxdy π∑+≤++==⎰⎰⎰⎰
,
12864
6433
I πππ=
-=-. 六、【解】 球面(x - 2)2 + (y + 4)2 + (z + 4)2 = 36, 中心坐标(2, -4, -4),
平面的法向量为(0, -1, 1), 所求平面方程为
-(y + 4) + (z + 4) = 0,
即 -y + z = 0.
交线2224(22)
0x y z x y z y z ⎧++=--⎨-+=⎩, 在xOy 平面上投影为
22
(2)(4)13618
0x y z ⎧-++=⎪
⎨⎪=⎩
. 设投影上一点(x , y , 0), 所求距离为 d 2 = (x - 1)2 + (y + 4)2 + 1
令 22
2
2
(2)(4)(,,)(1)(4)1[
1]3618
x y F x y x y λλ-+=-+++++- (22)
(2)2(1)018
(4)2(4)09(2)(4)13618x
y x F x y F y x y λλ-⎧
=-+=⎪⎪
+⎪
=++=⎨⎪
⎪-++=⎪
⎩, 解出驻点(0, 0), (0, -8), (8, -4), (-4, -4)
min max d d == 七、【解】 2
11ln(1)
lim 1
n n
n n →∞-+
2100
1
1ln(1)
11lim
lim 22
x x n
x x x x x →=→-
-++=== 级数21
1n n ∞
=∑收敛, 由比较审敛法, 级数11
1ln n n n n ∞
=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛.
2009~2010学年第二学期
试题
一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
1. 函数222)2(),(x y x y x f -+=在闭区域1)1(22≤+-y x 上的最小值为 [ ] .
(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.
2. 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1
(,)y
dy f x y dx ⎰⎰= [ ].
(A) 1
1
(,)x
dx f x y dy ⎰
⎰； (B)
1
00(,)x
dx f x y dy ⎰
⎰；
(C)
11
(,)y
dy f x y dx ⎰⎰
； (D)
1
(,)y dy f y x dx ⎰⎰
.
3. 设Ω为平面1x y z ++=与三个坐标面所围成的闭区域，则dv z y x )(++⎰⎰⎰Ω
=
[ ].
(A) 1/6； (B) 1/8； (C) 1/12； (D) 1/24. 4.
设(1)ln(1n n u =-，则级数 [ ].
(A) 1n n u ∞
=∑与21
n n u ∞
=∑都收敛； (B) 1n n u ∞
=∑与21
n n u ∞
=∑都发散；
(C) 1
n n u ∞
=∑收敛而21
n n u ∞=∑发散； (D) 1
n n u ∞
=∑发散而21
n n u ∞
=∑收敛.
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）
1. 已知1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为4
π
，则b a += .
2. 设Ω
是由曲面z =0=z 围成的立体，则Ω的形心坐标 . 3.设曲线Γ为连接)1,1,1(与(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分
()x y z ds Γ
++⎰= .
4. 设∑为锥面22y x z +=
被平面1=z 结下的有限部分，则曲面积分
⎰⎰∑
zdS = .
5.幂级数∑∞
=0
2
n n n x a 的收敛区间为),(+∞-∞则a 应满足 .
三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计35分）
1. 求过点)5,2,3(-M 且与两个平面34=-z x 和152=--z y x 的交线垂直的 平面方程.
2. 求函数yz x u 32+=在点)1,1,1(处沿椭球面632222=++z y x 在该点的外
法线方向的方向导数.
3.计算22()D
x y dxdy +⎰⎰, 其中D 是由曲线222x y x +=，224x y x +=，y x =和0
y =所围成的平面区域.
4.求幂级数 +--+--+--
--n
x x x x n
n )1()1(3)1(2)1()1(132在其收敛域上的和函数.并求∑∞
=--1
1
)1(n n n 的值.
5.设2)(x x x f +=,),[ππ-∈x 是周期为π2的函数，将)(x f 展成Fourier 级数. 并 求级数∑
∞
=1
21
n n 的和. 四、(8分) 一质点在力j y x i y x y x F F )sin ()(),(2
2
+--==的作用下，由点
)0,0(O 沿上半圆22x x y -=移动到点)1,1(A ，求力F 所作的功.
五、(8分) 计算曲面积分
xydxdy
yzdzdx xzdydz ⎰⎰∑
++，其中∑是由抛物面
223y x z +=和球面224y x z --=所围成立体的表面外侧.
六、(8分) 设函数(,)f x y 有二阶连续偏导数，满足20f
x y
∂=∂∂，且存在一元函数
()h u ，使(,)f x
y h =，求(,)f x y .
七、(5分) 设12(,)((,),(,))F x y f x y f x y =是在00(,)x y 的某邻域内定义的向量函数，定
义12((,),(,))f x y f x y =
为12((,),(,))f x y f x y 的模. 如
果
0000(,)(,)(,)F x x y y F x y A x B y C x D y o +∆+∆--∆+∆∆+∆=，其中
,,,A B C D 是与,x y ∆∆无关而仅与00,x y
有关的常数，o
的高阶无穷小. 则称(,)F x y 在00(,)x y 点可微，记为
00(,)
(,)
(,)x y dF x y A x B y C x D y =∆+∆∆+∆.
设(,)(arctan , y
F x y x
=，求(1,1)
(,)
dF x y .
解答
一、1.【解】应选择A;
⎪⎩
⎪⎨⎧=-+==--+=02)2(2),(0
)22)(2(2),(2
22
2y x y x y x f x x y x y x f y x ⎩⎨⎧==⇒01y x ，1)0,1(=f . 的边界为D 0222=-+x y x ，的边界上的值为零
在D ),(y x f . 0;1min max ==f f 2.【解】应选择A ；
10
(,)y
dy f x y dx ⎰⎰
= σd y x f D
⎰⎰),(=
11
(,)x
dx f x y dy ⎰⎰
3. 【解】应选择B ；
dv z y x )(++⎰⎰⎰Ω
=zdv ⎰⎰⎰
Ω
3=⎰⎰⎰z
D dxdy zdz 1
03=⎰-1
022)1(3dz z z =81
4. 【解】应选择
D
(1)ln(1n
n u =-+
∑∞
=1
n n u 是交错级数
n
n
11111+
<++
n 1n u )11(ln )11ln(1u =+
<++
=+n
n
又0)n
11(ln lim u lim n n n =+
=∞
→∞
→
∑∞
=1n n
u 收敛
∑∞
=12
n n
u 是正项级数n n n u n 11~)1ln(12
22=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ∑∞
=11
n n 发散⇒∑∞
=12n n
u 发散 二、1．【解】应填5；
因为5224
cos 212112)()(222=⋅+⋅⋅+⋅=+⋅+=+⋅+=+π
b b a a b a b a b a
所以 5=+b a
2．【解】应填)8
3
,0,0(.
形心在轴上z ，0==y x
dr r d d d drd r r zdv ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
==1
320
2
2
cos sin sin cos π
π
ϕϕϕθθϕϕϕ =442sin 21
4202
πϕππ
=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡r π3
2=
⎰⎰⎰Ω
dv 83
3
24===
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ
ππ
dv zdv
z 3. 【解】应填146；
曲线Γ的参数方程为
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=13121
t z t y t x ，10≤≤t 。

ds
z y x ⎰Γ
++)(dt t t t 2221
321)13121(+++++++=⎰146=
4. 【解
∑:22y x z +=, D xy : x 2+y 2≤1,
dxdy z z dS y
x
22
1++=dxdy dxdy y
x y y x x 212
2222
2
=++++=.
zdS ∑
⎰⎰dxdy y x Dxy 221
+=
⎰
⎰
=⎰⎰πθ20
1
22dr r d π3
2
2=
.
5. 【解】应填1<a
12)1(1lim lim lim 022
+∞
→+∞→+∞→====n n n n n n
n n a a a
a a ρ1<⇒a
2. (0, 0, 3/8)；
3. 149；
4.
； 5. )1,1(- . 三、1. 【解】 取平面的法向量512401---=k
j i n
k j i ---=34
所求平面方程为0)5()2(3)3(4=-+-++z y x .
2. 【解】 632222=++z y x 的外法向量 )6,4,2(z y x n =
，)3,2,1(2)1,1,1(=n
外法向量的方向余弦141cos =
α，142cos =β，14
3cos =γ … 在)1,1,1(处
2=∂∂x u ，3=∂∂y
u
，3=∂∂z u 14
17
cos cos cos =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u n u 3【解】
⎰⎰D
ydxdy 2
4
4
2
2
y y dy ydx +-=⎰
⎰2
4
2(4)2
y y y dy -=+-⎰=18.
4. 【解】 级数的收敛域为(0,2]. 设∑∞
=---=1
1)1()1()(n n
n n x x s ，显然0)1(=s .
x
x x x x x s n n 1
)1(11)1()1()1()1(1)(112-=-+=
+--+--+--='--
x dx x
dx x s x
x
ln 1
)(1
1
==
'⎰
⎰
，x s x s ln )1()(=-，所以x x s ln )(= (0,2]. 令2=x 得， ∑∞
=--1
1
)1(n n n =2ln )2(=s .
5. 【解】 3
2)(1
)(1
22
0πππ
π
ππ
π
=+==
⎰⎰--
dx x x dx x f a
⎰⎰
⎰-
-
=+==
π
ππ
π
ππ
ππ0
22
cos 2
cos )(1
cos )(1
nxdx x nxdx x x nxdx x f a n
]cos 2cos 2[2]sin 2sin [20
2
2
2⎰
⎰
-=-=π
π
π
π
ππdx n nx
n nx
x dx n nx x n
nx x 2cos 4n n π=2
)1(4n n -=， ,2,1=n
⎰⎰
⎰-
-
=+==π
ππ
π
ππππ
2
sin 2
sin )(1
sin )(1
nxdx x nxdx x x nxdx x f b n
n n dx n nx n
nx x πππ
πcos 2]cos cos [2
-=+-=⎰
1
2(1)n n
+-=， ,2,1=n ]sin )1(2cos )1(4[3)(122
nx n
nx n x f n
n n -+-+=∑∞
=π ， ),(ππ-∈x .
x π=±时 ()f x 的fourier 级数收敛到
2(0)(0)
2
f f πππ-++-=
x π=时，2
2
214
3n n
ππ∞
==
+∑，故 2
116n n
π∞
==∑. 四、【解】 记曲线22x x y -=上由)0,0(O 到点)1,1(A 的一段有向弧为L ，则
W ⎰+--=L
dy y x dx y x )sin ()(22
x
y x y y x ∂--∂=
-=∂-∂)
sin (1)(22，积分与路径无关. ⎰⎰⎰+-=+--=1
21
2
2
2
)sin 1()sin ()(dy y dx x dy y x dx y x W L
sin 27
46=
- 五、【解】 记∑所围成的闭区域为Ω，由Gauss 公式有， ⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑
=++zdv xydxdy yzdzdx xzdydz 2
⎰⎰⎰-=πθ20
3
43
2
2
2r r zdz rdr d
ππ2
13
)94(23
42
=--=⎰
dr r r r .
六、(8分) 解
f h x ∂'=∂
3222
222222)()()(y x xy y x h y x xy y x h y x f ++'-++''=∂∂∂ 记22y x r +=，由已知，有0)(1
)(='-''r h r
r h
解得 r C r h 1)(='，2121
()2
h r C r C =+
2212(,)()f x y C x y C =++. 七、【解】 由已知，得
100100(,)(,)()f x x y y f x y A x B y o +∆+∆--∆+∆=
200200(,)(,)()f x x y y f x y C x D y o +∆+∆--∆+∆=
因此，),(),,(21y x f y x f 在00(,)x y 点均可微，则
)
,(1
00y x x
f A ∂∂=
，)
,(100y x y
f B ∂∂=
，),(200y x x
f C ∂∂=
，)
,(200y x y
f D ∂∂=
.
当1(,)arctan y
f x y x
=，2(,)ln f x y =时
122(,)f x y y x x y ∂-=∂+，122(,)f x y x y x y ∂=∂+，222(,)f x y x x x y ∂=∂+222(,)f x y y
y x y ∂=∂+. 2
1,21===-=D C B A .
2010~2011学年第二学期
试题
一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分） 1．设=
),(y x f 42y x +，则函数在原点偏导数存在的情况是[ ].
（A ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都存在 （B ）)0,0(x f '不存在，)0,0(y f '存在 （C ）)0,0(x f '存在， )0,0(y f '不存在 （D ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都不存在
2．设平面∏ 的法向量为),,(C B A n = ，直线L 的方向向量为),,(p n m s =
，则
p
C
n B m A ==是平面∏ 与直线L 垂直的[ ]. (A)充要条件； (B)充分条件 ； (C)必要条件； (D)无关条件. 3．设 ∑ 是球面x 2 + y 2 + z 2 = R 2，则下列结果正确的是[ ].
(A) ⎰⎰∑
=++0)(2dS z y x ； (B) ⎰⎰∑=334
R dS π；
(C) ⎰⎰∑
=++0)(222dS z y x ； (D) ⎰⎰∑
=++42224)(R dS z y x π.
4．设常数0>λ，则级数∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-+λ+1211n n n n )()ln( [ ]。

（A ）绝对收敛； （B ）条件收敛； （C ）发散； （D ）收敛性与λ取值有关。

5．设曲线1),(:=y x f C （),(y x f 具有一阶连续偏导数），L 为C 上从点M (-1, 1)到点N (1, -1)的一段弧，则下列小于零的是[ ] （A ）⎰L
dx y x f ),( （B ）⎰L
dy y x f ),(
（C ）⎰L
ds y x f ),( （D ）dy y x f dx y x f y L
x ),(),('+'⎰
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）
1．设3||=a
，1||=b ，6),(π=∧b a ，则b a +在b a -上的投影为 .
2．交换积分次序⎰
⎰--2222
1),(x x x
dy y x f dx 为 .
3．设正向闭曲线L 的方程为1||||=+y x ，则⎰
++L
ds y x 2||||1
= .
4．设⎩⎨⎧<≤-<≤=πx x x x f 11102
)(2, )(x S 是)(x f 的以π2为周期的余弦级数展开式的
和函数, 则=-+)2()(S S π .
5．设函数),(y x z z =由方程)(bz y az x -=-ϕ所确定，其中)(u ϕ有连续导数，则
=∂∂+∂∂y
z b x z a
. 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）
1．设y
xe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续偏导数，求y
x z
∂∂∂2。

2．求曲面22y x z +=的与直线⎩⎨⎧=+=+2
21
2z y z x 垂直的切平面的方程。

3．计算二重积分⎰⎰-D
dxdy x y ,其中D 是由直线x y =,1=y ，0=x 所围成的平
面区域.
4．求⎰⎰∑
-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，∑是抛物面22y x z +=被平面z = 1
截下的有限部分下侧。

5．求幂级数∑
∞
=1
3n n
n x n 在收敛域内的和函数。

四、 (8分) 设球体占有闭区域z z y x 2:222≤++Ω，它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求球体对于z 轴的转动惯量。

五、(8分) 求抛物面 22y x z += 与平面 1=++z y x 的交线（椭圆）到原点的最长距离和最短距离．．
六、(8分)设)(x f 是非负连续函数，且1)(2
0=⎰dx x f ，计算曲线积分
⎰+-L
x
dx e
y xdy )(，式中L 为沿)(x f y =从点)0,0(O 到)0,2(A 的曲线段.
七、(6分)设级数∑∞
=--1
1)(n n n a a 收敛，∑∞
=1
n n b )0(≥n b 收敛，证明级数∑∞
=1
n n n b a 绝对
收敛。

解答
一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分） 1．设=
),(y x f 42y x +，则函数在原点偏导数存在的情况是[ B ].
（A ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都存在 （B ）)0,0(lim x
f '不存在，)0,0(y f '存在
（C ）)0,0(x f '存在， )0,0(y f '不存在 （D ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都不存在
2．设平面∏ 的法向量为),,(C B A n = ，直线L 的方向向量为),,(p n m s =
，则
p
C
n B m A ==是平面∏ 与直线L 垂直的[ A ]. (A)充要条件； (B)充分条件 ； (C)必要条件； (D)无关条件. 3．设 ∑ 是球面x 2 + y 2 + z 2 = R 2，则下列结果正确的是[ D ].
(A) ⎰⎰∑
=++0)(2dS z y x ； (B) ⎰⎰∑=334
R dS π；
(C) ⎰⎰∑
=++0)(222dS z y x ； (D) ⎰⎰∑
=++42224)(R dS z y x π.
4．设常数0>λ，则级数∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-+λ+1211n n n n )()ln( [ C ]。

（A ）绝对收敛； （B ）条件收敛； （C ）发散； （D ）收敛性与λ取值有关。

5．设曲线1),(:=y x f C （),(y x f 具有一阶连续偏导数），L 为C 上从点M (-1, 1)到点N (1, -1)的一段弧，则下列小于零的是[ B ] （A ）⎰L
dx y x f ),( （B ）⎰L
dy y x f ),(
（C ）⎰L
ds y x f ),( （D ）dy y x f dx y x f y L
x ),(),('+'⎰
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）
1．设3||=a
，1||=b ，6),(π=∧b a ，则b a +在b a -上的投影为 2 .
2．交换积分次序⎰
⎰--2222
1),(x x x
dy y x f dx 为
⎰
⎰-+-2
1121
),(y y
dx y x f dy .
3．设正向闭曲线L 的方程为1||||=+y x ，则
⎰++L
ds y x 2||||1
=
4．设⎩⎨⎧<≤-<≤=πx x x x f 11102
)(2, )(x S 是)(x f 的以π2为周期的余弦级数展开式的
和函数, 则=-+)2()(S S π π2 + 2 .
5．设函数),(y x z z =由方程)(bz y az x -=-ϕ所确定，其中)(u ϕ有连续导数，则
=∂∂+∂∂y
z b x z a
1 . 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）
1．设y
xe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续偏导数，求y
x z
∂∂∂2。

解
21f e f x
z
y +⋅=∂∂ 23211311212f f xe f e f xe e f y
x z
y y y y ++++⋅=∂∂∂
2．求曲面22y x z +=的与直线⎩⎨⎧=+=+221
2z y z x 垂直的切平面的方程。

解 直线可化为
2
/11211-=-=-z
y x ，方向向量是)2/1,1,1(-k 。

所以所求切平面的法向量是)2/1,1,1(-k ，曲面的法向量)1,2,2(-y x ， 令)2/1,1,1()1,2,2(-=-k y x ，得到切点坐标2,1,1,2====z y x k 。

所以切平面是 0)2(2/1)1(1)1(1=---+-z y x ， 化简得 222=-+z y x 。

3．计算二重积分⎰⎰-D
dxdy x y ,其中D 是由直线x y =,1=y ，0
=x 所围成的平面区域.
解 积分区域是直角三角形，D 的不等式表示是
}{y x y y x D ≤≤≤≤=0,10),(，
故
⎰⎰
⎰⎰
-=-D
y dx x y dy dxdy x y 10
⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1
023
)(32dy x y y
o
154
321023==⎰dy y
4．求⎰⎰∑
-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，∑是抛物面22y x z +=被
平面z = 1截下的有限部分下侧。

解 设∑1：z = 1 (122≤+y x )上侧
⎰⎰∑
⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-=
1
1
⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω
--=1
)1(3dxdy x dxdydz
⎰⎰⎰⎰⎰≤+--
=1
1
10
20
222)1(3y x r
dxdy x dz rdr d πθ
2
23π
ππ=-=
5．求幂级数∑
∞
=13
n n
n
x n 在收敛域内的和函数。

解 设∑∞
==1
3)(n n
n x n x s ∑⎰
∞
=-'=110
}3{)(n n n x
dx x n x x s ∑∞
='=1}3
1{n n
n
x x '
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x x x 311312)3(3x x
-= (-3 < x < 3)
四、 (8分) 设球体占有闭区域z z y x 2:222≤++Ω，它在内部各点
处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求球体对于z 轴的转动惯量。

解 dv z y x y x I z ))((22222+++=⎰⎰⎰Ω
⎰
⎰⎰⋅⋅=κ
π
π
ϕϕϕθcos 20
222220
20
sin sin dr r r r d d
πϕϕϕππ
35
32
sin cos 72562037=⋅-
=⎰d 。

五、(8分) 求抛物面 22y x z += 与平面 1=++z y x 的交线（椭圆）
到原点的最长距离和最短距离．
解：该问题化为条件极值问题: ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+++=++1)max(min)(2
2222z y x y x z z y x ; 引入Lagrange 函数
)1()(),,,,(22222-+++-++++=z y x v z y x u z y x v u z y x L ，
求驻点：
022=++=∂∂v ux x x L ，022=++=∂∂v uy y y L ，02=+-=∂∂v u z x
L ， 022=-+=∂∂z y x u L ，01=-++=∂∂z y x v
L
．
解得 213+-
==y x ，32+=z ；2
1
3-==y x ，32-=z ； 令 222),,(z y x z y x f ++=，经检验
359)32,2
13,213(+=++-+-
f ， 359)32,2
13,213(
-=---f ， 可见，曲线到原点的最长距离和最短距离分别为 359+ 和 359-． 六、(8分)设)(x f 是非负连续函数，且1)(2
0=⎰dx x f ，计算曲线积分
⎰+-L
x
dx e
y xdy )(，式中L 为沿)(x f y =从点)0,0(O 到)0,2(A 的曲线段.
解 ⎰+-L
x dx e y xdy )(=⎰++-AO
L x dx e y xdy )(⎰+--AO
x dx e y xdy )(
⎰⎰⎰--=2
2dx e dxdy x D
221)1(2e e --=---=
七、(6分)设级数∑∞
=--1
1)(n n n a a 收敛，∑∞
=1
n n b )0(≥n b 收敛，证明级数
∑∞
=1
n n
n b
a 绝对收敛。

证明 设011201)()()(a a a a a a a a S n n n n -=-++-+-=-
级数∑∞
=--1
1)(n n n a a 收敛，则s a a S n n n n =-=∞
→∞
→0lim lim ，s a a n n +=∞
→0lim
存在M ，使得 |a n | ≤ M 。

n n n Mb b a ≤||
∑∞
=1
n n
b
)0(≥n b 收敛，由比较审敛法，级数∑∞
=1
n n n b a 绝对收敛。