（整理）几种特殊类型积分因子的求法

（整理）几种特殊类型积分因子的求法
运用积分因子方法求解几种特殊类型微分方程
方小，数学与计算机科学学院
摘要:针对满足某些条件的微分方程,着重研究如何直接地、有效地求出其积
分因子的方法,从而方便快捷地求出其通解.
引言：方程取形式0y ),(),(=+d y x N dx y x M 时的求解问题教材中主要介绍了五
种类型的初等解法，实际上作为基础的还是恰当微分方程，其他类型均可借助积分因子化为这种类型，掌握一些特殊类型的积分因子求法及部分特殊结构微分方程的积分因子的求法，从而大提高解微分方程的效率和可操作性.
一.几种特殊类型结构的微分方程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因子的求法
1．常见一阶微分方程几种运用积分因子转化成恰当微分方程 1.1 可分离变量方程
)()(y x f dx
dy
φ=很容易求得积分因子为)(1y ?μ=
例求0)1()(=--++-dy y x xy dx x xy 的积分因子
解：变形为
0)1)(1()1(=+-+-dy y x dx y x
积分因子为
)
1)(1(1
)()(1),(12--==
y x y q x p y x μ
方程两边乘以上积分因子得：
01
11=-++-dy y y dx x x 两边积分得原方程的通解为
C y x y x =--++2)1)(1ln(
1．2 线性微分方程
设),(y x f 及
y
f
连续，试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性微分方程它有仅依赖于x 的积分因子.
证明：设方程0),(=-dx y x f dy 是线性微分方程.即存在)(),(x h x g 使得
)()(),(x h x yg y x f +=
这样
),(1
)(,1),()(),(M x g x g N x N
y M N x h x yg y x f -=-=??-
=--=-= 所以，方程具有积分因子
=-dx
x g e )(μ
这即证明了方程有仅依赖于x 的积分因子.
例2 :解方程: 0)cos sin ()sin cos (=++-dy x x x y dx x y x y 解: ∵x x x y N x x x y M cos sin ,sin cos +=-=
y M y
M
x N =??-??
于是积分因子为:
y ydy e e u =?=
∴通解为:
C x x y x x e y =-+)sin sin cos (.
1.3 伯努利微分方程方程的积分因子是
)((y ?
=---dx x p n n
e
μ
证明：
设伯努利方程为
n y x q y x p dx dy
)()(+=，)1,0(≠n
改写为
,0)()(=--dx y x q ydx x p dy n
乘以
得n
y - 0)()(y 1=----dx x q dx y x p dy n n
即
,0)()1()()1()(11=------dx x q n dx y x p n y d n n 再乘以?
--dx
x p n e
)()1(得
--dx
x p n e )()1(,0)()1(])()1()([)()1(11=-?
-------dx x q n e
dx y x p n y d dx
x p n n n
即
.0])()1([][)()1()(1(1=?--??
-----dx e x q n d e
y d dx x p n dx s p n
这是全微分方程，因此所求积分因子是
)
)((y ?=-
--dx x p n n e
μ
例求
2y sinx)(cosx -=+y dx
dy
的积分因子及通解解：积分因子
x dx
x p n e y e y y x ---=?
=2)(),(μ
原方程两边同乘以x
e
y --2
，并化为对称式为
dx e x x dx e y dy e y x x x -----=+)sin (cos 12
凑微分为：
)sin ()(1x e d y e d x x ---=-
两边同时求积分得：
C y e x e x x =+---1sin
1.4 齐次微分方程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 当0≠+yN xM 时有积分因子
yN xM +=
1
μ
证明由于
,
)
,(),(,),(),(yN xM y x N y x N yN xM y x M y x M +=+=
μμ
则有
2
)()
()()(yN xM y
N y N y N x M yN xM y M y M +++??-+??=??μ
2
)(yN xM y N
yM MN y M yN +--=
,
同理，
2
)()
(yN xM x M
xN MN x N xM x
N +--
=??μ，
由于方程是齐次的，我们不妨设),(),(y x N y x M 和是m 次齐次函数，则有
N m y y N
x x M m y y M x x M ?=+?=+N 与
由上面两个式子可推出
x
M
xN x xM y N yM y M yN -=+
N ，从而得到
x
N y M ??=??)
()(μμ，因此方程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 当0≠+yN xM 时
有积分因子yN
xM +=
1
μ
例 02)3(22=+-x y d x
dy x y
解此为齐次方程，故有积分因子
)(1)32(1)(123232y x y y x y y x Qy Px -=-+=+=μ
乘以积分因子，原方程化为
0)]()3[()](2[232222=--+-dy y x y x y dx x y x
这是一个全微分方程，它的通解为
C dx y y dx x y x
y x
ln 002132
22=--+-??
C y x y y =+--ln )ln(ln 2
2
2
其中C 为常数
2、具有特殊结构的一阶微分方程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因子的求法 2.1
方程0)()()()(=+y Q x P dx y N x M 有积分因子:
)
()(1
x P y N =
μ
显然,直接验证可得
μ=
)
()(1
x P y N
为上式的积分因子.
若)()()()())(y P x Qf x Q y P ?-=??-??，则?
=+dy
y dx x f e )()(?μ是方程的积分因子
解：因为)()())(x Q y P ??-??
)62(62y x x y +++= )3(2)6(2x y y x +++= )2
)(3()1)(6(222y
xy y x xy x -+--+-=
=)2()1
(y
P x Q --- 故有积分因子
2
2
1
1xy e
dy
y dx x =
=---μ 于是原方程化为
0)6)()13(2=+-+dy y x dx y x
即
0])()1[(6)3(2=-+-dy y x dx y dy dx x
这是一个全微分方程，积分得出通解为
C y x y x =+-6ln 3
或cy x y x y =+-2
6ln 3
2.2 设函数)(),(u g u f 连续、可微且,
则方程0)()(=+dy xy xg dx xy yf 有积分因子:
)]
()([1
xy g xy f xy -
证明:令μ=xy ,则原方程可化为
0)()]
()([=+-μμμd g dx x
g u f u (1)
(1)
式两边同乘以
)]
()([1
μμg f u -得
0)]
()([)(=--du g f g x dx μμμμ 显然(2) 为恰当方程,故(1) 有积分因子
)]
()([1
μμμg f -,,因而原方程有积分因子
)]
()([(1
xy g xy f xy -,但对于一个较复杂的方程,往往不容易直接求得它的积分因
子.
例 0)(12332=-+-dy y x y x dx y x 解原方程化为
0)1()1(2222=-++dy y x x dx y x y
因为02)1()1(2222≠=--+y x y x ,
故有积分因子
xy
y x y x xy 21
)]}
1()1[({1
2
222=--+=μ
乘上xy
21=
μ得 021********=-++dy x ydy x dx x dx xy 即
0)(
2)(222=-++y
dy
x dx ydy x dx xy 二．针对满足某些条件的微分方程，运用积分因子方法求出通解.
但是如果把它的左端分成几组,比如分成两组:
0)()(2211=+++dy N dx M dy N dx M (3)
后,可分别求得各组的积分因子21μμ和,也就是如果有21,μμ 使
+11M μ111μμd dy N = +22M μ222μμd dy N =
于是借助于21,μμ常可求得0=+NdY Mdx 的积分因子.为了说明这一点,先注意下一事实.
如果μ是0=+NdY Mdx 的一个积分因子,且+M μμμd Ndy =,
则)(μμφ 也是0=+NdY Mdx 的积分因子.此处)(μφ是μ的任一连续函数. 事实上μμ?μμμφμμφμμφd Ndy Mdx Ndy dx )())(()(M =+=+）（其中Ф表示φ的一个原函数.
据此知,对于任意的函数)(μφ 及)(11μφμ、)(22μ?μ 都分别是(3) 的第一组和第二组的积分因子.函数?φ,有着广泛选择的可能性.若能选择?φ,使
)()(2211μ?μμφμ==u 则μ就既是(3) 的第一组也是第二组的积分因子.因而也就
是0=+NdY Mdx 的积分因子.
例:解方程: 0)1()3(32
=+++dy y
x dx x x y
解:原方程改写为
0)3()(32
=+++dy y
x x dy dx x y 显然
y x y xy x 32211,,,====μμμμ
为使),()(3y x y xy x ?φ=只须取2)(μμφ=,μμ?=)( 于是求得原方程的一个积分因子:
233)()(y x y x y xy x ===?φμ
而以之乘方程的两端,便得
0)()36232522=+++dy y x y x dx y x y x
于是
dx y x y x y x x
)3(),(2
5
03
2
+=?μ=)0(2
)(3)(2
33=+c y x xy 取
∴通解为:
c 2)(3)(2
33=+y x xy
结论1：
设),(y x u 是方程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因子，从而求得可微方程
),(y x U 使)(Ndy Mdx dU +=μ时)(),(1U y x μ?μ=.),(1y x μ也是方程的积分因子，
其中）（t ?是t 的可微函数.
结论2：
设),(1y x u ，),(2y x u 是方程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的两个
积分因子，且
≠2
1
μμ常数，则
c 2
1
=μμ（任意常数）是方程的通解. 结论3：
假设当方程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 为齐次方程时，且为恰当方程，则它的通解可表示为c d y x yN dx y x xM =+y ),(),(（c 为任意常数）. 参考文献（顶格、宋体、小四号加粗）：
[1] 刘广珠.高中生考试焦虑成因分析[J].陕西师大学报（哲社版），1995，24（1）：161-164.
（参考文献序号在文中采用右上标注的方式，用数字加方括号表示，如[1]，[2]，…，序号应连续。

参考文献一律采用文后著录，所列参考文献撰写格式为：序号顶格，宋体，五号，单倍行距。

请注意标点符号。

）。