2020年江西省中考数学模拟试卷(二)

2020年江西省中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分，每小题只有一个正确的选项）
1．（3分）2-的倒数是( )
A ．2-
B ．12-
C ．12
D ．2
2．（3分）如图，由两个相同的正方体和一个圆锥体组成一个立体图形，其俯视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）下列运算正确的是( )
A ．33(2)6a a -=-
B ．2353412a a a -=-g
C ．23(2)63a a a a --=-
D ．3222a a a -= 4．（3分）如图，不等式组1010x x +>⎧⎨-⎩…的解集在数轴上表示正确的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（3分）如图， 正比例函数11y k x =和反比例函数22k y x
=的图象交于(1,2)A -、(1,2)B -两点， 若12y y >，则x 的取值范围是为( )
A ．1x <-或1x >
B ．1x <-或01x <<
C ．10x -<<或01x <<
D ．10x -<<或1x >
6．（3分）向某一容器中注水， 注满为止， 表示注水量与水深的函数关系的图
象大致如图所示， 则该容器可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）2018年1月4日在萍乡市第十五届人民代表大会第三次会议报告指出，去年我市
城镇居民人均可支配收入33080元，33080用科学记数法可表示为 ．
8．（311的点距离最近的整数点所表示的数为 ．
9．（3分）为参加2018年“宜宾市初中毕业生升学体育考试”，小聪同学每天进行立定跳远
练习，并记录下其中7天的最好成绩（单位：)m 分别为：2.21，2.12，2.43，2.39，2.43，
2.40，2.43．这组数据的中位数和众数分别是 ．
10．（3分）已知a 、b 是方程2210x x --=的两个根，则2a a b -+的值是 ． 11．（3分）如图，点A 是反比例函数4(0)y x x
=-<图象上的点，分别过点A 向横轴、纵轴作垂线段，与坐标轴恰好围成一个正方形，再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余部分涂上阴影，则阴影部分的面积为 ．
12．（3分）如图，已知ABC ∆中，5AB AC ==，8BC =，将ABC ∆沿射线BC 方向平移m 个单位得到DEF ∆，顶点A ，B ，C 分别与D ，E ，F 对应，若以A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，且AE 为腰，则m 的值是 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：423112(3)27()3
--⨯-+-÷- （2）如图，小林将矩形纸片ABCD 沿折痕EF 翻折，使点C 、D 分别落在点M 、N 的位置，
发现2EFM BFM ∠=∠，求EFC ∠的度数．
14．（6分）已知115()a b a b
+≠，求()()a b b a b a a b ---的值． 15．（6分）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其
中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为
12
． （1）试求袋中蓝球的个数；
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两
次摸到都是白球的概率．
16．（6分）请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出ABC
的边AB上的高CD．
（1）如图①，以等边三角形ABC的边AB为直径的圆，与另两边BC、AC分别交于点E、F．
（2）如图②，以钝角三角形ABC的一短边AB为直径的圆，与最长的边AC相交于点E．
17．（6分）甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件)与时间x（时)的函数图象如图所示．
（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式；
（2）求乙组加工零件总量a的值．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）在我校举办的“读好书、讲礼仪”活动中，各班积极行动，图书角的新书、好书不断增多，除学校购买的图书外，还有师生捐献的图书，下面是九（1）班全体同学捐献图书情况的统计图（每人都有捐书）．
请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题：
（1）该班有学生多少人？
（2）补全条形统计图．
（3）九（1）班全体同学所捐图书是6本的人数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角为多少度？
（4）请你估计全校2000名学生所捐图书的数量．
19．（8分）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长50AB cm =，拉杆最大伸长距离
35BC cm =，
（点A 、B 、C 在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮A e ，A e 与水平地面切于点D ，//AE DN ，某一时刻，点B 距离水平面38cm ，点C 距离水平面59cm ．
（1）求圆形滚轮的半径AD 的长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C 处且
拉杆达到最大延伸距离时，点C 距离水平地面73.5cm ，求此时拉杆箱与水平面AE 所成角CAE ∠的大小（精确到1︒，参考数据：sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19)︒≈．
20．（8分）如图，反比例函数(0)k y x x
=>的图象经过线段OA 的端点A ，O 为原点，作AB x ⊥轴于点B ，点B 的坐标为(2,0)，3tan 2
AOB ∠=． （1）求k 的值； （2）将线段AB 沿x 轴正方向平移到线段DC 的位置，反比例函数(0)k y x x =
>的图象恰好经过DC 的中点E ，求直线AE 的函数表达式；
（3）若直线AE 与x 轴交于点M 、与y 轴交于点N ，请你探索线段AN 与线段ME
的大小关系，写出你的结论并说明理由．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点(4,0)A ，点(0,4)B ，动点C 在以半径为2
的O e 上，连接OC ，过O 点作OD OC ⊥，OD 与O e 相交于点D ，连接AB ．
（1）若点C 在第二象限的O e 上运动，当//OC AB 时，BOC ∠的度数为 ；
（2）若点C 在整个O e 上运动，当点C 运动到什么位置时，ABC ∆的面积最大？并求出
ABC ∆的面积的最大值；
（3）若点C 在第一、二象限的O e 上运动，连接AD ，当//OC AD 时，
①求出点C 的坐标；
②直线BC 是否为O e 的切线？请作出判断，并说明理由．
22．（9分）如图1，已知直线:2l y x =-+与y 轴交于点A ，抛物线2(1)y x m =-+也经过点A ，其顶点为B ，将该抛物线沿直线l 平移使顶点B 落在直线l 的点D 处，点D 的横坐标(1)n n >．
（1）求点B 的坐标；
（2）平移后的抛物线可以表示为 （用含n 的式子表示）；
（3）若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，且点C 的横坐标为a ．
①请写出a 与n 的函数关系式．
②如图2，连接AC ，CD ，若90ACD ∠=︒，求a 的值．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我
们的课本封面、4A 的打印纸等，这些矩形的长与宽之比都为2:1，我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1），在“完美矩形” ABCD 中，点P 为AB 边上的定点，且AP AD =．
（1）求证：PD AB =．
（2）如图（2），若在“完美矩形“ABCD 的边BC 上有一动点E ，当
BE CE
的值是多少时，PDE ∆的周长最小？
（3）如图（3），点Q 是边AB 上的定点，且BQ BC =．已知1AD =，在（2）的条件下连接DE 并延长交AB 的延长线于点F ，连接CF ，G 为CF 的中点，M 、N 分别为线段QF 和CD 上的动点，且始终保持QM CN =，MN 与DF 相交于点H ，请问GH 的长度是定值吗？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．
2020年江西省中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分，每小题只有一个正确的选项）
1．（3分）2-的倒数是( )
A ．2-
B ．12-
C ．12
D ．2
【解答】解：12()12
-⨯-=Q ． 2∴-的倒数是12
-， 故选：B ．
2．（3分）如图，由两个相同的正方体和一个圆锥体组成一个立体图形，其俯视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：从几何体的上面看：可以得到两个正方形，右边的正方形里面有一个内接圆， 故选：D ．
3．（3分）下列运算正确的是( )
A ．33(2)6a a -=-
B ．2353412a a a -=-g
C ．23(2)63a a a a --=-
D ．3222a a a -= 【解答】解：A 、33(2)8a a -=-；故本选项错误；
B 、2353412a a a -=-g ；故本选项正确；
C 、23(2)63a a a a --=-+；故本选项错误；
D 、不是同类项不能合并；故本选项错误；
故选：B ．
4．（3分）如图，不等式组1010
x x +>⎧⎨-⎩„的解集在数轴上表示正确的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：1010x x +>⎧⎨-⎩①②…
， 由①得，1x >-，
由②得，1x „，
故不等式组的解集为：11x -<„．
在数轴上表示为：
．
故选：B ．
5．（3分）如图， 正比例函数11y k x =和反比例函数2
2k y x
=的图象交于(1,2)A -、(1,2)B -两点， 若12y y >，则x 的取值范围是为( )
A ．1x <-或1x >
B ．1x <-或01x <<
C ．10x -<<或01x <<
D ．10x -<<或1x >
【解答】解： 如图，
结合图象可得：
①当1x <-时，12y y >；②当10x -<<时，12y y <；
③当01x <<时，12y y >；④当1x >时，12y y <．
综上所述： 若12y y >，则1x <-或01x <<．
故选：B ．
6．（3分）向某一容器中注水， 注满为止， 表示注水量与水深的函数关系的图
象大致如图所示， 则该容器可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解： 当容器是圆柱时， 容积2V r h π=，r 不变，V 是h 的正比例函数，
其图象是过原点的直线， 则A 不满足条件；
由函数图象看出， 随着高度的增加注水量也增加， 但随水深变大， 每单位高
度的增加， 体积的增加量变大， 图象上升趋势变缓， 而D 满足条件； 故选：D ．
二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）2018年1月4日在萍乡市第十五届人民代表大会第三次会议报告指出，去年我市城镇居民人均可支配收入33080元，33080用科学记数法可表示为 43.30810⨯ ． 【解答】解：433080 3.30810=⨯， 故答案为：43.30810⨯．
8．（311的点距离最近的整数点所表示的数为 3 ． 【解答】解：91112.25<<Q ，
∴在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是3．
故答案是3．
9．（3分）为参加2018年“宜宾市初中毕业生升学体育考试”，小聪同学每天进行立定跳远练习，并记录下其中7天的最好成绩（单位：)m 分别为：2.21，2.12，2.43，2.39，2.43，2.40，2.43．这组数据的中位数和众数分别是 2.40，2.43 ．
【解答】解：Q 把7天的成绩从小到大排列为：2.12，2.21，2.39，2.40，2.43，2.43，2.43． ∴它们的中位数为2.40，众数为2.43．
故答案为：45，45． 故答案为2.40，2.43．
10．（3分）已知a 、b 是方程2210x x --=的两个根，则2a a b -+的值是 3 ． 【解答】解：a Q 、b 是方程2210x x --=的两个根，
221a a ∴-=，2a b +=，
222()123a a b a a a b ∴-+=-++=+=． 故答案为：3．
11．（3分）如图，点A是反比例函数
4
(0)
y x
x
=-<图象上的点，分别过点A向
横轴、纵轴作垂线段，与坐标轴恰好围成一个正方形，再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余部分涂上阴影，则阴影部分的面积为4π
-．
【解答】解：由题意可以假设(,)
A m m
-，
则24
m
-=-，
2
m
∴=≠±，
2
m
∴=，
4
S S Sπ
∴=-=-
圆
阴正方形
，
故答案为4π
-．
12．（3分）如图，已知ABC
∆中，5
AB AC
==，8
BC=，将ABC
∆沿射线BC方向平移m 个单位得到DEF
∆，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三
角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是8或25
8
．
【解答】解：分2种情况讨论：
①当DE AE
=时，
作EM AD
⊥，垂足为M，AN BC
⊥于N，则四边形ANEM是平行四边形，
AM NE ∴=，
11
22
AM AD m
==，
1
4
2
CN BC
==，
∴111
8(4) 222
m m m
+=--，
8
m
∴=；
②当AD AE m
==时，
Q将ABC
∆沿射线BC方向平移m个单位得到DEF
∆，
∴四边形ABED 是平行四边形，
BE AD m ∴==， 4NE m ∴=-，
222AN NE AE +=Q ，
2223(4)m m ∴+-=， 258
m ∴=
． 综上所述：当8m =或25
8
时，ADE ∆是等腰三角形． 故答案为：8或
258
．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）（1）计算：4231
12(3)27()3
--⨯-+-÷-
（2）如图，小林将矩形纸片ABCD 沿折痕EF 翻折，使点C 、D 分别落在点M 、N 的位置，发现2EFM BFM ∠=∠，求EFC ∠的度数．
【解答】解：（1）原式118910=--+=-； （2）由折叠得：EFM EFC ∠=∠，
2EFM BFM ∠=∠Q ，
∴设EFM EFC x ∠=∠=，则有1
2
BFM x ∠=
， 180MFB MFE EFC ∠+∠+∠=︒Q ，
1
1802
x x x ∴++
=︒， 解得：72x =︒，
则72EFC ∠=︒． 14．（6分）已知11
5()a b a b
+=≠，求
()()a b b a b a a b ---的值． 【解答】解：Q 11
5a b
+=， ∴
5a b
ab
+=， 则原式225()a b a b
ab a b ab
-+===-．
15．（6分）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为1
2
． （1）试求袋中蓝球的个数；
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．
【解答】解：（1）设袋中蓝球的个数为x 个，
Q 从中任意摸出一个是白球的概率为12
， ∴
21
212
x =++，
解得：1x =，
∴袋中蓝球的个数为1；
（2）画树状图得：
Q 共有12种等可能的结果，两次都是摸到白球的有2种情况， ∴两次都是摸到白球的概率为：
21126
=． 16．（6分）请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出ABC ∆的边AB 上的高CD ． （1）如图①，以等边三角形ABC 的边AB 为直径的圆，与另两边BC 、AC 分别交于点E 、
F ．
（2）如图②，以钝角三角形ABC 的一短边AB 为直径的圆，与最长的边AC 相交于点E ．
【解答】解：（1）如图所示，CD 即为所求；
（2）如图，CD 即为所求．
17．（6分）甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y （件)与时间x （时)的函数图象如图所示．
（1）求甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数关系式； （2）求乙组加工零件总量a 的值．
【解答】解：（1）设甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数关系式是y kx =， 3606k =，得60k =，
即甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数关系式是60y x =； （2）由题意可得，
乙刚开始的工作效率是：100250
÷=个/小时，
Q换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍，
∴更新后乙的工作效率是100个/小时，
∴=+-⨯=，
a
100(4.8 2.8)100300
即乙组加工零件总量a的值是300．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）在我校举办的“读好书、讲礼仪”活动中，各班积极行动，图书角的新书、好书不断增多，除学校购买的图书外，还有师生捐献的图书，下面是九（1）班全体同学捐献图书情况的统计图（每人都有捐书）．
请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题：
（1）该班有学生多少人？
（2）补全条形统计图．
（3）九（1）班全体同学所捐图书是6本的人数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角为多少度？
（4）请你估计全校2000名学生所捐图书的数量．
【解答】解：（1）Q捐2本的人数是15人，占30%，
∴该班学生人数为1530%50
÷=人；
-+++=；
（2）根据条形统计图可得：捐4本的人数为：50(101575)13
补图如下；
（3）九（1）班全体同学所捐图书是6本的人数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角为5
36036
50
︒⨯=︒．
（4）Q九（1）班所捐图书的平均数是；
157 (1102154135765)50
50
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=，
∴全校2000名学生共捐
157
20006280
50
⨯=（本)，
答：全校2000名学生共捐6280册书．
19．（8分）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长50
AB cm
=，拉杆最大伸长距离35
BC cm
=，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮A
e，A
e 与水平地面切于点D，//
AE DN，某一时刻，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm．
（1）求圆形滚轮的半径AD的长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角CAE
∠的大小（精确到1︒，参考数据：sin500.77
︒≈，cos500.64
︒≈，tan50 1.19)
︒≈．
【解答】解：（1）作BH AF
⊥于点G，交DM于点H．
则//
BG CF，ABG ACF
∆∆
∽．
设圆形滚轮的半径AD的长是xcm．
则
BG AB CF AC =，即3850
595035
x x -=
-+， 解得：8x =．
则圆形滚轮的半径AD 的长是8cm ；
（2）73.5865.5()CF m =-=． 则65.5
sin 0.775035
CF CAF AC ∠=
=≈+， 则50CAF ∠=︒．
20．（8分）如图，反比例函数(0)k
y x x
=
>的图象经过线段OA 的端点A ，O 为原点，作AB x ⊥轴于点B ，点B 的坐标为(2,0)，3
tan 2
AOB ∠=．
（1）求k 的值；
（2）将线段AB 沿x 轴正方向平移到线段DC 的位置，反比例函数(0)k
y x x
=>的图象恰好经过DC 的中点E ，求直线AE 的函数表达式；
（3）若直线AE 与x 轴交于点M 、与y 轴交于点N ，请你探索线段AN 与线段ME 的大小关系，写出你的结论并说明理由．
【解答】解：（1）由已知条件得，在Rt OAB ∆中，2OB =，3tan 2AOB ∠=
，∴3
2
AB OB =， 3AB ∴=，A ∴点的坐标为(2,3)⋯（1分）
6k xy ∴==⋯（2分）
（2）DC Q 由AB 平移得到，点E 为DC 的中点，
∴点E 的纵坐标为
3
2
，⋯（3分） 又Q 点E 在双曲线6y x =上，∴点E 的坐标为3
(4,)2
⋯（4分）
设直线MN 的函数表达式为1y k x b =+，则1123342k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得134
92k b ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩， ∴直线MN 的函数表达式为39
42
y x =-+．⋯（5分）
（3）结论：AN ME =⋯（6分）
理由：在表达式3942
y x =-+中，令0y =可得6x =，令0x =可得9
2y =，
∴点(6,0)M ，9
(0,)2
N ⋯（7分）
解法一：延长DA 交y 轴于点F ，则AF ON ⊥，且2AF =，3OF =，
32
NF ON OF ∴=-=
， ∴根据勾股定理可得5
2AN =⋯（8分）
642CM =-=Q ，3
2EC =
∴根据勾股定理可得5
2
EM =
AN ME ∴=⋯（9分）
解法二：连接OE ，延长DA 交y 轴于点F ，则AF ON ⊥，且2AF =，
113962222EOM S OM EC ∆==⨯⨯=Q g ，1199
22222
AON S ON AF ∆==⨯⨯=⋯g （8分）
EOM AON S S ∆∆∴=，
AN Q 和ME 边上的高相等， AN ME ∴=⋯（9分）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点(4,0)A ，点(0,4)B ，动点C 在以半径为2的O e 上，连接OC ，过O 点作OD OC ⊥，OD 与O e 相交于点D ，连接AB ． （1）若点C 在第二象限的O e 上运动，当//OC AB 时，BOC ∠的度数为 45︒ ； （2）若点C 在整个O e 上运动，当点C 运动到什么位置时，ABC ∆的面积最大？并求出ABC ∆的面积的最大值；
（3）若点C 在第一、二象限的O e 上运动，连接AD ，当//OC AD 时， ①求出点C 的坐标；
②直线BC 是否为O e 的切线？请作出判断，并说明理由．
【解答】解：（1）Q 点(6,0)A ，点(0,6)B ， 6OA OB ∴==，
OAB ∴∆为等腰直角三角形， 45OBA ∴∠=︒， //OC AB Q ，
45BOC OBA ∴∠=∠=︒，
故答案为：45︒．
（2）当点C 到AB 的距离最大时，ABC ∆的面积最大， 如图1，过点O 作OE AB ⊥于E ，OE 的反向延长线交O e 于C '，此时，点C '到AB 的距离最大，最大值为C E '的长，
OAB ∆Q 是等腰直角三角形，
AB ∴==
1
2
OE AB ∴==
2CE OC OE '∴=+=+
ABC ∴∆的面积为182
C E AB '⨯=， 即：当点C 在O e 上运动到第三象限的角平分线与O e 的交点的位置时，
ABC ∆的面积最大，最大值为8；
（3）①如图2，当点C 为位于第二象限时，
过点C 作CF x ⊥轴于F ，
OD OC ⊥Q ，//OC OD ，∴
90ADO COD ∠=∠=︒，
90DOA DAO ∴∠+∠=︒，
90DOA COF ∠+∠=︒Q ，
COF DAO ∴∠=∠，
OCF AOD ∴∆∆∽， ∴
CF OC OD OA =， ∴224
CF =， 1CF ∴=，
在Rt OCF ∆中，根据勾股定理得，OF ，
(C ∴，1)，
同理：点C 在第一象限时，C 1)；
②直线BC 是O e 的切线，
理由：当点C 在第二象限时，
在Rt OCF ∆中，2OC =，1CF =，
30COF ∴∠=︒，
30OAD ∴∠=︒，
60BOC ∴∠=︒，
60AOD ∴∠=︒，
在BOC ∆和AOD ∆中，OC OD BOC AOD OB OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
BOC AOD ∴∆≅∆，
90BCO ADO ∴∠=∠=︒，
OC BC ∴⊥，
∴直线BC 为O e 的切线；
同理：当点C 在第一象限时，直线BC 为O e 的切线，
即：当//OC AD 时，直线BC 是O e 的切线．
22．（9分）如图1，已知直线:2l y x =-+与y 轴交于点A ，抛物线2(1)y x m =-+也经过点A ，其顶点为B ，将该抛物线沿直线l 平移使顶点B 落在直线l 的点D 处，点D 的横坐标(1)n n >．
（1）求点B 的坐标；
（2）平移后的抛物线可以表示为 2()2y x n n =-+- （用含n 的式子表示）；
（3）若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，且点C 的横坐标为a ．
①请写出a 与n 的函数关系式．
②如图2，连接AC ，CD ，若90ACD ∠=︒，求a 的值．
【解答】解：（1）当0x =时候，22y x =-+=，
(0,2)A ∴，
把(0,2)A 代入2(1)y x m =-+，得12m +=
1m ∴=．
2(1)1y x ∴=-+，
(1,1)B ∴
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：2(1)1y x =-+，
(,2)D n n -Q ，
∴则平移后抛物线的解析式为：2()2y x n n =-+-．
故答案是：2()2y x n n =-+-．
（3）①C Q 是两个抛物线的交点，
∴点C 的纵坐标可以表示为：
2(1)1a -+或2()2a n n --+
由题意得22(1)1()2a a n n -+=--+，
整理得222an a n n -=-
1n >Q
2222
n n n a n -∴==-． ②过点C 作y 轴的垂线，垂足为E ，过点D 作DF CE ⊥于点F
90ACD ∠=︒Q ，
ACE CDF ∴∠=∠
又AEC DFC ∠=∠Q
ACE CDF ∴∆∆∽ ∴AE CF EC DF =． 又2(,22)C a a a -+Q ，(2,22)D a a -，
22AE a a ∴=-，2DF a =，CE CF a ==
∴222a a a a a
-= 221a a ∴-=
解得：21a =±+
1n >Q
122
n a ∴=> 21a ∴=+
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我
们的课本封面、4A 2，我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1），在“完美矩形” ABCD 中，点P 为AB 边上的定点，且AP AD =．
（1）求证：PD AB =．
（2）如图（2），若在“完美矩形“ABCD 的边BC 上有一动点E ，当
BE CE
的值是多少时，PDE ∆的周长最小？
（3）如图（3），点Q 是边AB 上的定点，且BQ BC =．已知1AD =，在（2）的条件下连接DE 并延长交AB 的延长线于点F ，连接CF ，G 为CF 的中点，M 、N 分别为线段QF 和CD 上的动点，且始终保持QM CN =，MN 与DF 相交于点H ，请问GH 的长度是定
值吗？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．
【解答】（1）证明：在图1中，设AD BC a ==，则有2AB CD a ==， Q 四边形ABCD 是矩形，
90A ∴∠=︒，
PA AD BC a ===Q ， 222PD AD PA a ∴=+=，
2AB a =Q ，
PD AB ∴=；
（2）解：如图，作点P 关于BC 的对称点P '， 连接DP '交BC 于点E ，此时PDE ∆的周长最小，
设AD PA BC a ===，则有2AB CD a ==， BP AB PA =-Q ，
2BP BP a a ∴'=-，
//BP CD 'Q ，
∴222
2BE BP a a CE CD a --
===
（3）解：2
GH =
由（2）可知BF BP AB AP ==-，
AP AD =Q ，
BF AB AD ∴=-，
BQ BC =Q ，
AQ AB BQ AB BC ∴=-=-， BC AD =Q ，
AQ AB AD ∴=-，
BF AQ ∴=，
QF BQ BF BQ AQ AB ∴=+=+=， AB CD =Q ，
QF CD ∴=，
QM CN =Q ，
QF QM CD CN ∴-=-，即MF DN =， //MF DN Q ，
NFH NDH ∴∠=∠，
在MFH ∆和NDH ∆，
MFH NDH MHF NHD MF DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()MFH NDH AAS ∴∆≅∆， FH DH ∴=，
G Q 为CF 的中点，
GH ∴是CFD ∆的中位线，
12GH CD ∴==。