《工程信号处理与分析》最终读书报告要点

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
《工程信号处理及分析技术》
1232808 机械设计及理论华钜富
第六章互谱理论与声强测量
6.1 互谱密度函数
互谱理论是谱分析中重要的组成部分。

互谱密度函数描述两个信号在频域的相关程度，并保有两者的相位信息。

互谱不仅可以直接用于计算系统的频响函数和相干函数，同时更广泛地用于传递路径的分析与识别。

1.根据维纳-埃辛公式计算互谱
2
()2()()(),0
j f
xy xy xy xy
G f R e d C f jQ f f
πτ
ττ
∞-
-∞
==-≥
⎰
在实际中，由振幅和相角来表示互谱，即()
()|()|xy j f
xy xy
G f G f eθ-
=
互相关函数的逆傅里叶变换确定时，有：
有：
其中：
互谱项可正可负，它们的符号确定了相角的象限。

互谱不等式：()()()
xy xx yy
G f G f G f
≤
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
相干函数（平方相干）定义：
2
22
|()|
(),0()1
()()
xy
xy xy
xx yy
G f
f f
G f G f
γγ
=≤≤
相干函数是频率的函数，而相关系数函数则是时间的函数，互谱密度函数提供了直接从输入和输出数据估计物理系统特性的方法。

公式()2()
Gxy f Sxy f
=的证明：
根据维纳-埃辛公式计算互谱：
2
()2()()(),0
j f
xy xy xy xy
G f R e d C f jQ f f
πτ
ττ
∞-
-∞
==-≥
⎰
对于互相关函数Rxy（t）由双边互谱Sxy（t）的逆傅里叶变换确定时，有：
则：222
()2()2(())2()
πτπτπτ
τττ
∞∞∞
--
-∞-∞-∞
===
⎰⎰⎰
j f j f j f
xy xy
G f R e d Sxy f e df e d Sxy f
2 DFT计算互谱
从两个平衡遍历随机过程、上，对代表过程的长度为T的第k个样本作有限的傅里叶变换：
以上两个随机过程的双边谱密度函数为：
式中的期望值E表示对指标k的一种平均运算。

它相应的单边谱密度函数为：
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
6.2声波的能量及声强定义
1.基本定义
声波是一种弹性波，它是声场介质的动能与弹性势能两种能量形式随空间、时间相互转换的过程。

当声源振动时，振动体对周围相邻的媒质产生扰动，而被扰动的媒质又会对相邻的媒质产生扰动，这种扰动的不断传递就是声波产生与传播的基本原理。

声场：存在着声波的空间；
声场介质：声场中能够传递扰动的媒质。

声场介质的基本参量：介质密度，声压，介质质点振速。

介质密度
：由于空气媒质具有弹性，当扰动在其中传播时，媒质中每一小区都处于“压缩
一疏张一压缩一疏张”的变化状态中。

当媒质某区处于压缩状态时，其密度将大于静态密度；当媒质某区处于疏张状态时，其密度将小于静态密度。

声压P ：根据气体状态方程，当媒质某区处于压缩状态时，其压强将大于静态时的大气压强，压强增量；当媒质某区处于压缩状态时，其压强将小于静态时的大气压强，压强增量。

媒质的压强增量定义为声压，即，单位为“帕”。

介质密度点振速：声波传播过程中，介质质点均在各自的平衡位置附近振动。

通常，质点位移是时间的正弦(或余弦)函数。

当介质质点的运动方向与波的传播方向同向时，质点的振速规定为正，反之则为负。

2声能密度
声能密度：声能密度是声场中某一时刻单位体积的能量，声能密度在所论空间的积分就是声场总能量。

动能密度，，
势能密度，，
其中、、分别为瞬时声压、质点速度及空气密度；为单位体积的体积增量；
、分别为标准状况大气平均密度和声速。

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
2.2声强
声强：单位时间通过与声波传播方向垂直的单位面积的声波能量。

可以定义r方向的瞬时声强为：
显而易见，应该等于声波在面积上做的功，即
其中，为介质总压力，等于大气平均压力与声压之和，故
如果在做够长时间间隔T中进行时间平均，有：
时间平均声强：
即：
瞬时声强：设声场中某点的瞬时声压为，质点振动速度矢量为，该点的瞬时声强定义为：
声强是一个矢量，其作用方向始终与质点速度在同一直线上。

声场的能量平衡方程：
声能密度的时间变化率与声强矢量的散度大小相等，方向相反。

通常使用上说的声强指“时间平均声强”。

而
与同相位，为有功分量，与具有90度相位差，为无功分量。

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
“时间平均”将使得瞬时声强中的无功分量相互抵消。

因此，声源辐射的声功率只取决于时均声强。

第7章频率响应函数与相干分析
7.1线性系统的描述
1.线性系统的定义
当系统输入为， ,
为常数，如果对于的系统输出满足
,则称该系统为线性系统。

2.线性时不变系统
对于任意时间，若相对系统的输入的输出为时，则称该线性系统为时不变系统，或称线性时不变系统。

3.频响函数
频率响应函数是由输出与输入的傅里叶变换的比给出的，以表示。

若用转换中的，便获得以s 为变量的系统传递函数则：
对上式两边同时作傅里叶变换，可得下列卷积积分形式：
上式中称为系统权函数或冲激响应函数。

因果定律：某时刻的输入不能对该时刻以前产生影响，即输出（结果）不能在输入（原因）之前。

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
7.2线性系统的相关函数和功率谱
1.相关函数
连续时间系统输入输出之间的关系式为：，故自相关函数为：
=
同理=
离散时间系统与连续时间系统相似。

2.功率谱密度
对式
=
与式
=两边分别作傅里叶变换，则有：
综上所述，线性系统的输出功率谱等于频率响应函数模的平方乘上输入的功率谱，而互谱密度函数等于频响函数乘上输入的功率谱。

7.3系统的频率响应和相干函数
1.系统的频响函数
自谱表示方法:
互谱表示方法：
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
频响函数为复值函数，而自谱为频率f的实值函数，所以自谱只能表示出频响函数的增益因子，而互谱可以表示出频响函数的所有信息，包括增益因子和相位因子。

由于
频响函数的增益因子和相位因子为：
2.相干函数
广义上讲，相干函数是度量任意两个量和两个信号的因果程度的实值函数。

因此，在系统分析中，可以用来检验频响函数计算结果的有效性。

在系统分析中频响函数的估计和相干函数的计算是不可分割的两个步骤。

根据互谱不等式，定义相干函数为：
其中。

(1)对于线性时不变系统，在无噪输入输出的理想条件下，其相干函数必然等于1，
称为全相干。

(2)若x(t)和y(t)完全不相干，即，则。

(3)在实际工程中，。

7.4频响函数的计算、测量与应用
1.频响函数的计算方法
假定输入输出信号无噪声干扰，可得：
或者。

（1）幅值法估计
对两边进行数值平方，取各计算的平均值,根据自谱定义推得:
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
通过输入、输出自谱的比值得到频响函数的幅频特性（增益），次法不能用来求相位特性，所以称这种方法为频响函数的“幅值法估计”。

（2）互谱法估计
在两边同时乘以的共轭复函数后取平均值，得：
与的相频特性一致，求幅值的同时也就求出了相位。

这种方法基于互谱计算，所
以称为频响函数的“互谱法估计”。

（3）倒置法估计
在两边同时乘以的共轭复函数后取平均值，得：
（4）平均法估计
在互谱法和倒置法基础上又形成第四种频响函数计算方法，称为平均法估计。

实际物理系统输入输出都存在噪声干扰，如下图1所示。

图1
由于存在噪声干扰，，
定义输入、输出对应的噪声和信号比率为：
,
（1）幅值法估计
这种情况下，与真值之间存在大于、等于或小于的关系。

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
（2）互谱法估计
显然，互谱法计算比真值要小，但相位计算正确。

（3）倒置法估计
显然，倒置法求得的比真值要大，但相位计算正确。

（4）平均法估计
平均法的频响函数计算，收到两方面的污染，但偏高和偏低的估计彼此有助于相互修正，而能得到频响函数较好的估计。

2.频响函数的测量方法
（1）经典方法
对于线性时不变的单输入单输出系统，可用运动微分方程来表示输入与输出的关系为：
通过拉普拉斯变化后，得到系统传递函数：
可得频响函数
（2）实验方法
通过实测输入及输出谱求得频响函数，有：快速正弦扫描法、脉冲激励法、随机激励法。

3.频响函数的应用
描述机械结构的动态特性
1)机械导纳：
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
位移导纳：,又称为动柔度；
速度导纳：,又称为可动性；
加速度导纳：,又称为惯性。

2)机械阻抗:
位移阻抗：,又称为动刚度；
速度阻抗：,又称为阻抗；
加速度阻抗：,又称为动态范围。

综上所述，对频响函数进行识别是研究结构动态特性的基本工具和手段。

机械结构模态分析与参数识别也是以频响函数为基础，所以说频响函数在动态系统分析中占有十分重要的位置。

第8章倒谱分析及应用
倒谱是频谱的再次谱分析，用于振动、噪声源识别、机器故障预报、语音分析等。

8.1 倒谱的数学模型
倒谱有实倒谱和复倒谱两类：Real cepstrum, complex cepstrum.
（1）功率倒谱
信号()
x t的单边功率谱为()
xx
G f，实倒谱为2
()|{lg()}|
p xx
C q F G f
=，即对数功率谱的功率谱。

（2）幅值倒谱
()|{l g()}
p x x
C q F G f
=
（3）类似相关函数的倒谱
1
(){l g()}
p x x
C q F G f
-
=
（4）复倒谱
()()()
r i
X f X f jX f
=+
1
(){lg()}
c
C q F X f
-
=
倒谱中的自变量q称为倒频率，它具有与自相关函数()
x
Rτ中的自变量τ有相同的时间量纲。

8.2 倒谱解卷积
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
问题1：在设备诊断中，测得的是故障源经传输系统的响应，而不是原始的故障信号。

问题2：实际场合无法直接测量系统的输入，无法通过激励和响应来确定系统的动态特性。

倒谱具有求解卷积的特性，一定条件下能将激励的源信号或系统特性分离出来。

机械系统时域卷积：
()()()
Y t x h t d
τττ
∞
=-
⎰
傅立叶变换：()()()
Y f X f H f
=
功率谱：222
|()||()||()|
Y f X f H f
=
倒谱：121212
(){lg|()|}{lg|()|}{lg|()|}()()
y h x
C q F Y f F H f F X f C q C q
---
==+=+
在倒谱图上若能将()
x
C q与()
h
C q分离开。

典型应用：回波信号分析中提取基本波
设系统输出：
()()()
y t x t x t t
α
=++
则冲激响应：
()()()
h t t t t
δαδ
=+-()()()
y t h t x t
=*
输出的对数功率谱：
1
22
1
(1)
lg|()|lg|()|(cos)
m
m
m
Y f X f t
m
αω
+
∞
=
⎡⎤
-
=+⎢⎥
⎣⎦
∑
倒谱为：
1
121
(1)
(){lg|()|}{(cos)}
m
m
y
C q F X f F t
m
αω
+
--
-
=+
实倒谱计算：2
(){lg|{()}|}
C r DFT DFT x n
=
8.3 工程应用
（1）汽车散齿轮副振动信号的倒谱分析
（2）滚动轴承的故障诊断
8.4 典型信号的倒谱
第9章细化技术与边带识别
机器故障诊断的边带识别，结构分析中高密度区的模态分离。

9.1 复调制细化方法
这是一项行之有效的提高频率分辩率的实用技术。

211
m s
f f
f
N N N t T
∆====
∆
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
将任选频段的中心频率
f移至原点处，然后采用基带分析方法，获得细化频谱。

时域信号()
x t乘以0
2j f t
eπ
±得到：0
2
{()}()
j f t
F x t e X f f
π
±=±
9.2 高分辨率的傅立叶分析方法
基于复调制的高频率分辨率的傅立叶变换，可以指定足够的频率分辨率来分析某一宽带信号在频率轴上任何窄带内的傅立叶谱的结构。

该算法包括：数字频移、数字低通滤波、重新采样、FFT等步骤
9.3 细化相位谱
9.4 细化倒谱边带识别方法
背景：齿轮传动系统状态监测和故障诊断。

齿轮轴承是复杂的振动源，各频率成分相互调制，形成具有多族边带结构的复杂频谱，用一般谱分析技术难以凑效。

因此提出一种细化倒谱分析技术对机械传动进行边带特征的识别。

首先利用复调制频移原理获得足够高的频率分辨率的细化频谱，然后进行倒谱处理，最后在细化谱的倒谱图上，以离散谱线形式显示不同的边带族。

（1）调制边带与数学模型
齿轮振动信号的调制作用有调幅、调频和调相。

调幅振动信号()(1cos2)sin(2)
i c
x t A b f t f
ππϕ
=++
傅立叶变换：
111
()()()()
243
c c i c i
X f A f f Ab f f f Ab f f f
δδδ
=-+--+-+
调制信号的单边傅立叶谱，除啮合频率
c
f分量外，增加了()
c i
f f
+和()
c i
f f
-分量，总称为边带结构。

调制信号的能量，调制边带的间隙。

（2）细化谱的搜索法。