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2013-2014学年度枣庄四十一中第一学期九年级期末考试数学试题
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．二次函数y=x 2-4x+5的最小值是（ ） A ．-1, B ．1, C ．3, D ．5
2．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）
1.2A π 1.4B π 1
.8
C π D.π 3．两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ） A ．内切, B ．相交, C ．外切,
D ．外离 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A B C D 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sin A 的值为
A B C ．
12
D ．2
6．如图，抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠的对称轴为直线1
2
x =-．下列结论中，正确的是
A ．a ＜0
B ．当1
2x <-时，y 随x 的增大而增大
C ．0a b c ++>
D ．当12x =-时，y 的最小值是44
c b
-
7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF ，则旋转中心的坐标是
A ．(00)，
B ．(10)，
C ．(11)-，
D ．(2.50.5)，
8．若抛物线()2
231y x m m =-+-（m 是常数）与直线1y x =+有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m 的取值范围是
A ．2m <
B ．2m >
C ．9
4
m <
D ．94
m >
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若2AD =，3DB =，1DE =，则BC 的长是 ．
10．把抛物线2=y x 向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线=y ． 11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝2．将△ABC 绕点C 逆时针旋转
α角后得到△A′B′C ，当点A 的对应点A' 落在AB 边上时，旋转角α的度数是 度，阴影部分的面积为 ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，过点(65)A ，作AB ⊥x 轴于点B ．半径为(05)r r <<的⊙A 与AB 交于点C ，过B 点作⊙A 的切线BD ，切点为D ，连接DC 并延长交x 轴于点E ． （1）当5
2
r =
时，EB 的长等于 ； （2）点E 的坐标为 （用含r 的代数式表示）．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：2sin603tan302tan60cos45
︒+︒-︒⋅︒．
14．已知：二次函数23
y x bx
=+-的图象经过点(25)
A，．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；
（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2
()
y x h k
=-+的形式．
15．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，点P在AD边上，且PC PB
⊥．若AB ＝6，DC＝4，PD＝2，求PB的长．
16．列方程或方程组解应用题：
“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2011年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2013年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．
17．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得CD
＝30米，求河宽AB（结果精确到1米，1．731．41）．
18．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，AB＝12，
3 cos
5
A=．
（1）求OC 的长；
（2）点E ，F 在⊙O 上，EF ∥AB ．若EF ＝16，直接写出EF 与AB 之间的距离．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图象与C 1关于y 轴对称．
（1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式； （2）当3x -<≤0时，直接写出2y 的取值范围；
（3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+（ k ，m 为常数，k ≠0）的图象经过A ，B 两点，当23y y <时，直接写出x 的取值
范围．
20．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 边上任意一点（不与点C ，D 重合），作AF ⊥AE 交CB 的延长线于点F ． （1）求证：△ADE ∽△ABF ；
（2）连接EF ，M 为EF 的中点，AB ＝4，AD ＝2，设DE ＝x ， ①求点M 到FC 的距离（用含x 的代数式表示）；
②连接BM ，设2B M y =，求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出BM 的长度的最小值．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若
2
3
CE
DE
=，求cos ABC
∠的值．
22．阅读下面材料：
定义：与圆的所有切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形．
问题：⊙O的半径为1，画一个⊙O的关联图形．
在解决这个问题时，小明以O为原点建立平面直角坐标系xOy进行探究，他发现能画出很多⊙O的关联图形，例如：⊙O本身和图1中的△ABC（它们都是封闭的图形），以及图2
中以O为圆心的（它是非封闭的图形），它们都是⊙O的关联图形．而图2中以P，Q为端点的一条曲线就不是⊙O的关联图形．
参考小明的发现，解决问题：
（1）在下列几何图形中，⊙O的关联图形是（填序号）；
①⊙O的外切正多边形
②⊙O的内接正多边形
③⊙O的一个半径大于1的同心圆
（2）若图形G是⊙O的关联图形，并且它是封闭的，则图形G的周长的最小值是____；（3）在图2中，当⊙O的关联图形的弧长最小时，经过D，E两点的直线为y =__；（4）请你在备用图中画出一个⊙O的关联图形，所画图形的长度l小于（2）中图形G的周长的最小值，并写出l的值（直接画出图形，不写作法）．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知：二次函数23
1 4
y x mx m
=-++（m为常数）．
（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．
①求m的值；
②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；
（2）当0≤x≤2时，求函数23
1 4
y x mx m
=-++的最小值（用含m的代数式表示）．
24．已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD，BE．（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系；（2）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转α（o0≤α≤o
90）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M旋转α（o0≤α≤o
90）角，作DH⊥BC 于点H．设BH＝x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB＝6，DE＝2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．
25．已知：二次函数224y ax ax =+-(0)a ≠的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12． （1）①填空：二次函数图象的对称轴为 ； ②求二次函数的解析式；
（2）点D 的坐标为（－2，1），点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且tan 2ADP ∠=，求点P 的横坐标；
（3）点E 在x 轴的正半轴上，o 45OCE ∠>，点O 与点O '关于EC 所在直线对称．作ON ⊥EO '
于点N ，交EC 于点M ．若EM ·EC ＝32，求点E 的坐标．
2013-2014学年度枣庄四十一中第一学期九年级期末考试
数学试题参考答案
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒．
232=- ............................................................................................... 4分
=． ........................................................................................................................... 5分 14．解：（1）∵ 二次函数23y x bx =+-的图象经过点A （2，5），
∴ 4235b +-=． ................................................................................................................... 1分 ∴ 2b =．
∴ 二次函数的解析式为223y x x =+-． ............................................................................. 2分 （2） 令0y =，则有2230x x +-=． 解得13x =-，21x =．
∴ 二次函数的图象与x 轴的交点坐标为(3,0)-和(1,0)． .................................................. 4分 （3）223y x x =+- 2(21)4x x =++-
2(1)4x =+-． ......................................................................................................................... 5分
15．解：∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，
∴ ∠D =90°．
∴ 90DCP DPC ∠+∠=︒． ∵PC PB ⊥，
∴∠BPC =90°，90DPC APB ∠+∠=︒．
∴∠DCP =∠APB ． ............................................................... 2分 ∴t an an t DCP APB =∠∠．
在Rt △PCD 中， CD =2，PD =4， ∴1tan 2PD DCP CD ∠==．
在Rt △PBA 中，AB =6， ∴tan AB APB PA ∠=．
∴162PA
=． ∴12PA =． .............................................................................................................................. 4分
∴PB .................................................................................................. 5分 16．解：设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是x ． .......... 1分 依题意，得275(1)108x +=． ......................................................................................... 2分 整理，得236
(1)25
x +=
． .................................................................................................. 3分 6
15
x +=±．
解得x 1=0．2=20%，x 2=－2．2（舍去）．..................................................................... 4分 答：从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是20%． ................ 5分 17．解：设河宽AB 为x 米． ................................................................................................. 1分
∵ AB ⊥BC ， ∴ ∠ABC =90°．
∵ 在Rt △ABC 中，∠ACB =45°，
∴ AB =BC =x ． ..................................................... 2分 ∵ 在Rt △ABD 中，∠ADB =30°，
∴ BD =． ........................................ 3分
∴ CD BD BC x =-=-．
∴
30x -=． .................................................................................................................... 4分
解得15x =≈41．
答：河宽AB 约为41米． ....................................................................................................... 5分 18．解：（1）∵ AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB =12，
∴ 1
62
AC AB =
=．
..................................................................... 1分 ∵ 在Rt △AOC 中，∠ACO =90°，3
cos 5
A =，
∴ 10OA =． ................................................................................ 2分
∴ 8OC ==．......................................................... 3分
（2）2或14．.......................................................................................................................... 5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：（1）二次函数2143y x x =-+图象的顶点(2,1)-关于y 轴的对称点坐标为(2,1)--， ················································································································ 1分 ∴ 所求的二次函数的解析式为22(2)1y x =+-， ················································ 2分 即2243y x x =++．
（2）1-≤2y ≤3． ························································································ 4分 （3）20x -<<． ······················································································· 5分 20．（1）证明：∵ 在矩形ABCD 中，∠DAB =∠ABC =∠C =∠D =90°． ∴ 90ABF D ∠=∠=︒． ∵ AF ⊥AE ，
∴ ∠EAF =90DAE EAB DAB ∠+∠=∠=︒． ∴ 90BAE BAF ∠+∠=︒． ∴ ∠DAE =∠BAF ．
∴ △ADE ∽△ABF ． ··················································································· 2分 （2）解：①如图，取FC 的中点H ，连接MH ．
∵ M 为EF 的中点，
∴ MH ∥DC ，12
MH EC =． ∵ 在矩形ABCD 中，∠C =90°，
∴ MH ⊥FC ，即MH 是点M 到FC 的距离．
∵ DE =x ，DC =AB =4．
∴ EC =4x -，
∴ 12MH EC =122
x =-． 即点M 到FC 的距离为MH 122x =-
． ................................................................................ 3分 ②∵△ADE ∽△ABF ，
∴
DE BF AD AB =． ∴ 24
x BF =． ∴ 2BF x =，FC =22x +，FH = CH =1x +．
∴ 1HB BF HF x =-=-．
∵ 122
MH x =-， ∴ 在Rt △MHB 中，222221(2)(1)2
MB BH MH x x =+=-+- 25454
x x =-+． ∴ 25454y x x =
-+（04x <<）， ........................................................................................ 4分
当85
x =时，BM .................................................................................. 5分 21．（1）证明：如图，连接OC ．
∵ AD 是过点A 的切线，AB 是⊙O 的直径，
∴ AD ⊥AB ，
∴ ∠DAB =90°．
∵ OD ∥BC ，
∴ ∠DOC =∠OCB ，∠AOD =∠ABC ．
∵ OC =OB ，
∴ ∠OCB =∠ABC ．
∴ ∠DOC =∠AOD ．
在△COD 和△AOD 中，
OC = OA ，
∠DOC =∠AOD ，
OD =OD ，
∴ △COD ≌△AOD ． .............................................................................................................. 1分 ∴ ∠OCD=∠DAB = 90°．
∴ OC ⊥DE 于点C ．
∵ OC 是⊙O 的半径，
∴ DE 是⊙O 的切线． ............................................................................................................ 2分
（2）解：由23
CE DE =，可设2(0)CE k k =>，则3DE k =．．． .......................................... 3分 ∴ AD DC k ==．
∴ 在Rt △DAE 中，AE =．
∴ tan E =
AD AE = ∵ 在Rt △OCE 中，tan 2OC OC E CE k =
=． ∴
2OC k
=， ∴
OC OA ==
∴ 在Rt △AOD 中，OD =．．． .......................................................... 4分
∴ cos cos OA ABC AOD OD ∠=∠==．．． ........................................................................... 5分 22．解：（1）①③； .......... 2分
（2）2π； .......................... 3分
（3）x - ................. 4分
（4）答案不唯一，所画图形是非封闭的，长度l 满足2π+≤ l ＜2π．
例如：在图1中l 2=π+，
在图2中l =6． .................................... 5分
阅卷说明：在（1）中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在（4）中画图正确且图形长度都正确得1分，否则得0分．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：（1）①∵ 二次函数2314
y x mx m =-++的图象与x 轴只有一个公共点A ， ∴∆2341(1)04
m m =-⨯⨯+=． ............................................................................................ 1分 整理，得2340m m --=．
解得，14m =，21m =-．
又点A 在x 轴的正半轴上，
∴ 0m >．
∴ m =4． ................................................................................................................................... 2分 ②由①得点A 的坐标为(20)，．
∵ 四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴的负半轴上，
∴ 点B 的坐标为(02)-，，点C 的坐标为(22)-，． ......................................................... 3分 设平移后的图象对应的函数解析式为2y x bx c =++（b ，c 为常数）．
∴ 2,42 2.
c b c =-⎧⎨++=-⎩ 解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩
∴平移后的图象对应的函数解析式为222y x x =--． ...................................................... 4分
（2）函数2
314y x mx m =-++的图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上的抛物线．分三种情况： （ⅰ）当02
m <，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而增大，此时函数的最小值为
314
m +； （ⅱ）当0≤2
m ≤2，即0≤m ≤4时，函数的最小值为23144m m -++； （ⅲ）当22
m >，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而减小，此时函数的最小值为554
m -+． 综上，当0m <时，函数2314y x mx m =-++的最小值为314
m +； 当04m ≤≤时，函数2
314y x mx m =-++的最小值为23144m m -++； 当4m >时，函数2314y x mx m =-++的最小值为554
m -+． ............................... 7分
24．（1）AD BE
=AD BE ⊥． ........................................................................................ 2分 （2）证明：连接DM ，AM ．
在等边三角形ABC 中，M 为BC 的中点，
∴ AM BC ⊥，1302BAM BAC ∠=∠=︒，AM BM
∴ 90BME EMA ∠+∠=︒．
同理，
DM EM =，90AMD EMA ∠+∠=︒． ∴ AM DM BM EM
=，AMD BME ∠=∠． ····························· 3分 ∴ △ADM ∽△BEM ．
∴ AD DM BE EM
== ............................................................................................................. 4分 延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K ．
∴ MAD MBE ∠=∠，BGM AGK ∠=∠．
∴ 90GKA AMB ∠=∠=︒．
∴ AD BE ⊥． ......................................................................................................................... 5分
（3）解：（ⅰ）当△DEF 绕点M 顺时针旋转α（o 0≤α≤o 90）角时，
∵ △ADM ∽△BEM ，
∴ 2()3ADM BEM S AD S BE
∆∆==． ∴ 13
BEM ADM S S ∆∆= ∴ ABM ADM BEM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--
23
ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=+-
121133)12322
x =⨯⨯⨯⨯--⨯
=
∴
S =（3≤x
≤3+． ..................................................................................... 6分 （ⅱ） 当△DEF 绕点M 逆时针旋转α（o 0≤α≤o 90）角时，可证△ADM ∽△BEM ，
∴ 21()3
BEM ADM S BM S AM ∆∆==． ∴ 13
BEM ADM S S ∆∆=． ∴ ABM BEM ADM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--
23
ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=--
21
)32x ⨯⨯-+
=
∴ S =3≤x ≤3）．
综上，S =+（3-≤x ≤3+． ...................................................................... 7分
25．解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线1x =-； ................................................ 1分 ②∵ 当x =0时，y =－4，
∴ 点C 的坐标为(04)-，．
∵ ABC S ∆12c AB y =
⋅＝12， ∴ AB =6．
又∵点A ，B 关于直线1x =-对称，
∴ A 点和B 点的坐标分别为(40)-，，(20)，．
∴ 4440a a +-=．解得 12
a =． ∴ 所求二次函数的解析式为2142
y x x =+-． ................................................................... 2分 （2）如图，作DF ⊥x 轴于点F ．分两种情况：
（ⅰ）当点P 在直线AD 的下方时，如图所示．
由（1）得点A (40)-，，点D (21)-，
， ∴ DF =1，AF =2．
在Rt △ADF 中，o 90AFD ∠=，得tan 2AF ADF DF
∠==． 延长DF 与抛物线交于点P 1，则P 1点为所求．
∴ 点P 1的坐标为(24)--，． ................................................................................................ 3分 （ⅱ）当点P 在直线AD 的上方时，延长P 1A 至点G 使得AG =AP 1，连接DG ，作GH ⊥x 轴于点H ，如图所示．
可证 △GHA ≌△1
PFA ． ∴ HA =AF ，GH = P 1 F ，GA =P 1A ．
又∵ (40)A -，，1(24)P --，
， ∴ 点G 的坐标是(64)-，．
在△ADP 1中，
DA DP 1＝5，
1AP =，
∴ 22211DA AP DP +=．
∴ 1o 90DAP ∠=．
∴ DA ⊥1GP ．
∴ 1DG DP =．
∴ 1ADG ADP ∠=∠．
∴ 1tan tan 2ADG ADP ∠=∠=．
设DG 与抛物线的交点为P 2，则P 2点为所求．
作DK ⊥GH 于点K ，作P 2S ∥GK 交DK 于点S ．
设P 2点的坐标为21(4)2
x x x +-，， 则2221141522
S x x x x P =+--=+-，2DS x =--． 由2P S DS GK DK
=，3GK =，4DK =，得2152234x x x +---=． 整理，得 227140x x +-=．
解得x =．
∵ P 2点在第二象限，
∴ P 2点的横坐标为x （舍正）．
综上，P 点的横坐标为－2． ........................................................................... 5分 （3）连接O O '，交CE 于T ．连接O 'C ．
∵ 点O 与点O '关于EC 所在直线对称，
∴ O O '⊥CE ，OCE ∠=∠O 'CE ，∠C O 'E o 90COE =∠=．
∴ O 'C ⊥O 'E ．
∵ ON ⊥O 'E ，
∴ O 'C ∥O N ．
∴ OMC ∠=∠O 'C E OCE =∠．
∴ OC OM =． ........................................................................................................................ 6分 ∴ CT MT =．
∵ 在Rt △ETO 中，o 90ETO ∠=，cos ET OEC OE ∠=
， 在Rt △COE 中，o 90COE ∠=，cos OE OEC EC ∠=
， ∴ OE ET EC OE
=． ∴ 2OE ET EC =⋅
()EM TM EC =+⋅
EM EC TM EC =⋅+⋅
32TM EC =+⋅．
同理 2OC CT EC =⋅TM EC =⋅16=．
∴ 2321648OE =+=．
∵ 0OE >，
∴ OE =．
∵ 点E 在x 轴的正半轴上，
∴ E 点的坐标为0)）． ................................................................................................ 8分。