苏教版高二数学选修4-5 5.1 不等式的基本性质 学案

5.1 不等式的基本性质
自主整理
1.两个实数的大小关系:
a ＞
b ⇔a-b______________0;
a=b ⇔a-b______________0;
a ＜
b ⇔a-b______________0.
2.不等式的基本性质:
(1)a ＞b ⇔b______________a;
(2)a ＞b,b ＞c ⇒a______________c;
(3)a ＞b ⇒a+c______________b+c;
(4)⇒⎭⎬⎫>>0c b a ac______________bc,⇒⎭
⎬⎫<>0c b a ac______________bc; (5)a ＞b ＞0⇒a n ______________b n
(n∈N ,且n ＞1); (6)a ＞b ＞0⇒n a ______________n b (n∈N ,且n ＞1).
高手笔记
1.实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是推导不等式性质的依据.与等式相比,主要区别在数乘这一性质上,对于等式a=b ⇒ac=bc,其中c 可取任意实数,而对于不等式a ＞b,两边同乘c 之后,ac 与bc 的大小关系就需对c 加以讨论确定.
2.学习不等式的性质应注意三个方面的问题:
(1)注意区分不等号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”的含义，准确地表述不等式.
(2)不等式的传递变形中应注意不等号方向的一致性.
(3)适当地放大或缩小是不等式变形的关键.
3.不等式的一些性质在应用时可以适当延伸,如将“＞”改为“≥”,“＜”改为“≤”，将正数改为非负数等.如＞b≥0,c＞0⇒ac ＞bc 等,而且还可推证出其他一些结论性质,如a ＞b,c ＞d ⇒a+c ＞b+d;a ＞b≥0,c＞d≥0⇒ac ＞bd 等.
4.区分“⇒”和“⇔”,即“推出关系”和“等价关系”,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”.如a ＞b,c ＞0⇒ac ＞bc,但ac ＞bc 不一定推出a ＞b,c ＞0,有可能a ＜b,c ＜0.
5.文字语言翻译成数学符号要准确,“大于”⇔“＞”,“小于”⇔“＜”，“至多”“不多于”“小于等于”⇔“≤”,“至少”“不少于”“大于等于”⇔“≥”. 名师解惑
使用不等式的性质时应注意哪些问题?
剖析:(1)不等式的性质都可由两个实数具有的性质推得，在使用时，一定要弄清它们成立的前提条件,例如,在应用传递性时,如果不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的,如a≤c,c＜b ⇒a ＜b.
(2)在乘法法则中,要特别注意c 的符号,如果不确定则需讨论,如当c≠0时,有a ＞b ⇒ac
2＞bc 2,但如果缺少条件c≠0,则a ＞b ⇒ac 2＞bc 2就是错误的,只能得到ac 2≥bc 2(当且仅当c=0时取“=”).
(3)a ＞b ＞0⇒a n ＞b n 成立的条件“n∈N 且n ＞1”不能省略.假设去掉会出现错误,如
n=-1,a=3,b=2,则3-1＞2-1与事实31＜2
1矛盾. 总之,要正确使用不等式的性质进行变形,需注意不等式性质成立的条件,条件不同时,得到
的结论有可能不同.
讲练互动
【例1】若a 、b 、c∈R ,a ＞b,则下列不等式成立的是( ) A.
a 1＜
b 1 B.a 2＞b 2 C.12+
c a ＞1
2+c b D.a|c|＞b|c| 解析:A 中a 1-b 1=ab a b -,由a ＞b 可以确定b-a ＜0,但不能确定ab 的符号,∴无法判定.B 中需在都是正数的前提下成立.
C 中∵c 2+1≥1＞0,∴1
12+c ＞0.在a ＞b 两边同乘一正数,方向不变,∴C 成立.而D 中|c|≥0,当c=0时,a|c|=b|c|,D 不成立.
答案:C
绿色通道
解答有关不等式性质的选择题,一是利用不等式相关的性质推导,要特别注意不等式变号的因素及不等式的使用条件是否具备;二是可用特殊值法或排除法解答.
变式训练
1.如果a 、b 、c 满足c ＜b ＜a,且ac ＜0,则下列不一定成立的是( )
A.ab ＞ac
B.c(b-a)＞0
C.cb 2＜ab 2
D.ac(a-c)＜0
解法一:∵c＜b ＜a 且ac ＜0,∴c＜0,a ＞0.
A 中b ＞c,a ＞0⇒ab ＞ac 成立.
B 中∵b＜a,∴b -a ＜0.
又∵c＜0,∴(b -a)c ＞0成立.
C 中∵b 2≥0,当b=0时,cb 2=ab 2,∴C 项不一定成立.
D 中a ＞c,∴a -c ＞0.ac ＜0,∴ac(a -c)＜0成立.
解法二:取c=-1、b=0、a=1,分别代入A 、B 、C 、D 中验证,可知C 不成立.
答案:C
【例2】已知a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,求证:d a ＞c
b . 分析:观察要证的不等式,联系性质(6)可知关键是证明
d a ＞c b .为此需先证d 1＞c 1. 证明:∵c＞d ＞0,∴cd＞0,c-d ＞0,cd
1＞0. ∴d
1-
c 1=dc
d c -＞0. ∴d 1＞c
1＞0. ∵a＞b ＞0,∴d a ＞c
a ＞0. 又∵a＞
b ＞0,
c 1＞0,∴c a ＞c b ＞0. ∴
d a ＞c
b ＞0.∴d a ＞
c b .
绿色通道
根据不等式的性质证明简单的不等式,可观察要证的不等式的结构,联想与之有联系的不等式的性质或两个实数的大小关系进行变形运算.
变式训练
2.已知a ＞b ＞0,c ＜d ＜0,e ＜0,求证:
d b
e c a e ->-. 证明:∵c＜d ＜0,∴-c ＞-d ＞0.
∵a＞b ＞0,∴a -c ＞b-d ＞0. ∴)
)(()())(()()(d b c a d c a b e d b c a e c a d b e d b e c a e ---+-=-----=---. ∵a -c ＞b-d ＞0,
∴a -c-b+d ＞0.∴b -a+c-d ＜0.
∵e＜0,∴e(b -a+c-d)＞0. ∴)
)(()(d b c a d c a b e ---+-＞0. ∴c a e -＞d
b e -成立. 【例3】若a 、b 、
c 、d∈R +,且a ＞c+d,b ＞c+d,求证:ab ＞ad+bc,ab ＞ac+bd.
分析:由于a ＞c+d,b ＞c+d,但a 、b 的大小关系不定,可分三种情况讨论.
证明:∵a、b 、c 、d∈R +,a ＞c+d,b ＞c+d,
(1)当a ＞b ＞c+d 时,ab ＞a(c+d)=ac+ad ＞ac+bd,
即ab ＞ac+ad ＞bc+ad 成立.
(2)当b ＞a ＞c+d 时,ab ＞b(c+d)=bc+bd ＞bc+ad,
即ab ＞bc+ad 成立.
由ab ＞b(c+d)=bc+bd ＞ac+bd,
得ab ＞ac+bd 成立.
(3)当a=b ＞c+d 时,ab ＞a(c+d)=ac+ad=ac+bd=bc+ad,
即ab ＞ac+bd=bc+ad 成立.
综上,ab ＞ad+bc,ab ＞ac+bd 成立.
绿色通道
证明不等式,要多观察结构,灵活地进行变形,情况不确定时,可进行分类讨论. 变式训练
3.比较x 3+11x 与6x 2+6的大小.
解:∵x 3+11x-(6x 2+6)=x 3-6x 2+11x-6
=x 3-3x 2-3x 2+11x-6=x 2(x-3)+(-3x+2)(x-3)
=(x-3)(x 2-3x+2)=(x-3)(x-2)(x-1),
当x ＜1时,x-1＜0,x-2＜0,x-3＜0,
∴(x -3)(x-2)(x-1)＜0.
∴x 3+11x ＜6x 2+6.
当1＜x ＜2时,x-1＞0,x-2＜0,x-3＜0,
∴(x -3)(x-2)(x-1)＞0.
∴x 3+11x ＞6x 2+6.
当2＜x ＜3时,x-1＞0,x-2＞0,x-3＜0,
∴(x -3)(x-2)(x-1)＜0.
∴x 3+11x ＜6x 2+6.
当x ＞3时,x-1＞0,x-2＞0,x-3＞0,
∴(x -3)(x-2)(x-1)＞0.
∴x 3+11x ＞6x 2+6.
当x=1或x=2或x=3时,(x-1)(x-2)(x-3)=0.
∴x 3+11x=6x 2+6.
综上,当x ＜1或 2＜x ＜3时,x 3+11x ＜6x 2+6;
当1＜x ＜2或x ＞3时,x 3+11x ＞6x 2+6;
当x=1或x=2或x=3时,x 2+11x=6x 2+6.
【例4】已知6＜x+y ＜9,-1＜x-y ＜5,求2x+3y 的范围.
分析:已知条件为x+y 和x-y 的范围,需将2x+3y 用已知条件表示出 ,再用待定系数法确定. 解:设2x+3y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y,
∴⎩⎨⎧=-=+.3,2n m n m ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==.21,25n m ∴2x+3y=
25(x+y)-2
1(x-y). ∵6＜x+y ＜9,∴15＜25(x+y)＜2
45. ∵-1＜x-y ＜5,∴-25＜-21(x-y)＜2
1. ∴225＜25(x+y)-2
1(x-y)＜23, 即225＜2x+3y ＜23. 黑色陷阱
本题中所求量的范围需用已知量表示出 ,采用整体代换的思想,即弄清所求量与已知量
之间的关系.若由⎩⎨⎧<-<-<+<,51,96y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<,52
1,725y x 再得2x+3y 的范围为(213,29),这样就在变化过程中扩大了范围,出现错误.
变式训练
4.若已知二次函数f(x)的图象过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(-2)的范围.
解:设f(x)=ax 2+bx,则f(1)=a+b,f(-1)=a-b,f(-2)=4a-2b.
设m(a+b)+n(a-b)=f(-2)=4a-2b,
∴⎩⎨⎧-=-=+.2,4n m n m ∴⎩⎨⎧==.
3,1n m
∴f(-2)=f(1)+3f(-1).
∵1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,∴6≤f(-2)≤10.。