人教A版数学选修4第二学期期末考试高二(文科)数学试卷.docx

高中数学学习材料
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第二学期期末考试高二（文科）数学试卷
第I 卷（60分）
一、
选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．已知集合{}
320A x R x =∈+>,{}
(1)(3)0B x R x x =∈+->,则A
B =（ D ）
A ．(,1)-∞-
B ．2
(1,)3
--
C ．2(,3)3
-
D ．(3,)
+∞
2.命题“∈∃x R,0123=+-x x ”的否定是（ D ） A ．∈∃x R,0123≠+-x x B ．不存在∈x R, 0123≠+-x x C ．∈∀x R,0123=+-x x
D ．∈∀x R, 0123≠+-x x
3.设集合A={－1, 0, 1}，集合B={0, 1, 2, 3}，定义A ＊B={(x, y)| x ∈A ∩B, y ∈A ∪B}，则A ＊B 中元素个数是（ B
） A.7
B.10
C.25
D.5
2
4. 设函数x x x f 6)(2-=，则)(x f 在0=x 处的切线斜率为（ D ） （A ）0
（B ）-1 （C ）3
（D ）-6
5.函数21
()4ln(1)
f x x x =
+-+的定义域为 （ B ） A ．[2,0)(0,2]- B ．(1,0)(0,2]- C ．[2,2]- D ．(1,2]-
6.设函数211()21x x f x x x
⎧+≤⎪
=⎨>⎪
⎩,则((3))f f =（ D ）
A ．
15
B ．3
C ．
23
D ．
139
7.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为
（ D ）
A ．1y x =+
B ．2
y x =-
C ．1y x
= D ．||y x x =
8.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=)
0(12)
0(2x x x y x 的图象大致是（ B ）
9. 已知()f x 是定义在实数集R 上的增函数，且(1)0f =，函数()g x 在(,1]-∞上为增函数，在[1,)+∞上为减函数，且(4)(0)0g g ==，则集合{|()()0}x f x g x ≥= （ A ）
（A ） {|014}x x x ≤≤≤或（B ）
{|04}x x ≤≤（C ）{|4}x x ≤ （D ） {|014}x x x ≤≤≥或 10.函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区是（ D ）
A.(－∞,0)
B. (0,＋∞)
C. (－∞,－3)和(1,＋∞)
D. (－3,1) 11.设函数f(x)=
2
x
+lnx 则 （ D ）
A ．x=
1
2为f(x)的极大值点 B ． x=
1
2
为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点
12.设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数
()y xf x '=的图象可能是（ C ）
第Ⅱ卷(90分)
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13.函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是___(-0.5，∞)_______
14.已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .,则=-)1(g ___3____ . 15. 已知函数2
()4ln 6f x x ax x b =+-+（a ，b 为常数），且2x =为()f x 的一个极值点．则求a 的值为＿＿1＿＿
16.函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = 4 ． 三、解答题：（解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．共70分） 17．（本小题满分10分）
计算：（1）00
2
1
)51(1
212
)4(2
---+
-+
-
（2）9
1log 161log 25log 53
2∙∙
18．（本小题满分12分）设函数)32lg ()(-=x x f 的定义域为集合A ，函数
11
2
)(--=
x x g 的定义域为集合B .
求：（I ）集合;,B A （II ）B C A B A U ,.
19．（本小题满分12分）
已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )．
(1)若函数f (x )有三个零点，并且已知x ＝0是f (x )的一个零点．求f (x )的另外两个零点； (2)若函数f (x )是偶函数，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1.求f (x )在[－4,0]上的解析式． 20．（本小题满分12分）
设函数f (x )＝ax 3
＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12. (1)求a ，b ，c 的值；
(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值．
21．（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数a
b x f x x
+-=22)(是奇函数.
(1)求b a ,的值;
(2)用定义证明)(x f 在()+∞∞-,上为减函数.
(3)若对于任意R t ∈,不等式0)2()2(2
2<-+-k t f t t f 恒成立,求k 的范围
22．（本小题满分12分）已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-
∈且在]2
,0[π
上的最大值为3
2
π-, (1)求函数()f x 的解析式;
(2)判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数,并加以证明.
数学答案
1-12: DDBDB DDBAD DC
13. (-0.5，∞) 14. 3 15. 1 16. 4 17．解： （Ⅰ） =11
212
12
2
1--+
+
-
=1122
22
12
1-+++--
=2222
1+⋅-
=2222=+
（Ⅱ） =2
543223log 2log 5log --∙∙
=
165
lg 3
lg )2(3lg 2lg )4(2lg 5lg 2=-∙-∙
18.解：（1）由函数)32lg()(-=x x f 有意义，得：032>-x ， 即23>
x ，所以}2
3|{>=x x A ， 由函数11
2
)(--=
x x g 有意义，得：
0112≥--x ， 即
3101
3
013≤<⇔≤--⇔≥--x x x x x 所以}31|{≤<=x x B ；
（2）由（1）得，}31|{>≤=x x x B C 或 所以}32
3
|
{}31|{}23
|{≤<=≤<>=x x x x x x B A }2
3
1|{>≤=x x x B C A U 或
19.解析 (1)由题意，可知f (2＋x )＝f (2－x )恒成立，即函数图象关于x ＝2对称．又因为f (0)＝0,0关于x ＝2对称的数为4，得f (4)＝f (0)＝0.
∴4也是f (x )的一个零点．图象关于x ＝2对称且有三个零点，则只有f (2)＝0. ∴f (x )另外两个零点为2,4.
(2)设x ∈[2,4]，则该区间关于x ＝2对称的区间为[0,2]．x 关于x ＝2对称的点为4－x ，即4－x ∈[0,2]，4－x 满足f (x )＝2x －1，得f (x )＝7－2x .
∴在x ∈[0,4]时，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1，x ∈[0，2]，
7－2x ，x ∈[2，4].
又∵f (x )为偶函数，可得x ∈[－4,0]的解析式为
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
7＋2x ，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0].
20、解 (1)∵f (x )为奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0， ∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12，
又直线x －6y －7＝0的斜率为1
6， 因此，f ′(1)＝3a ＋b ＝－6， ∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0.
(2)单调递增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)． f (x )在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8 2.
21.解：（1）.1,0)0(,R )(==∴b f x f 上的奇函数为
.1),1()1(=-=-a f f 得又 经检验1,1==b a 符合题意. (2)任取2121,,x x R x x <∈且
则)12)(12()12)(21()12)(21(12211221)()(211221221121-------=
-----=-x x x x x x x x x x x f x f =)
12)(12()
22(221
12++-x x x x .
R )(,0)()(0)12)(12(,022,21212121上的减函数为又x f x f x f x x x x x x ∴>-∴>++∴>-∴<
(3) R t ∈,不等式0)2()2(2
2<-+-k t f t t f 恒成立,
)2()2(2
2k t f t t f --<-∴
)(x f ∴为奇函数, )2()2(22t k f t t f -<-∴ )(x f ∴为减函数, .2222t k t t ->-∴
22.解:
()(sin cos ),(0,),sin cos 02
f x a x x x x x x x π
'=+∈∴+>
当0a =时,3
()2
f x =-不合题意;
当0a <时,()0f x '<,()f x 单调递减,max 3
[()](0)2f x f ==-,不合题意;
当0a >时,()0f x '>,()f x 单调递增,max 33
[()]()2222
f x f a πππ-==-=
1a ∴=,所以综上3
()sin 2
f x x x =-
(2)()f x 在(0,)π上有两个零点.证明如下: 由(1)知3()sin 2f x x x =-,33
(0)0,()0222
f f ππ-=-<=
> ∴()f x 在[0,]2π
上至少有一个零点,又由(1)知()f x 在[0,]2
π
上单调递增,
故在[0,
]2π
上只有一个零点,当x 2ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时,令()()sin cos g x f x x x x '==+, 10)02
g g π
ππ=>=-<（），（,
()
g x 在
2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上连
续,∴2
m π
π⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，,()0g m =
'
)2cos -sin 0g x x x x =<（,∴()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减,当2x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时,
()()0g x g m >=,
'
)0f x >（,()f x 递增,∴当(,)2m m π∈时,3
()()02
2
f x f ππ-≥=
>
∴()f x 在(,)m π上递增,∵()0,()0f m f π><
∴()f x 在(,)m π上只有一个零点,综上()f x 在(0,)π上有两个零点.。