人教版高中数学优质教案5：1.3简单的逻辑联结词 教学设计

1.3简单的逻辑联结词
教学目标
1.知识与技能
了解命题的概念，理解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义，掌握含有“或”，“且”，“非”的命题的构成．
2．过程与方法
(1)经历抽象的逻辑联结词的过程，培养学生观察，抽象，推理的思维能力．
(2)通过发现式的引导，培养学生发现问题，解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
培养学生积极参与，合作交流的主体意识，并在这过程中，培养学生对数学的兴趣和爱好．
重点难点
重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或”、“且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容．
难点：(1)正确理解命题“p∧q”“p∨q”“非p”真假的规定和判定．
(2)简洁、准确地表述命题“p∧q”“p∨q”“非p”．
为了突出重点，突破难点，在教学上宜采取了以下的措施：
(1)从学生已有的知识出发，精心设置一组例子，逐步引导学生观察，探讨，联想，归纳出逻辑联结词的含义，从中体会逻辑的思想．
(2)通过简单命题与含逻辑联结词的命题的对比，明确它们存在的区别和联系，加深对含逻辑联结词的命题构成的理解，抓住其本质特点．
教学过程
引入新课
一、“且（and）”
问题导思
1．观察下列三个命题：
①2是6的约数；②2是8的约数；③2是6的约数且是8的约数．它们之间有什么关系？
[答案]命题③是将命题①、②用“且”联结得到的新命题．
2．以上三个命题的真假情况是怎样的？
[答案]均为真命题．
概括定义
1．定义
一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．
2．真假判断
当p、q都是真命题时，p∧q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q是假命题.
二、“或（or）”
问题导思
1．观察下列三个命题：
①27是7的倍数；②27是3的倍数；③27是7的倍数或是3的倍数．它们之间有什么关系？
[答案]命题③是将命题①②用“或”联结得到的新命题．
2．以上三个命题的真假情况是怎样的？
[答案]①是假命题，②③是真命题．
概括定义
1．定义
一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“p或q”．
2．真假判断
当p、q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题.
三、“非（not）”
问题导思
1．观察下列两个命题
①4是16的算术平方根；②4不是16的算术平方根．它们之间有什么关系？
[答案]命题②是对命题①的全盘否定．
2．以上两个命题的真假情况是怎样的？
[答案]命题①为真命题，命题②为假命题．
概括定义
1．定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作非p，读作“非p”或“p的否定”．
2．真假判断
若p是真命题，则非p必是假命题；若p是假命题，则非p必是真命题.
四、例题[解析]
例1 将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真假:
(1)p:平行四边形的对角线互相平分,
q:平行四边形的对角线相等;
(2)p:菱形的对角线互相垂直,
q:菱形的对角线互相平分;
(3)p:35是15的倍数,q:35是7的倍数.
解: （1）p且q:平行四边形的对角线互相平分且相等.
由于p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题.
（2）p∧q:菱形的对角线互相垂直且平分.
由于p是真命题,q是真命题,所以p∧q是真命题.
（3）p∧q:35是15的倍数且是7的倍数.
由于p是假命题,q是真命题,所以p∧q是假命题.
例2 用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断它们的真假：
(1)1既是奇数,又是质数;
(2)2和3都是质数.
解：(1)改写为:1是奇数且1是质数.由于“1是质数”是假命题,所以该命题为假命题. (2)改写为:2是质数且3是质数.因为“2是质数”与“3是质数”都是真命题,所以该命题为真命题.
例3 分别指出下列命题的形式并判断真假：
(1)2≤2;
(2) 集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集;
(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.
解：（1）该命题是“p或q”形式，其中
p:2=2; q:2<2;
因为p是真命题,所以原命题是真命题.
（2）该命题是“p或q”形式，其中
p:集合A是A∩B的子集;
q:集合A是A∪B的子集;
因为命题q是真命题,所以原命题是真命题.
（3）该命题是“p或q”形式，其中
p:周长相等的两个三角形全等;
q:面积相等的两个三角形全等;
因为命题p,q都是假命题,所以原命题是假命题.
例4 写出下列命题的否定,并判断它们的真假:
(1) p: y=sin x是周期函数;
(2) p: 3<2;
(3) p: 空集是集合A的子集.
解：(1) ﹁p : y=sin x不是周期函数，
命题p是真命题, ﹁p是假命题.
(2) ﹁p:3≥2,
命题p是假命题, ﹁p是真命题.
(3) ﹁p :空集不是集合A的子集,
命题p是真命题, ﹁p是假命题.
五、课堂训练
1．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是()
A．“p∧q”形式的命题B．“p∨q”形式的命题
C．“非p”形式的命题D．以上说法都不对
[答案] A
2．若p是真命题，q是假命题，则()
A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题
C．非p是真命题 D．非q是真命题
[解析]根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确．
[答案] D
3．命题“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否定为________．
[答案]在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角
4．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p∧q和非q都是假命题，求x的取值集合．
解：∵非q是假命题，∴q为真命题．
又p∧q为假命题，
∴p为假命题．
因此x2－x<6且x∈Z，
解之得－2<x<3且x∈Z，
故x＝－1,0,1,2，
所以x取值的集合是{－1,0,1,2}.
5. 指出下列命题的形式及构成它的简单命题：
(1)方程x2－3＝0没有有理根；
(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
解：(1)这个命题是“非p”形式的命题，其中p：方程x2－3＝0有有理根．
(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．
(3)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1
是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
6. 指出下列命题的构成形式：
(1)菱形的对角线垂直且平分；
(2)9的算术平方根不是－3；
(3)不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2或x<－1}．
解：(1)是“p∧q”形式，其中p：菱形的对角形互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
(2)是“非p”形式，其中p：9的算术平方根是－3；
(3)是“p∨q”的形式，其中p：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2}，q：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1}．
7. 分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“非p”形式的命题，并判断其真假．(1)p：6是自然数，q：6是偶数；
(2)p ：等腰梯形的对角线相等，q ：等腰梯形的对角线互相平分； (3)p ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点，q ：不等式x 2－2x ＋1＞0恒成立． 解： (1)p ∨q ：6是自然数或是偶数，真命题． p ∧q ：6是自然数且是偶数，真命题． 非p ：6不是自然数，假命题．
(2)p ∨q ：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题． p ∧q ：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题． 非p ：等腰梯形的对角线不相等，假命题．
(3)p ∨q ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点或不等式x 2－2x ＋1＞0恒成立，真命题． p ∧q ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点且不等式x 2－2x ＋1＞0恒成立，假命题． 非p ：函数y ＝x 2－2x ＋2有零点，假命题．
8. 分别指出下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式的真假； (1)p ：3是无理数，q ：3是实数； (2)p ：4＞6，p ：4＋6≠10.
解：(1)∵p 为真命题，q 也为真命题．
∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，非p 为假命题． (2)∵p 为假命题，q 也为假命题．
∴p ∨q 为假命题，p ∧q 为假命题，非p 为真命题.
9. 已知a ＞0且a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减，q ：曲线y ＝x 2
＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若p 或q 为真，p 且q 为假，求a 的取值范围．
解：y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减，故0＜a ＜1. 曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于两点等价于 (2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞5
2.
又a ＞0，∴0＜a ＜12或a ＞5
2
.
∵p 或q 为真，∴p ，q 中至少有一个为真． 又∵p 且q 为假，∴p ，q 中至少有一个为假， ∴p ，q 中必定是一个为真一个为假． ①若p 真，q 假．
则⎩⎪⎨⎪⎧
0＜a ＜1，12≤a ≤5
2且a ≠1， ∴1
2≤a ＜1. ②若p 假，q 真．
则⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞1，0＜a ＜12或a ＞52，
∴a ＞52. 综上可知，实数a 的取值范围为[12，1)∪(5
2
，＋∞)．
10. 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，命题q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．
【解】 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，
∴－2＜a ＜2，
∴命题p 中a 应满足－2＜a ＜2. 函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，
则有5－2a ＞1，即a ＜2.∴命题q 中a 应满足a ＜2. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．
(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧
－2＜a ＜2，
a ≥2，此不等式组无解．
(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤－2，或a ≥2，
a ＜2，
∴a ≤－2.
综上，实数a 的取值范围是a ≤－2. 六、课堂小结
1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的步骤： (1)确定含逻辑联结词的命题的构成形式； (2)判断其中简单命题p 、q 的真假； (3)由真值表判断命题的真假． 2．真值表
解读真值表
3．命题非p是对命题p的全盘否定，p和非p的真假性相反，要区别于命题p的否命题．逻辑联结词的意义又可结合集合的运算理解，利用p∧q，p∨q，非p形式命题的真假可以得到一些集合的关系，确定其中参数的范围.。