鲁京津琼专用2020版高考数学一轮复习专题9平面解析几何第73练高考大题突破练_圆锥曲线中的定点定值问题练习

第练高考大题突破练—圆锥曲线中的定点、定值问题
[基础保分练]
.如图，已知抛物线：＝(>)，焦点为，过点()作直线交抛物线于，两点，设(，)，(，)．
()若＝－，求抛物线的方程；
()若直线与轴不垂直，直线交抛物线于另一点，直线交抛物线于另一点.求证：直线与直线的斜率之比为定值．
．已知椭圆：＋＝，过的左焦点不与轴垂直的直线与交于点，，点关于轴的对称点为′，证明：直线′恒过定点．
．已知椭圆：＋＝(>>)经过点(，)，过点(，)的动直线与椭圆交于，两点，当直线过椭圆的左焦点时，直线的斜率为.
()求椭圆的方程；
()是否存在与点不同的定点，使得∠＝∠恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
[能力提升练]
．已知椭圆：＋＝(>>)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为.
()求椭圆的方程；
()设，为椭圆上任意两点，为坐标原点，且⊥.求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值．
答案精析
．()解设直线的方程为＝＋，
代入＝，得－－＝，
则＝－＝－，得＝.
∴抛物线的方程为＝.
()证明设(，)，(，)．
由()可知，＝－，
同理可得，＝－.
又直线的斜率＝
＝，
直线的斜率＝
＝，
∴＝＝
＝＝.
故直线与直线的斜率之比为定值．
．证明椭圆的左焦点为(－)．
依题意，设直线的方程为＝－(≠)，(，)，(，)，
则′(，－)且≠，＋≠，
联立
消去，并整理得(＋)－－＝，
则Δ＝(－)－×(－)(＋)＝＋>，
＋＝，＝－，
直线′的方程为＋＝(－)，
令＝，得＝＋＝
＝＝－
＝－＝－，
故直线′恒过定点(－)．
．解()椭圆：＋＝(>>)经过点(，)，
可得＋＝，又设左焦点为(－)，有＝，
即＝，－＝，解得＝，＝，
则椭圆的方程为＋＝.
()当直线与轴平行时，有＝，若使∠＝∠，则点在轴上不同于点时均成立．故存在与不同的定点使得∠＝∠恒成立，点一定在轴上，所以设(，)．当直线的斜率存在时，设直线方程为＝＋，(，)，(，)，代入椭圆方程得(＋)＋－＝，
∴＋＝，＝.若∠＝∠，则＋＝，
即＋＝＋＝＋＝＋(－)·＝(－)．∵∈，
∴当＝时，∠＝∠，
∴()．当直线的斜率不存在时，()满足∠＝∠，∴存在不同于点的定点()，使得∠＝∠恒成
立．
．解()由题意知，＝＝，＝，
又＝＋，所以＝，＝，＝，
所以椭圆的方程为＋＝.
()①当直线的斜率不存在时，直线的方程为＝±，此时，原点到直线的距离为.
②当或的斜率不存在时，，分别为椭圆的顶点，此时，原点到直线的距离为.
③当直线，，的斜率都存在时，设直线的方程为＝＋，
(，)，(，)．
由得(＋)＋＋－＝.
则Δ＝()－(＋)(－)
＝(＋－)>，
＋＝－，＝，
则＝(＋)(＋)＝，
由⊥，得·＝－，
即·＝－，
所以＋＝＝，
即＝(＋)，满足Δ>，
所以原点到直线的距离为＝.
综上，原点到直线的距离为定值.。