北京高二高中数学期中考试带答案解析

北京高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.下列求导运算正确的是 ( )
A．(x+ B．()′=
C．()′=D．(cosx)′=-2xsinx
2.曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（）
A．1B．2C．D．
3.曲线在点（1,0）处的切线方程为 ( )
A．B．C．D．
4.曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（）
A．-9B．-3C．9D．15
5.若曲线在点处的切线方程是，则（）
A．B．
C．D．
6.设，则的解集为（）
A．B．C．D．
7.函数是减函数的区间为 ( )
A．B．C．D．（0，2）
8.函数已知时取得极值，则= ( )
A．2B．3C．4D．5
9.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )
A．①、②B．①、③C．③、④D．①、④10.函数在内有极小值，则实数的取值范围为（）
A．(0,3)B．C．D．
11.复数（）
A．B．C．D．
12.复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
13.若，则复数
A．B．C．D．
14.若，为虚数单位，且则（）
A．，B．
C．D．
15.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题
1.若，则
2.已知函数在处的导数为-2，则
3.与在第一象限所围成的图形的面积为
4.函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 .
5.做一个容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为时，材料最省。

三、解答题
1.已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为. （Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
2.已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。

3.设函数，∈R
（1）当时,取得极值，求的值；
（2）若在内为增函数，求的取值范围．
4.已知函数，求导函数，并确定的单调区间．
5.如图，三棱柱中，⊥面，，
，为的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得
？请证明你的结论.
北京高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.下列求导运算正确的是 ( )
A．(x+ B．()′=
C．()′=D．(cosx)′=-2xsinx
【答案】B
【解析】解：因为A中(x+ ，B中()′= 符合对数函数的导数公式，C中，．()′=，
D中(cosx)′=-2xsinx- sinx
因此选B
2.曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【解析】【考点】直线的斜率；导数的几何意义。

分析：由曲线的解析式，求出导函数，然后把切点的横坐标x=0代入，求出对应的导函数的函数值即为切线方程
的斜率。

解答：
由y=e x，得到y′=e x，
把x=0代入得：y′=e x ==e0 =1，
则曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为1。

故选A。

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题。

3.曲线在点（1,0）处的切线方程为 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：因为】
选B
4.曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（）
A．-9B．-3C．9D．15
【答案】C
【解析】解：因为
故选C
5.若曲线在点处的切线方程是，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：因为曲线在点处的切线方程是
所以满足
故选A
6.设，则的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：因为
选B
7.函数是减函数的区间为 ( )
A．B．C．D．（0，2）【答案】D
【解析】解：因为
因此减区间为D
8.函数已知时取得极值，则= ( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】解:因为
故a=5.
9.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )
A．①、②B．①、③C．③、④D．①、④
【答案】C
【解析】解：①该三次函数的导函数的图象为开口方向向下的抛物线，该抛物线在x轴下方的区间对应原函数的递减区间，该抛物线在x轴上方的区间对应原函数的递增区间，符合要求，正确；
②同理可分析②正确；
③从其导函数图象来看，原函数在（-∞，0）单调递增，在（0，a）单调递减（a为图中虚线处的横坐标），图与题意不符，故③错误；
④同理可分析④错误；
故选C．
10.函数在内有极小值，则实数的取值范围为（）
A．(0,3)B．C．D．
【答案】D
【解析】解：对于函数y=x3-2ax+a，求导可得y′=3x2-2a，
∵函数y=x3-3ax+a在（0，1）内有极小值，
∴y′=3x2-2a=0，则其有一根在（0，1）内，a＞0时，3x2-2a=0两根为± a ，
若有一根在（0，1）内，则0＜ a ＜1，即0＜a＜3 /2 ．
a=0时，3x2-3a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值．
a＜0时，3x2-3a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，
综合可得，0＜a＜3 /2 ，
故答案为（0，3 /2 ）．选D
11.复数（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：因为，故选C
12.复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】解：因为，实部为正，虚部为负，所以选D
13.若，则复数
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：因为，选D
14.若，为虚数单位，且则（）
A．，B．
C．D．
【答案】D
【解析】解：因为，利用复数相等可知选D
15.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】解L因为，因此复数对应的点在第二象限
二、填空题
1.若，则
【答案】
【解析】解：因为，因此填写
2.已知函数在处的导数为-2，则
【答案】-2
【解析】解：因为导数的概念可知，若函数在处的导数为-2，则，填写-2.
3.与在第一象限所围成的图形的面积为
【答案】
【解析】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0
曲线y=x 3与直线y=x 在第一象限所围成的图形的面积是
故
与
在第一象限所围成的图形的面积为
4.函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 . 【答案】3,-17
【解析】解：由f′（x ）=3x 2-3=0，得x=±1， 当x ＜-1时，f′（x ）＞0， 当-1＜x ＜1时，f′（x ）＜0， 当x ＞1时，f′（x ）＞0，
故f （x ）的极小值、极大值分别为f （-1）=3，f （1）=-1， 而f （-3）=-17，f （0）=1，
故函数f （x ）=x 3-3x+1在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17．
5.做一个容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为 时，材料最省。

【答案】4
【解析】解：设无盖水箱的长，宽 ，高，分别为x,y,z ，则xyz=256,那么则有
表面积公式为
，
问当z 为4时，此时表面积最小。

三、解答题
1. 已知函数的图象过点P （0,2）,且在点M
处的切线方程为
.
（Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间.
【答案】（1）
；（2）增区间（-，
；减区间
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。

第一问中，利用由在M （-1，f （-1））处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f （-1）+7=0，即f （-1）=1，f'（-1）=6
求解得到参数的值，第二问中，利用函数的解析式，求导数，令导数大于零或者导数小于零，得到增减区间。

(1)解：由f （x ）的图象经过P （0，2），知d=2， 所以f （x ）=x 3+bx 2+ax+2，则f'（x ）=3x 2+2bx+a ．
由在M （-1，f （-1））处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f （-1）+7=0， 即f （-1）=1，f'（-1）=6
∴ 3-2b+a="6" -1+b-a+2=1 ，即 2b-a="-3" b-a=0 ， 解得b=a=-3， 故所求的解析式是 (2)解：因为
增区间（-，
减区间
2.已知复数
满足
（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。

【答案】
【解析】利用z 1-2=（1-i ）/( 1+i) ="(1-i)(1-i)/" (1+i)(1-i) =-i
得到∴z 1=2-I,然后根据z 1•z 2=（2-i ）（a+2i ）=（2a+2）+（4-a ）i 是实数，则可以得到a=4，从而得到结论。

解：z 1-2=（1-i ）/( 1+i) ="(1-i)(1-i)/" (1+i)(1-i) =-i ∴z 1=2-i
设z 2=a+2i （a ∈R ）
∴z 1•z 2=（2-i ）（a+2i ）=（2a+2）+（4-a ）i ∵z 1•z 2是实数 ∴4-a=0解得a=4 所以z 2=4+2i 3.设函数 ，∈R
（1）当时,取得极值，求的值；
（2）若
在
内为增函数，求的取值范围． 【答案】（1）－
；（2）
【解析】第一问中，利用函数在给定点处取得极值，说明了该点的导数值为零。

解得参数a 的取值。

第二问中，
在内为增函数等价于利用分离参数的思想可以求解得到
，然后求解右边函数的最大值即可。

解:因为
故得到（1） （2）
4.已知函数，求导函数
，并确定
的单调区间． 【答案】当时增区间
，减区间
；
当
时增区间
，减区间
；
当时减区间.
【解析】本试题主要考查了含有参数的二次不等式的求解运用。

首先确定定义域，然后求解导数，然后得到关于含有参数的一元二次函数，然后对于判别式记性分类讨论，确定不等式的解集，从而求解得到单调区间。

当时增区间，减区间 当时增区间，减区间
当
时减区间
解：因为
当时增区间，减区间 当
时增区间
，减区间
当时减区间
5.如图，三棱柱中，⊥面
，，
，为的中点. （Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在侧棱
上是否存在点，使得
？请证明你的结论.
【答案】见解析.
【解析】第一问中，利用线面平行的判定定理可以得到OD ∥B 1A ，又B 1A ⊄平面BDC 1，OD ⊆平面BDC 1 ∴B 1A ∥面BDC 1
；第二问中，利用建立空间直角坐标系可以设出法向量，利用法向量的夹角求解二面角的平面角的方法得到。

第三问中，利用假设成立，推出不符合线面垂直的情况，得到一个矛盾，进而得到结论。

（1）证明：连接B1C ，交BC 1于点O ， 则O 为B1C 的中点， ∵D 为AC 中点， ∴OD ∥B 1A ，
又B 1A ⊄平面BDC 1，OD ⊆平面BDC 1 ∴B 1A ∥面BDC1（4分）
（2）解：∵AA 1⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，AA 1∥CC 1， ∴CC 1⊥面ABC ，
则BC ⊥平面AC 1，CC 1⊥AC
如图建系，则C 1（3，0，0），B （0，0，2），D （0，1，0），C （0，0，0）
∴ C 1D =（-3，1，0）， C 1B =（-3，0，2） 设平面C 1DB 的法向量为n=（x ，y ，z ） 则n=（2，6，3）
又平面BDC 的法向量为 CC 1 =（3，0，0）
∴二面角C 1-BD-C 的余弦值：cos ＜ CC 1，n ＞= (CC 1 .n)/ | CC 1 |，|n| ="2/" 7 （3）不存在
（III ）假设侧棱AA1上存在一点P （2，y ，0）（0≤y≤3），使得CP ⊥面BDC1． 则 CP • C 1B =0 CP • C 1D =0 ， 即 3(y-3)=0
2+3(y-3)=0 ∴方程组无解．∴假设不成立．
∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1．（14分）。