高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳精编版

(2) 求平面 C1A1C 与平面 A1CA 夹角的余弦值． 解： (1) 由题意知 AA 1， AB ， AC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则
n ·CB ＝ 0，
则
n ·CS ＝0.
2x－2 3y＝0 ， 即
－2 3y＋ z＝ 0.
令 y＝ 1，得 x＝
3 ， z＝ 2 3 ，
则平面 SBC 的一个法向量为 n ＝ ( 3 ， 1,2 3) ．
n ·CE 1
设直线 CE 与平面 SBC 所成角的大小为 θ，则 sin θ＝ |
|＝ ，
|n |·| CE | 4
所以 BA ＝( a,0,0) ， BD ＝ (0,2,2) ， B1D ＝ (0,2 ，－ 2) ，
B1D ·BA ＝ 0 ， B1D ·BD ＝ 0 ＋ 4 － 4 ＝ 0，即 B1D⊥ BA ， B1D⊥ BD .
又 BA ∩BD ＝ B，因此 B1D⊥平面 ABD .
a
a
(2) 由 (1) 知， E(0,0,3) ， G ， 1 ， 4 ， F(0,1,4) ，则 EG ＝ ， 1 ， 1 ， EF ＝ (0,1,1) ，
1
(1) 因为 EF ＝－ AB ，所以 EF ∥AB ，即 EF∥AB.
2
又 AB ? 平面 PAB， EF? 平面 PAB，所以 EF∥平面 PAB.
(2) 因为 AP ·DC ＝(0,0,1) ·(1,0,0) ＝0 ， AD ·DC ＝ (0,2,0) ·(1,0,0) ＝ 0，
所以 AP⊥ DC ， AD⊥ DC ，即 AP⊥ DC ，AD ⊥ DC.
则 BC ＝ (1,0 ， 3) ， BB1 ＝ AA1 ＝ (－1 ， 3， 0) ， A1C ＝ (0 ，－ 3 ， 3) ．
设 n ＝ (x， y， z)是平面 BB1C1C 的法向量，
n ·BC ＝ 0 ，
则
n ·BB1 ＝ 0.
x＋ 3 z＝0 ，
即 － x＋ 3 y＝0.
可取 n ＝ ( 3 ， 1 ，－ 1) ．
n 1＝ (2 ，－ 2,1) 是平面 ADC1 的一个法向量．取平面 ABA 1 的一个法向量为 n 2＝(0,1,0) ．设
平面 ADC 1 与平面 ABA 1 所成二面角的大小为 θ.
n 1·n 2
由 |cos θ| ＝

＝
| n1 ||n 2 |
2
2
5
＝ ，得 sin θ＝ .
9× 1 3
3
5
(1) 求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值； (2) 求平面 ADC 1 与平面 ABA 1 所成二面角的正弦值．
[ 解 ] (1) 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
A- xyz ，则 A(0,0,0) ，
B(2,0,0) ， C(0,2,0) ， D(1,1,0) ， A1(0 ， 0,4) ， C1(0,2,4) ，所以 A1B ＝ (2,0 ，－ 4) ， C1D ＝
a， b 的方向向量分别为 a， b ，异面直线所成
|a ·b |
的角为 θ，则 cos θ＝ |cos 〈a，b 〉 |＝
.
|a||b |
(2) 向量法求线面所成的角：求出平面的法向量
n ，直线的方向向量 a，设线面所成的角为
|n ·a|
θ，则 sin θ＝ |cos 〈 n ， a〉 |＝
.
|n ||a|
值．
3
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[解 ] (1) 证明：取 AB 的中点 O，连接 OC， OA 1， A1B. 因为 CA ＝ CB，所以 OC⊥ AB . 由于 AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60 °，故△AA 1B 为等边三角形，所以 OA 1⊥ AB. 因为 OC ∩OA 1＝ O ，所以 AB⊥平面 OA 1C. 又 A1C? 平面 OA 1C，故 AB⊥ A1C. (2) 由 (1) 知 OC⊥ AB， OA 1⊥ AB.又平面 ABC⊥平面 AA 1B1B，交线为 AB， 所以 OC ⊥平面 AA 1B1 B，故 OA ，OA 1， OC 两两相互垂直． 以 O 为坐标原点， OA 的方向为 x 轴的正方向， | OA |为单位长，建立如图所示的空间 直角坐标系 O - xyz . 由题设知 A (1,0,0) ， A1(0 ， 3 ， 0) ，C(0,0 ， 3) ， B(－1,0,0) ．
(3) 向量法求二面角：求出二面角 α－ l－β的两个半平面 α与 β的法向量 n 1， n 2 ，
2
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|n 1·n 2|
若二面角 α－l－ β所成的角 θ为锐角，则 cos θ＝|cos 〈 n 1， n2〉 |＝
(1 ，－ 1，－ 4) ．
A1B ·C1D
18
3 10
因为
cos 〈
A1B ， C1D
〉＝ |
＝
A1B || C1D |
＝ 20 × 18
10
，
3 10
所以异面直线 A 1B 与 C1D 所成角的余弦值为
.
10
(2) 设平面 ADC1 的法向量为 n 1＝ ( x， y ， z)，因为 AD ＝ (1,1,0) ， AC1 ＝ (0,2,4) ，所以 n 1·AD ＝0 ，n 1·AC1 ＝ 0 ，即 x＋y＝ 0 且 y＋2 z＝ 0，取 z＝ 1，得 x＝ 2， y＝－ 2 ，所以，
2
2
B1D ·EG ＝ 0 ＋ 2 － 2＝ 0， B1 D ·EF ＝ 0 ＋ 2－ 2＝ 0 ，即 B1D⊥ EG， B1D⊥ EF.
又 EG∩EF＝E，因此 B1D⊥平面 EGF. 结合 (1) 可知平面 EGF∥平面 ABD . 利用空间向量求空间角基础知识
(1) 向量法求异面直线所成的角：若异面直线
；
|n1 ||n 2 |
|n 1·n2 |
若二面角 α－l－ β所成的角 θ为钝角，则 cos θ＝－ |cos 〈n 1， n2〉 |＝－
.
|n 1||n 2 |
例 1 、如图，在直三棱柱 A1B1C1- ABC 中， AB⊥ AC， AB ＝AC＝ 2 ， A1A＝ 4 ， 点 D 是 BC 的中点．
因此，平面 ADC1 与平面 ABA 1 所成二面角的正弦值为
.
3
例 2 、如图，三棱柱 ABC- A1B1C1 中， CA＝ CB，AB ＝ AA 1，∠BAA 1＝ 60 °.
(1) 证明： AB ⊥ A1C；
(2) 若平面 ABC⊥平面 AA 1B1B， AB ＝ CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦
例 1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥底面 ABCD ， E， F分别是 PC， PD 的中点， PA＝AB ＝ 1 ， BC＝ 2.
(1) 求证： EF∥平面 PAB； (2) 求证：平面 PAD⊥平面 PDC.
[ 证明 ] 以 A 为原点， AB， AD ， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标
又 AP∩AD ＝A ，AP ? 平面 PAD，AD ? 平面 PAD ，所以 DC⊥平面 PAD.因为 DC? 平面
PDC ，
所以平面 PAD⊥平面 PDC.
1
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使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的
1
1
系如图所示，则
A(0,0,0) ， B(1,0,0) ， C(1,2,0) ， D(0,2,0) ， P(0,0,1) ，所以
E
，1 ，
2
2
，
1
1
F 0 ，1 ， ， EF ＝ － ，0 ， 0 ， PB ＝ (1,0 ， － 1) ， PD ＝ (0,2 ， － 1) ， AP ＝
2
2
(0,0,1) ， AD ＝ (0,2,0) ， DC ＝ (1,0,0) ， AB ＝ (1,0,0) ．
∴平面 SBE⊥平面 SEC. (2) 由 (1) 知，直线 ES， EB， EC两两垂直．如图，以 E为原点， EB为 x 轴， EC为 y 轴， ES 为 z 轴，建立空间直角坐标系．则 E(0,0,0) ， C(0,2 3 ， 0) ，S(0,0,1) ， B(2,0,0) ，所以 CE ＝(0 ，－ 2 3 ， 0) ， CB ＝ (2 ，－ 2 3 ， 0) ， CS ＝ (0 ，－ 2 3 ， 1) ． 设平面 SBC 的法向量为 n ＝(x，y，z)，
①两条异面直线所成的角 α不一定是直线的方向向量的夹角 β，即 cos α＝ |cos β|. ②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所 求．
4
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例 3 、如图，在四棱锥 S-ABCD 中， AB⊥ AD ， AB ∥CD， CD＝ 3 AB＝ 3， 平面 SAD ⊥平面 ABCD ， E 是线段 AD 上一点， AE＝ED＝ 3 ， SE⊥ AD . (1) 证明：平面 SBE⊥平面 SEC； (2) 若 SE＝ 1 ，求直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值． 解： (1) 证明：∵平面 SAD ⊥平面 ABCD ，平面 SAD ∩平面 ABCD ＝ AD ， SE? 平面
SAD ， SE⊥ AD ，∴SE⊥平面 ABCD. ∵BE? 平面 ABCD，∴SE⊥BE. ∵AB⊥AD ， AB ∥
CD， CD＝ 3AB ＝ 3 ， AE＝ED＝ 3 ，∴∠AEB＝ 30 °，∠CED＝60 °. ∴∠BEC＝ 90 °， 即 BE⊥ CE. 又 SE∩CE＝ E，∴BE⊥平面 SEC. ∵BE? 平面 SBE，
1 故直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值为 .
4
例 4 、如图是多面体 ABC- A1B1C1 和它的三视图．
5
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(1) 线段 CC1 上是否存在一点 E，使 BE⊥平面 A 1CC1？若不存在，请说明理由，若存 在，请找出并证明；
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用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线 l 的方向向量为 a＝ (a1， b 1， c1)．平面 α， β的法向量 u ＝ (a3， b 3， c3)， v ＝ (a4，
b 4， c4 ) (1) 线面平行： l∥α? a⊥u ? a ·u ＝0 ? a1a3＋ b 1b3＋ c1c3＝ 0 (2) 线面垂直： l⊥ α? a∥u ? a ＝k u ? a1＝ ka3， b 1＝ kb 3，c1＝ kc 3 (3) 面面平行： α∥β? u ∥v? u ＝ kv ? a3＝ ka4， b 3＝ kb 4， c3＝ kc 4 (4) 面面垂直： α⊥ β? u⊥ v ? u ·v ＝ 0 ? a3a4＋ b 3b 4＋ c3c4＝ 0
故 cos n， A1C
n ·A1C
10
＝－
.
|n || A1C |
5
10
所以 A 1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为
.
5
(1) 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤： ①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式
进行论证、计算；⑤转化为几何结论． (2) 求空间角应注意：
方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量
与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，
也可以证明两个平面的法向量垂直 .
例 2 、在直三棱柱 ABC-A 1B1C1 中，∠ABC ＝ 90 °，BC＝2 ， CC1＝ 4 ，点 E在线段 BB1 上，
且 EB1＝1 ，D ， F， G 分别为 CC1， C1B1， C1A1 的中点．
求证： (1) B1D⊥平面 ABD ；
(2) 平面 EGF∥平面 ABD .
证明： (1) 以 B 为坐标原点， BA、 BC、BB1 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空
间直角坐标系，如图所示，则 B(0,0,0) ， D(0,2,2) ，B1(0,0,4) ，设 BA ＝ a，则 A(a,0,0) ，