北师大高中数学必修三培优新方案同步阶段质量检测三 概 率 含解析

阶段质量检测（三） 概 率
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件：①如果a ，b 是实数，那么b ＋a ＝a ＋b ；②某地1月1日刮西北风；③当x 是实数时，x 2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 解析：选B ①③是必然事件，②④是随机事件．
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A.1999
B.11 000
C.9991 000
D.12
解析：选D 抛掷一枚硬币，有正面朝上和反面朝上两种可能，概率均为12
，与第几次抛掷无关，故选D.
3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则从产品中任意抽查一件抽得正品的概率为( )
A ．0.09
B ．0.98
C ．0.97
D ．0.96
解析：选D 任意抽查一件抽得正品的概率为：
1－0.03－0.01＝0.96.
4．一个射手进行射击，记事件E 1：“脱靶”，E 2：“中靶”，E 3：“中靶环数大于4”，E 4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
解析：选B E 1与E 3，E 1与E 4均为互斥而不对立的事件．
5．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为( )
A.12
B.13
C.14
D.34
解析：选C 由题意知1－4n ≥0，得n ≤14
， ∴P ＝14－01－0＝14
. 6．已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为( )
A.13
B.12
C.59
D.29
解析：选B 若从甲袋中取出的球是红球，则从乙袋中取出红球的概率为P 1＝12×35＝310
.若从甲袋中取出的球是黄球，则从乙袋中取出红球的概率为P 2＝12×25＝15
，以上两个事件互斥，因此P ＝P 1＋P 2＝12
. 7．从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )
A.29
B.13
C.49
D.59
解析：选A 直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限，即k ＜0，b ＞0，总的基本事件个数是3×3＝9；k ＜0，b ＞0包含的基本事件有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以直线不经过第三象限的概
率是P ＝29
. 8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A.3π10
B.3π20 C ．1－3π10
D ．1－3π20
解析：选D ∵82＋152＝172，
∴该直角三角形斜边长为17.
设内切圆半径为r ，则有12(8＋15＋17)×r ＝12
×8×15， 解得r ＝3，则内切圆的面积为π×32＝9π.
∴豆子落在其内切圆外的概率P ＝60－9π60＝1－3π20
. 9．下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学，如果一个一个的走出去，则第2位走的是男同学的概率为( )
A.12
B.13
C.14
D.15
解析：选A 法一：已知有2位女同学和2位男同学，所有走的可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，
女，男), 所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12.
法二：由于每一位同学走出的概率是相同的，因此第2位走出的是男同学的概率P ＝24＝12. 10．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任选2张，这2张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率为( )
A.25
B.15
C.310
D.710
解析：选A 从5张卡片中任选2张的基本事件总数为10，事件“2张卡片上的字母顺
序恰好相邻”的基本事件为AB ，BC ，CD ，DE ，共有4个，∴P ＝410＝25
. 11.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的图形，现用红、
蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两个图形颜色不
相同的概率为( )
A.34
B.38
C.14
D.18
解析：选C 用两种颜色为图形涂色的结果，分组表示为以下情形：(红，蓝，蓝)，(红，蓝，红)，(红，红，蓝)，(红，红，红)，(蓝，蓝，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，红，蓝)，(蓝，红，红)，共8个基本事件．相邻两个图形颜色不相同的情形为：(红，蓝，红)，(蓝，红，蓝)，
共2个基本事件．所以所求的概率为P ＝28＝14
. 12.扇形AB 的半径为1，圆心角为90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成
四份．连接OC ，OD ，OE ，从图中所有的扇形中随机取出一个，若取到
扇形的面积恰为S 的概率为
310
，则S ＝( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.π2
解析：选A 由已知中扇形AB 的半径为1，圆心角为90°，点C ，D ，E 将弧AB 等分成
四份可得每个小扇形的面积为π16，则图中共有面积为π16的扇形4个，面积为π8
的扇形3个，面积为3π16的扇形2个，面积为π4
的扇形1个，共10个．从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率P ＝310
，故选A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．抛掷一枚均匀的正方体木块(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ∪B )＝________.
解析：将事件A ∪B 分为：事件C “朝上一面的数为1,2”与事件D “朝上一面的数为
3,5”．又C ，D 互斥，且P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ∪B )＝P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝23
. 答案：23
14．在数字1,2,3,4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为________．
解析：从数字1,2,3,4中随机选两个数字的结果为1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，
共6种，至少有一个偶数的对立事件为两个数全是奇数，即1和3，因此所求概率为1－16＝56
. 答案：56
15．如图，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机撒了300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆有125颗，于是我们估计出阴影部分的面积约为________．
解析：∵黄豆落在阴影部分的概率约为125300
， ∴阴影部分面积约为6×3×125300
＝7.5. 答案：7.5
16．设集合A ＝{}1，2，B ＝{}1，2，3，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为________．
解析：点P 的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上(2≤n ≤5，n ∈N)，且事件C n 的概率最大，当n ＝3时，P 点可能是(1,2)，(2,1)．当n ＝4时，P 点可能为(1,3)，(2,2)，即事件C 3，C 4的概率最大，故n ＝3或4.
答案：3或4
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14
，用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14
. (2)根据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是
75145＝1529
.据此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529
. 18．(本小题满分12分)(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型
第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数
140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50，
故所求概率为502 000
＝0.025. (2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372，
故所求概率估计为1－3722 000
＝0.814. (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
19．(本小题满分12分)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的条件为a ≥b .
基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34
. 20．(本小题满分12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A ，B ，C 区中分别有18,27,18个工厂．
(1)求从A ，B ，C 区中分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率．
解：(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为763＝19
，所以从A ，B ，C 三个区中分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，
(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共有21种．
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A 区的结果(记为事件X )有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，
B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，
C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，共有11种．
所以这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为P (X )＝1121
. 21．(本小题满分12分)某校高三年级一次数学考试后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.
(1)求a ，b ，n 的值；
(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名学生与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率．
解：(1)依题意，得5n ＝0.05，a n ＝0.35，20n
＝b ， 解得n ＝100，a ＝35，b ＝0.2.
(2)因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样的方法抽取6名学生，则第三、四、
五组应分别抽取3060×6＝3(名)，2060×6＝2(名)，1060
×6＝1(名)．将第三组的3名学生分别记为a 1，a 2，a 3，第四组的2名学生分别记为b 1，b 2，第五组的1名学生记为c 1，则从6名学生中随机抽取2名，有{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，c 1}，{a 2，a 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，c 1}，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 3，c 1}，{b 1，b 2}，{b 1，c 1}，{b 2，c 1}，共15种不同的取法，其中第三组的3名学生a 1，a 2，a 3没有一名学生被抽取的情况有{b 1，b 2}，{b 1，c 1}，{b 2，
c 1}，共3种，故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率P ＝1－315
＝0.8. 22．(本小题满分12分)某校为了解高一学生周末的阅读时间，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末阅读时间(单位：h)，按照[0,0.5)，[0.5，1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a 的值；
(2)估计该校高一学生周末阅读时间的中位数；
(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好都在同一个组的概率．
解：(1)由频率分布直方图可知，
周末阅读时间在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，
由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5×a ＋0.5×a .解得a ＝0.30.
(2)设中位数为m h.
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5，
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47＜0.5，所以2≤m ＜2.5.
由0.50×(m －2)＝0.5－0.47，解得m ＝2.06.
故可估计该校高一学生周末阅读时间的中位数为2.06 h.
(3)由题意得周末阅读时间在[1,1.5)，[1.5,2)中的学生分别有15人、20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人、4人，分别记作A ，B ，C 及a ，b ，c ，d ，从7人中随机抽取2人，共有AB ，AC ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，BC ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，Ca ，Cb ，Cc ，Cd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共21种，抽取的2人在同一组的有AB ，AC ，BC ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，
共9种，故所求概率P ＝921＝37
.。