流体力学3-4伯诺里方程.

hl' gdQ
A2
2
p2
2
u2 dA2
z2
( z1
p1
g
u12 2g
)
gu1dA1
(z2
p2
g
u22 2g
)
gu2
dA2
hl' gdQ
总流是由无数元流构成的，上式对总流过流断面积分， 便得到单位时间通过总流两过流断面的总能量关系为
势能项
动能项
A1
z1
p1
g
gu1dA1
A1
u12 2g
gu1dA1
#实际动能与按断面平均流速计算的动能的比值
u2 gudA v2 gQ
A 2g
2g
v2 单位重量流体的平均动能（流速水头）
2g
5、水头损失项积分
hl ' gdQ hl gQ
Q
➢ 该式是单位时间总流由1-1至2-2断面的机械能损失
➢ 其中将hl定义为总流单位重量流体由l-l至2-2断面的平均 机械能损失，称总流的水头损失
第四节 伯诺里方程Bernoulli’s equation
一、理想流体元流伯诺里方程
1、在运动的理想流体中，取微元平行六面体
2、分析受力和运动情况 表面力：理想流体内不存在切应力，只有压强
PM
pM dA ( p
dx 2
p x
)dydz
z
PN
pN dA ( p
dx 2
p x
)dydz
p
p x
dx 2
dx
du y dt
dy
du z dt
dz
1、质量力只有重力：X=Y=0，Z=-g
Xdx Ydy Zdz gdz
2、不可压缩流体ρ=const 、恒定流动p=p(x,y,z)
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
d
p
3、恒定流流线与迹线重合
dx uxdt dy uydt dz uzdt
(b)
Z2 0-0
Q K h 0.980.009 0.6 6.83 l/s
用U形水银 压差计测得
z1
p1
g
z2
p2
g
p
1hp
12.6hp
说明： K 对给定管径是常量
随流动情况和管道收缩的几何形状而不同
拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙 吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开？为什么？
❖ 粘性流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程不守 恒而是减少，总水头线不是水平线，而是沿程下降线
❖ 设hl‘为实际流体元流单位重量流体由过流断面1-1运动 至过流断面2-2的机械能损失，又称为元流的水头损失
❖ 根据能量守恒原理
z1
p1 ρg
u12 2g
z2
p2 ρg
u22 2g
hl '
五、实际流体总流的伯诺里方程
的差异而引入的修正系数，称为动能修正系数
1 2
A
u3dA
1 2
v3
A
Au3dA v3 A
实际动能________ 断面平均速度计算的动能
关于动能修正系数α的说明：
# α是一无量纲数，取决于总流过水断面上的流速分布， 分布越均匀， 值越小，越接近于1.0
# 层流=2.0紊流=1.05~1.1 一般工程计算中常取 =1.0
du x dt
dx
du y dt
dy
du z dt
dz
d
u
2 x
u
2 y
2
u
2 z
d
u2 2
代回原式
gdz
d
p
d
u2 2
积分得 gz p u 2 c'
或
p u2 z c
2
g 2g
z z p1
u12
1 g 2g
p2
u22
2 g 2g
上式被称为理想流体元流伯诺里方程 ，该式由瑞士物理学家 D.Bernoulli于1738年首先推出，称伯诺里方程 。
0
0
0
0
2 v22
2g
hl
H 2-2 V2
取 α =1.0 v2 2g(H hl ) 4.43m/s
Q v2 A2 0.035m3/s
例2、文丘里Venturi流量计(如图a) (组成、种类) ，进口直 径d1 =100mm，喉管直径d1= 50mm，实测测压管水头差 h=0.6m（或水银压差计的水银面高差hp=4.76cm），流 量计的流量系数μ=0.98，试求管道输水的流量。
4、 列能量方程解题 注意与连续性方程的联合使用。
例1：用直径d =100mm的水管从水箱引水。水箱水面与管
道出口断面中心的高差H =4m保持恒定，水头损失
hl=3m水柱。试求管道的流量。
解：1、选基准面—Z的取值
1-1
为便于计算，选通过管道出口断面
中心的水平面为同一基准面0 – 0 H
2、选计算断面— 解题关键
质量力：
A'
D'
dz B'
M p(x,y,z) N
dy
D
O’ dx
C' C
p
p x
dx 2
A
B
x
FBX Xdxdydz
o
y
3 由牛顿第二定律
Fx
m
du
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
dxdydz
dux dt
化简得
X 1 p du x
x dt
同理
z2
p2
g
2v22
2g
hl
❖以断面的平均流速V，代替元流中的点流速u
❖以平均水头损失hl，代替元流的水头损失h´l
❖各项反映的是整股水流的能量代替某一元流的
能量，总流方程中的各项均为平均意义
8、条件扩展
# 流量沿程变化
1
V1
2
V2
2 3
1
gQ1(z1
p1
g
1v12
2g
)
3
V3
gQ2 (z2
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hl
6、总流伯诺里方程的适用条件
❖恒定流 ❖质量力只有重力 ❖不可压缩流体
引自实际流体元流的伯努利方程
❖所取过流断面为渐变流断面； ❖两断面间无分流和汇流。
7、讨论元流、总流伯诺里方程的区别
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hl
'
z1
p1
g
1v12
2g
测压管水头
总势能
流速高度（速度水头）
动能
总水头
机械能
总水头线是水平线
机械能守恒
毕托管(皮托管Pitot)测点流速
当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向两边（或四周）分流时， 在物体表面上受水流顶冲的A点流速等于零，称为滞止点（或驻 点）。在滞止点处水流的动能全部转化为压能。毕托管就是利用这 个原理制成的一种量测流速的仪器(书43页图3-15)。
1、恒定总流，任取元流
设元流流量为dQ=u1dA1=u2dA2，则
gdQ gu1dA1 gu2dA2
P1 u1 dA1
A1
1 1
z1
实际流体元流的伯诺里方程
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hl
'
( z1
p1
g
u12 2g
) gu1dA1
(z2
p2
g
u22 2g
) gu2dA2
g
2
v
2 2
2g
hl
式中 +Hm ——单位重量流体通过流体机械获得的机械能， 如水泵的扬程；
-Hm—单位重量流体给予流体机械的机械能，如水 轮机的作用水头
六、气流的伯努利方程
a
2
1
p2
p1 1
2
外部空
z1
z2
气密度
气流密度
p1
12
2
(a
) g ( z2
z1)
p2
22
2
pl
静压
动压
压强损失
全压
u0
A uA =0
H pA u2
g 2g
Hp
pA
g
u2 h 2g
h
Hp
B
H
u
A
A点—迎流孔（测速管） B点—侧面顺流孔（测压管）
u
2gh ⊿h测速管与测压管的液面差
法国人用一根玻璃 管测塞纳河流速
四、实际流体元流的伯诺里方程
❖ 实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力作 功，使流体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失
➢ 实际是单位重量流体克服流动阻力所做的功。
P1
A1
1
u1
dA1
1
z1
A2
2
p2
2
u2 dA2
z2
实际流体总流的伯诺里方程
z1
p1
g
gQ1
1v12
2g
gQ1
z2
p2
g
gQ2
2v22
2g
gQ2
hl gQ
若两断面间无分流及汇流Q1=Q2=Q，以ρgQ除上式得
z1
p1
g
1v12
•靠拢；流速增大、压强降低
End
说明：#上述结论只适用于渐变 流或均匀流同一过水断面
上的各点，对不同过水断 面，其单位势能往往不同
弯管速度分布
#急变流时，流线的曲率 较大，沿垂直流向方向n 的加速度不能忽略
直管流速分布
3、势能项积分
控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均
匀流断面上 z p const
g
A
z
p
g
gudA
z
p
g
g
udA
z
p
g
gQ
A
z
p
g
gudA
z
p
g
gQ
4、动能项积分 Kinetic Energy
u2 gudA u3 gdA
A 2g
A 2g
各点u不同，引入修正系数，积分按断面平均速度v计算
u3 gdA v3 gA v2 gQ
A 2g
2g
2g
α是为修正以断面平均速度计算的动能与实际动能
应用条件：恒定流 不可压缩流体 质量力仅重力 微小流束（元流）
三、理想流体元流伯诺里方程的物理意义与几何意义
z mgz mg
hp
p
g
z p
g
u2 1 mu2
2g 2 mg
z p u2
g 2g
z p u2 c
g 2g
几何意义
物理意义
位置高度（位置水头） 位置势能（位能）
测压管高度(压强水头) 压强势能(压能)
x dt
Y 1 p duy
y dt
Z 1 p duz
z dt
(
Xdx
Ydy
Zdz)
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
然后引入特定条件进行积分
( Xdx
Ydy
Zdz)
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
du x dt
Y 1 p duy
y dt
Z 1 p duz
z dt
上式即理想流体运动微分方程式，由欧拉于1755年导 出,又称欧拉运动微分方程式，是控制理想流体运动的基
本方程式
二、理想流体运动微分方程 的伯诺里积分
将理想流体运动微分方程 各式分别乘以沿流线的坐标增
量dx，dy，dz，然后相加
X 1 p dux
p2
g
2v22
2g
hl1,2 )
gQ3 (z3
p3
g
3v32
2g
hl1,3 )
# # 沿程有能量输入或输出
当两过流断面间有水泵、风机或水轮机等流体机械时， 存在能量的输入或输出 时，要根据能量守恒原理，计入 单位重量流体经流体机械获得或失去的机械能
z1
p1
g
1v12
2g
Hm
z2
p2
水头损 失项
z2 A2
p2
g
gu2dA2
A2
u22 2g
gu2dA2
hl
Q
' gdQ
2、渐变流Gradually Varied Flow和急变流
渐变流: 流线近于平行直线的流动, 过水断面近似为平面， 渐变流的极限为均匀流；否则为急变流
z p const
g
渐变流特征：在渐变流同一过水断面上，各点动压强按静 压强的规律分布
解：选水平基准面O-O，选收缩段进口前断面和喉管断面为l-1、2-
2计算断面，两者均为渐变流过流断面，计算点取在管轴线上。列
伯诺里方程为
(a)
z1
p1
g
1v12
2g
p1/ρg
h
z2
p2
g
2v22
2g
hl
z1
p1
g
v12 2g
z2
p2
g
v
2 2
2g
d1
1-1 Z1
0-0
2-2
d2
p2/ρg Z2
应选在渐变流断面，并使其中一个含 已知量最多，另一个含待求量
0—0
2-2 V2
3、选计算点
管流——轴心点 明渠——水面上
z1
p1 ρg
α1v12 2g
z2
p2 ρg
α 2v22 2g
hl
1-1
z1
p1 ρg
α 1v12 2g
z2
p2 ρg
α
2v
2 2
2g
hl
将各量代入总流伯诺里方程
0 —0
H
z1
p1
g
v12 2g
z2
p2
g
v
2 2
2g
移项
v
2 2
2g
v12 2g
z1
p1
g
z2
p
g
补充连续性方程 v1 A1 v2 A2
代入前式，整理得
v2
A1 A2
v1
d1 d2
2 v1
v1
1
d1 d2
4
1
2g
z1
p1
g
z2
p2
g
理论流量为 Q0 v1A1
1 4
d12
d1
d2
4
1
2g
z1
p1
g
z2
p2
g
令
K
1 4
d12
2g
d12
d
2 2
2
1
K——称为仪器常数，由流量计的结构尺寸决定