高三数学函数与导数试题答案及解析

高三数学函数与导数试题答案及解析
1.、设函数.
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）若对任意及，恒有
成立，求的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）依题意，知的定义域为.
当时，，.
令，解得.……2分
当时，；当时， .
又，所以的极小值为，无极大值.………4分
（Ⅱ）…………5分
当时，，令，得或，令，
得；…………6分，当时，得，令，得或，令，得；当时，.8分
综上所述，当时，的递减区间为；递增区间为.
当时，在单调递减.
当时，的递减区间为；递增区间为.…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在单调递减.
当时，取最大值；当时，取最小值.
所以
.……11分
因为恒成立，
所以，整理得.
又所以，又因为，得，
所以所以.………14分
【解析】略
2.已知，则 .
【答案】2
【解析】略
3.（本题满分14分）如图，某污水处理厂要在一个矩形的池底水平铺设污水净化管道（直角，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在上，且，设
．
（1）试将污水管道的长度表示成的函数，并写出定义域；
（2）当管道长度为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）重视三角函数的三变：三变指变角、变名、变式；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等，适当选择公式进行变形；（2）把形如化为
，可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性．
试题解析：（1）因为，（3分）
（6分）
（2），
令，（8分）
所以在上减，（10分）
所以当或时，（13分）
答：当或时，．（14分）
【考点】利用三角函数解应用题．
4.函数的零点所在区间（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，故函数的零点所
在区间为．
【考点】函数零点的判断．
5.已知函数对任意的有，且当时，，则函数的大致图像为
【答案】D
【解析】由题可知，由可得，函数为奇函数，排除选项A、B，又因
为当时，，图像是缓慢递增的，故排除选项C，选项D正确；
【考点】奇偶函数图像的对称性
6.（本小题满分10分）已知函数
（1）若直线与曲线相切，求实数的值;
（2）若，比较与的大小
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）求曲线切线的思路是：无切点的，应先设出切点坐标，然后用导数求出曲线的切
线斜率，最后由点斜式求出切线方程．设点为曲线上任意一点，可求出过点P的切线方
程为．则其与直线为同一条直线，由对应系数相等可求出k的值．
（2）通过求导数的方法得出函数的单调性，单调递增区间为，单调递减区间为．显
然当时，，整理即可．
试题解析：（1）设点为曲线的任意一点．因，所以．
所以过点P处的切线斜率为，由直线的点斜式方程得，切线方程为：
．显然其与直线为同一条直线．则，
所以．
（2）函数的导数为，显然在时函数单调递减．因，所以即，故．
【考点】导数法求曲线的切线、利用函数单调性比大小．
7.已知函数的图像过点，为函数的导函数，为自然对数的底数，若
，下恒成立，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，则，因为当时，，
所以当时，，所以函数在上是单调递增的，所以当时，
，即；当时，，即．综
上所述，不等式的解集为，故应选．
【考点】1、导数在研究函数的单调性中的应用；
8.已知函数，若与同时满足条件：①
；②，则实数a的取值范围是（）
A．（－，－1）（，2）
B．（－，－1）（0，）（，2）
C．（－，0）（，2）
D．（－，0）（0，）（，2）
【答案】B
【解析】如图1，由的图象可知，当时，，为满足条件①，可得
在上恒成立；为满足条件②，由于在上总有，故，；当时，，不满足条件；当时，考虑函数的零点，；当时，，为满足条件得解得；当时，（ⅰ）当时，，为满足条件，得
解得，；（ⅱ）当时，，为满足条件，得解得
，；（ⅲ）当时，，不满足条件．综上所述，得
，故选B．
【考点】分段函数图象、二次函数的图象和性质．
【思路点睛】先画出分段函数的图象，结合条件①，得在上恒成立，由条件②得，，对a是否得0进行讨论，当时，恒等于0，不符合题意，当
时，分和进行讨论，根据二次函数的图象讨论方程根的位置．
9.函数的定义域为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，函数的定义域应满足条件：且且，解之得：且且，所以函数的定义域为，故应选．
【考点】1、对数函数；2、函数的定义域．
10.设为自然对数的底数，则的值为．
【答案】．
【解析】因为，所以应填．
【考点】1、定积分的计算；2、分段函数．
11.定义域为的函数满足，当时，，若当
时，函数恒成立，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为当时，函数恒成立，所以．
又当时，；
当时，．
所以，即，解得，故选B．
【考点】1分段函数的值域；2恒成立问题．
12.设函数．
（1）讨论的导函数的零点的个数；
（2）证明：当
【答案】（1）当时没有零点，当时存在唯一零点；（2）详见解析．
【解析】（1）求导，讨论导数的单调性，结合图像分析可得的零点个数．（2）由（I），时可设在的唯一零点为，当时，；当时，．
从而可得函数的单调性，根据单调性可求得其最小值只需证其最小值即可．
试题解析：（1）的定义域为．
当，，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增
又
结合函数与的图像可知当时存在唯一零点．
（2）由（1），可设在的唯一零点为，当时，；
当时，．
故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值为，由于．
由于，所以．
故当．
【考点】用导数研究函数的性质．
13.分析函数＝＋的性质：
①的图象是中心对称图形；
②的图象是轴对称图形；
③函数的值域为；
④方程有两个解．
其中描述正确个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】①因为，所以函数不是奇函数，所以错误；②因为
，所以函数关于直线对称，所以正确；③由②可得，故函数的值域为，所以正确；
④令，则方程等价于，即，由③可知，故不存在，所以④错误．
【考点】1、命题的真假判断与应用；2、函数的图像与性质；3、函数的值域．
【方法点晴】本题是选择题中的压轴题，设计的知识点很多．我们在考查一个函数的时候，主要
通过函数的奇偶性、对称性、单调性来寻找突破口．本题中①利用函数的奇偶性来判断；②利用
的是对称性来判断，也就是若函数满足,则有函数关于直线对称，
这个可以作为一个结论来记忆；③利用了②的结论，通过函数对称轴来判断；④利用了③的结论
来判断，环环相扣，考查了复合函数的取值．
14.已知函数在上有最大值1和最小值0，设（
为自然对数的底数）．
（1）求的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）1，0；（2）；（3）．
【解析】（1）分三种情况讨论的最大值和最小值，首先排除两
种情况，当时，在上是减函数，∴，得的值分别为1、0；（2）利用
化归思想，原题等价，在上有解，令，则，
，，；（3）令，原方程可化为有两个不同的实数
解，，，再根据一元二次方程根的分布列不等式组求出k的范围．
试题解析：（1），
当时，在上是增函数，∴，
即，解得，
当时，，无最大值和最小值；
当时，在上是减函数，∴，
即，解得，
∵，∴舍去．
综上，的值分别为1、0．
（2）由（1）知，∴在上有解等价于
在上有解，
即在上有解，
令，则，
∵，∴，
记，∵，∴，
∴的取值范围为．
（3）原方程可化为，
令，则，由题意知有两个不同的实数解，其中，或，，
记，则得．
【考点】1、函数的单调性；2含参数不等式有解问题；3、方程根的个数以及一元二次方程根的分布．
【方法点晴】本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题．不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为
有解（即可）或转化为有解（即可），本题（2）就用了这种方法．
15.设函数．
（Ⅰ）若，函数在的值域为，求函数的零点；
（Ⅱ）若，，．
（1）对任意的,恒成立, 求实数的最小值；
（2）令,若存在使得,求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2）．
【解析】（Ⅰ）当时，，要研究函数零点需先根据函数值域求，对分类讨论，研究函数单调性及极值，写出函数值域，再根据值域是求；（Ⅱ）（1）由
，得：，，所以恒成立
，特殊化，时，，验证时，对任意的成立，所以问题
解决．（2）化简问题得．又，，
，从而，利用求解．
试题解析：（Ⅰ）当时，
①若，则恒成立，函数单调递减，
又函数在的值域为，，此方程无解．……2分
②若，则．
（i）若，即时，，此方程组无解；
（ii），即时，，所以c=3；
（iii），即时，，此方程无解．
由①、②可得，c=3．
的零点为：．
（Ⅱ）由，得：，，
又，
对任意的,恒成立．
当时，，
又时，对任意的,
，
即时，，
实数的最小值是1，即．
（Ⅲ）法1：由题意可知，
在上恒成立，
在上恒成立；
由（Ⅱ）得：在上恒成立，
．又因为当时,，
．
，
即，，，
．．
法2：，
设，则，由下图得：
，
∴，
，
．
【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、不等式的恒成立；4、函数的零点；5、参数的分类讨论．
16.奇函数的定义域为R．若为偶函数，且，则（）
A．－2B．－1C．0D．1
【答案】．
【解析】因为为偶函数，所以关于直线对称，所以，于是，令
，则；令，则；令，则
，所以，故应选．
【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的对称性．
【思路点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的对称性，属中档题．其解题的一般思路为：首先由为偶函数可得出，关于直线对称，即可得出，然后运用赋值法分别令可分别求出值，进而得出所求的值．其解题的关键是灵活运用赋值法求出的值．
17.若曲线在点处的切线方程是，则．
【答案】
【解析】在切线方程中，时，，求导，又切线的斜率为，所以，即．
【考点】导数的几何意义．
18.已知函数的导函数为，且满足，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，解得，故选C．
【考点】导数的运算．
19.曲线在点处的切线方程是，则下列说法正确的是（）
A．函数是偶函数且有最大值
B．函数是奇函数且有最大值
C．函数是偶函数且有最小值
D．函数是奇函数且有最小值
【答案】C
【解析】导数的几何意义就是在该点出切线的斜率，对函数求导，则
，解得，函数为二次函数，开口向上，有最小值，且为偶函
数．故选C．
【考点】1、导数的几何意义；2、二次函数的性质．
20.己知函数，，其中为常数，函数与轴的交点为，函数
的图象与y轴的交点为，函数在点的切线与函数在点处的切线互相平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）根据导数的几何意义分别求出在处与在处的切线的斜率，然后由两直线平行的充要条件求出的值；（Ⅱ）求导，然后由的符号求出函数的单调区间；（Ⅲ）原不等式等价于在区间上恒成立，设，求导，分、、讨论函数的单调性，从而求得实数的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）与坐标轴交点为，，
与坐标轴交点为，
解得，又，故
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
令，显然函数在区间上单调递减，且
当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅲ）原不等式等价于：在区间上恒成立．
设，则
令，
时，在区间上单调递增，
在上单调递增，
不符合题意，舍去．
当时，若，
则在上单调递增，
在上单调递减，
不符题意，舍去．
当时，在恒成立，
在上单调递减，
在上函数单调递减
,即对上恒成立，
综上所述，实数的取值范围是．
【考点】1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、不等式恒成立问题．
21.（2007春•沙坪坝区校级期末）已知方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根，则实数m的取值范围是（）
A．m≤﹣2B．m≤﹣4C．m＞﹣5D．﹣5＜m≤﹣4
【答案】D
【解析】由方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根，根据实数的性质，由韦达定理（一元二次方
程根与系数的关系）可得，x
1+x
2
＞0，x
1
•x
2
＞0，进而构造出m的不等式组，解不等式组，即可
求出实数m的取值范围．
解：若方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根x
1，x
2
，
由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得：
x 1+x
2
=﹣（m+2）＞0，x
1
•x
2
=m+5＞0
解得：﹣5＜m＜﹣2，又由△＞0得，
m＜﹣4，或m＞4，故：﹣5＜m＜﹣4
故选D
【考点】二次函数的性质．
22.已知函数，若的图象与轴正半轴有两个不同的交点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知关于的方程有两个不等的正根，
设，则，
令，得，分析可知在上单减，上单增，在处取得极小值，结合的图像可得，故选D．
【考点】1．函数的零点问题．
23.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若
，则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】当时，，满足条件；当时，，为上的单调递增函数，也满足条件；当时，，要满足条件，需，即，综上实
数的取值范围是
【考点】分段函数图像与性质
24.若命题P：所有的对数函数都是单调函数，则为（）
A．所有对数函数都不是单调函数
B．所有的单调函数都不是对数函数
C．存在一个对数函数不是单调函数
D．存在一个单调函数都不是对数函数
【答案】C
【解析】由题意得，根据命题的否定的定义，可知命题所有的对数函数都是单调函数，则
为“存在一个对数函数不是单调函数”，故选C.
【考点】命题的否定.
25.已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）设.
①若是上的增函数，求的最大值；
②是否存在，使得过点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等. 若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）①3；②存在且点为．
【解析】（1）已知图象在点处的切线方程为，说明有两个条件，一个是，一个是，由此可求得；（2）①问题可转化在上恒成立，即
在上恒成立，即，这个问题可用换元法转化为二次
函数的知识解决；②本题的实质就是求函数的对称中心，如能求得对称中心，这点就是点，如不能求出对称中心，说明不存在．求对称中心的基本方法是设对称中心为，则满足，由此恒等式可求得．即存在．
试题解析：（1）时，，，
在直线上，,即
.
（2）①，是上的增函数，
，在上恒成立，令，则，设
在上恒成立，恒成立，，实数的最大
值为；
②由，
，
，.
表明：若点为图象上任意一点，则点也在图象上，而线段的中点恒为；由此可知图象关于点对称，这也表明存在点，使得过的直线若能
与图象相交围成封闭图形，则这两个封闭图形面积相等.
【考点】导数的几何意义，导数与单调性，函数的图象的对称性．
【名师】（1）函数的图象关于直线对称对定义域的任意有；
（2）函数的图象关于点对称对定义域的任意有．
26.已知函数，则_________.
【答案】
【解析】由题意得，.
【考点】指数、对数函数的运算.
27.设函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意，恒成立，求实数的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，求得，根据导数的几何意义求得切线斜率，由直线的点斜式方
程即可求得切线方程；（2）若对任意，恒成立，分离参数可得在上恒成立，设，，利用导数研究其单调性，求得，即得实数
的取值范围.
试题解析：（1）当时，，
.
则点处的切线的斜率为.
故曲线在点处的切线方程为，即，即.
（2）的定义域为，
由题意知，在上恒成立，
即在区间上恒成立.
又，所以在区间上恒成立.
设，，则.
又令，，则.
当时，，单调递减，
所以.
即在恒成立.
所以在单调递增.
所以.
故.
【考点】导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和函数的恒成立问题.
【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和函数的恒成立问题，考查了转化的思想及函数的思想，属于中档题.求曲线上某点的切线方程只需要根据导数的几何意
义求出切线的斜率即可写出切线的点斜式方程；对于不等式在给定区间上的恒成立问题，首选的
策略是看能否分离参数，本题中因为，系数的符号是确定的，便于分离参数，把问题转
化为求定函数的最值问题，利用导数研究其单调性，求得其最大值即得实数的范围.
28.若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称
具有T性质.下列函数中具有T性质的是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A.
【考点】导数的计算，导数的几何意义
【名师】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角
函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直
线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，
降低难度.本题能较好地考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应
用等.
29.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ln（1﹣x），则函数f（x）的
大致图象为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得在[0，1）上，f（x）为减函数，且f（x）＜0，从而得出结论．
解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（1﹣x），
故在[0，1）上，f（x）为减函数，且f（x）＜0，结合所给的选项，
故选：C．
30.曲线在点处的切线方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，，曲线在点处的切线方程是,故选A.
【考点】利用导数求切线方程.
31.已知函数为常数）的图象在处的切线方程为.
（1）判断函数的单调性；
（2）已知,且,若对任意,任意与
中恰有一个恒成立, 求实数的取值范围.
【答案】（1）递减（2）
【解析】（1）由导数几何意义得，而所以，又解得（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：
，，由于在上单调递减,所以
，再利用变量分离转化为对应函数最值，，易得，；由于恰有一个恒成立,所以一真一假，解得实数的取值范围为
试题解析：（1）由的定义域为,可得,
由条件可得,把代入可得,
,在上递减.
（2）由（1）可知,在上单调递减,在上的最小值为,最大值为,只需,即，,对恒成立或对
恒成立, 令,则,令可得.而
恒成立,当时,单调递减；当时,单调递增.
最大值为,而,显然,
在上最大值为.又或,即或,
实数的取值范围是.
【考点】导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立
【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
32.定义在上的偶函数，对于，有，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因,故在上是减函数,故，应选B。

【考点】函数的基本性质及运用。

33.已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间为；（2）.
【解析】（1）对函数求导,利用函数的单调性与导数关系,解不等式可得单调增区间,注意对进行分类讨论；（2）构造函数对进行分类讨论.讨论的标准由导函数进行确定,可分为,将关于的不等式恒成立,转化为关于的不等式恒成立,解不等式可得实数的范围.
试题解析：
（1），
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，
当时，函数的单调递增区间为.
（2）令，，
当时，不等式在时不恒成立；
当时，要使不等式在时恒成立；
则且，解得，
当时，要使不等式在时恒成立，
则且解得：不存在.
当时，要使不等式在时恒成立，
则且且解得：不存在.
当时，要使不等式在时恒成立，
则且解得：不存在.
综上：.
【考点】1.函数的单调性与导数间的关系；2.不等式；3.分类讨论.
34.设，现把满足乘积为整数的叫做“贺数”，则在区间
内所有“贺数”的个数是（）
A．9B．10C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，即，，，则，当为的整数次幂时，为整数，则区间内，当时，此时为整数，
所有的内所有“贺数”个数个，故选A.
【考点】对数的运算性质.
【方法点晴】本题主要考查了对数的运算性质及数等比列的性质，其中涉及到对数的运算性质，
将化为，在利用对数的运算求解是解答的关键，解答时当为的整数次幂时，为整数，要注意在区间内所有“贺数”，确定的个数，着重考查了分析问题和
解答问题的能力.
35.已知函数，当时，的取值范围为，则实数的取值
范围是 .
【答案】[－2，8]
【解析】，；
由，所以当时，；当时，；当时，；因此实数的取值范围是
【考点】利用导数研究函数值域
【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的
内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
36.直线分别与曲线交于点，则的最小值为（）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【解析】令，令，在上为增函数，
即在区间成立，而的导数恒为，也就是说，从起，越来越陡，保持匀速递增，两个图象的水平距离越来越大，故当时，取得最小值为
．
【考点】函数导数与不等式，数形结合的数学思想．
【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，数形结合的数学思想方法．一开始，我们可以先利用
导数画出两个函数的图象．对比这两个图象间的水平距离，会发现可以先求出函数的切线与平行的那条的方程，由此就可以求出两者水平距离的最小值．由于是匀速递增的，而
在增加得越来越快，从图象上看出，两种水平距离越来越大．
37.如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：
①函数y=sinx具有“P（a）性质”；
②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1；
③若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调
递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；
④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，函数y=f（x）是周期函数．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．
【答案】①③④
【解析】①∵，∴函数具有“性质”；∴①正确；②∵若奇函数具有“性质”，∴，∴，周期为，∵，
，∴②不正确；③∵若函数具有“性质”，∴，∴关于对称，即，∵图象关于点成中心对称，∴，即，∴，为偶函数，∵图象关于点成中心对称，且在
上单调递减，∴图象也关于点成中心对称，且在上单调递减，由偶函数的对称得出：
在上单调递增；故③正确；④∵“性质”和“性质”，∴，
，∴为偶函数，且周期为，故④正确．
【考点】函数奇偶性单调性周期性．
38.已知函数f（x）=e|x|+x2，（e为自然对数的底数），且f（3a﹣2）＞f（a﹣1），则实数a的
取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】易知函数是偶函数，在上为增函数，由可化为
，所以，即，解得．故选A．
【考点】函数的奇偶性与单调性．
39.若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数是减
函数，则____________．
【答案】1
【解析】当时，是增函数，，则，此时，为增函数，不合题意，当时，是减函数，，，则，此时，为减函数，符合题意，所以．
【考点】函数的单调性．
40.古代数学著作《张丘建算经》有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日
织九匹三丈，问日益几何？”意思是：有一女子善于织布，织得很快，织的尺数逐日增多.已知她
某月的第一天织布5尺，一个月共织9匹3丈（1匹=4丈，1丈=10尺），问这女子平均每天多
织多少布？若一个月按30天计算，则该女子平均每天多织布的尺数为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意知：每天的织布量组成等差数列，其中，，设公差为，则
，解得,故选C．
【考点】等差数列的前项和．
41.设函数．
（1）当时，函数与的图象有三个不同的交点，求实数的范围；（2）讨论的单调性．
【答案】（1）；（2）当时，函数在上单调递减，当时，函数在上递减，在上递增，在上递减；当时，函数
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
【解析】（1）由
，令，利用导数工具
；（2）求导得，然后对、和分三类进
行讨论．
试题解析：（1）当时，，
故，
令，
则，
故当时，；当时，；当时，；
，故．
（2）因为，所以
．
当时，恒成立，故函数在上单调递减；
当时，时，时，，当时，，
故函数在上递减，在上递增，在上递减；当时，
时，时，，当时，；
故函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
【考点】导数及其应用．
【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想．利用导数处理不等式问题．在
解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题．常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的
应用．
42.已知上的不间断函数满足：①当时，恒成立；②对任意的都有
.函数满足：对任意的，都有成立，当时，
,若关于的不等式，对于恒成立，则的取值范围为
____________.
【答案】
【解析】由题意得，因为函数满足：当时，恒成立且对任意都有，则函数为上的偶函数且在上为单调递减函数，且有，所以在上恒成立对恒成立，只要使得定义域内，
恒成立，由于当，，求导
，该函数过点，，，且函数在处取得极大值，在处取得极小值，又由于对任意的都有
成立，则函数为周期函数且周期为，所以函数在的最大值为，所以令，解得：或.
【考点】1.利用导数研究函数的单调性，最值；2.函数的奇偶性，周期性；3.函数不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，最值，函数的奇偶性，周期性，函
数不等式恒成立问题，属于难题，此类复合函数的问题，主要是要将内层函数和外层函数的性质
均弄清楚，由题意可知，在为单调递减的偶函数，而则是周期为的周期函数，由三次函数的求导可知，在的最值，结合外层函数的性质，即可得到，
解出即可，结合函数的单调性将不等式具体化是解此类题目的关键.
43.曲线在点处的切线方程是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，则，则所求切线方程为.。