复变函数-清华大学精品PPT课件

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例 1 .设 z 1 1 ,z 2 i,则 z 1 z 2 i
A 1 r g 2 m zm 0 , 1 , 2 ,
Ar2 g 2z 2n n0,1,2,
A(z r1z2 g )22 k
k0 , 1 ,2 ,
代 入 3 2 上 m n 式 2 k
2
2
要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.
•在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清 楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时 期人们把复数看作不能接受的“虚数”
•直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意 义和物理意义，澄清了复数的概念
•应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些 问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和 发展.
•闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域, 记为D. 有界区域与无界区域 若存在 R > 0, 对任意 z ∈D, 均有 z∈G={z | |z|<R}，则D是有界区域；否则无界.
zz0 r 表示以 z0 为圆,点 以r为半径的圆内所. 有
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Rze,Im z表示分y别 轴x平 和 轴行 的. 于 直
特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
定义
棣模佛(De Moivre)公式.
z n
1 zn
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由定义 zn得 rnein
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3.复数的方根（开方）——乘方的逆运算
问题 给定复数z=re i ，求所有的满足ωn=z 的
复数ω.
• 判断复数相等
z 1 z 2 x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,其 z 1 中 x 1 i1 y ,z 2 x 2 i2 y z 0 R z) eI(m z) 0(
一般, 任意两个复数不能比较大小.
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2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
当z≠0时，有n个不同的ω值与 n z 相对应，每一
个这样的ω值都称为z 的n次方根，记 n z
设ei,由 nz,有nein re i
n r , n 2 k ( k Z )
2k
nznrei n (k0,1,2, ,n1)
nr(co2 skisin 2k)
n
n
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当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现.
平 面 —复 平z面 平或 面
点的表示：zxiy复平面上 P(x， 的 y)点
数z与点z同义. .
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2. 向量表示法
zxiy 点 P(x， y) O P{x,y}
可用O向 表 P z量 示 xiy.
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP为终边的角的
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 .
记为Ｕ(z0 ,δ) (U(z0,))即，
U (z0,){zzz0}
•z 0
(U (z0,){z0zz0})
设G是一平面上点集
内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻
域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点.
.42ຫໍສະໝຸດ 开集 若G内的每一点都是 内点，则称G是开集.
z rei
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引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方 程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.
例1 用复数方程表示: y
(z)
（1）过两点 zj=xj+iyj L z1 z
z2
(j=1,2)的直线；
（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆.
•区域 设 D是一个开集， 且D是连通的，称 D是一个区域.
外点
z1
z2
z 0 内点 P
D-区域
连通是指 D中任意两点均可 属用 于 D完 的全 折线连 . 接
边界与边界点 已知点P不属于D，若点P的任何 邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是 D的边界点； D的所有边界点组成D的边界.
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y
(z)
模|： z||OP|r x2 y2, y
P(x,y)
记作
辐角 : Arzg
z r
z0 O P 0 .
o
x
x
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z 0 时 ta A ， n z)r (y g /x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，
记作θ0=argz.
z=0时，辐角不确定.
例2:求
1i 4
1i
1 i i 1 i
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§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
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1. 点的表示
易见 z， xiy 一对有(序 x,y)实 , 数 在平面上取定直系角，坐则标
任意P点(x, y)一对有序(实 x, y数 ) zxiy平面上的 P(x点 , y) 复z数 xiy可 用 平 面(x上 ， y)的 坐P 点 标 表为 .示 此时 x轴， —实 轴 y轴—虚 轴
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定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差.
证明设 z 1 r 1 e i1 ,z 2 r 2 e i2 ， z 1 0 ， 由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2
∵|z||z1|=|z2| 及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0）
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
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3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1z2)z1z2 (2) z z
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) zz z1 2x 1 x |2 z 2|2 y 1y 2 ix 2y |1 z 2|x 21y 2 (z2 0 )
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•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律. （与实数相同）即，
计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
arctan y x
2
arctan
y x
x 0, y R
x 0, y 0
x 0, y 0 x 0, y 0
.
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当z落于一,四象限时，不变.
当z落于第二象限时，加 . 当z落于第三象限时，减 .
arctayn
2
x2
.
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y
(z)
z1z2
z2 2
z1
2 1
o
x
定理1可推广到n 个复数的乘积.
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注意： Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
由于辅角的多值性，因此，该等式两端都是无穷多个 数构成的两个数集,等式两端可能取的值的全体是相同 的, 也就是说，对于左端的任一值，右端必有一值和 它相等，并且反过来也一样。
拉斯变换等
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学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果
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背景
•十六世纪,在解代数方程时引进复数 •为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩 大到复数域
Argz=Argz2-Argz1
即 zz2 r2 ei(21) z1 r1
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2.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂，
记作z n，即z n=zzz（共n个）.
设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ.
bb四版四版数学教研室复变函数自变量为复数的函数研究复变数之间的相互依赖关系具体地就是复数域上的微积分复变函数的积分级数留数共形映射傅立叶变换和拉普拉斯变换等复数与复变函数解析函数学习方法复变函数中许多概念理论和方法是实变函数在复数域内的推广和发展它们之间有许多相似之处
复变函数与积分变换（B）
教材 《复变函数》(四版)
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§1复数及其代数运算
1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数
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1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi为
复数.
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 |z| x2y2 0
o
x
解 （1） z=z1+t (z2-z1)
（-∞<t <+∞）
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例2 方程 Rei(z) 3 表示
(2) z(i)2
什么图形？
解 设 z x iy
y (z)
i z i ( x iy )
y ix
Reiz()3
Re( i z ) y
O
x
2 (0, -1)
y3 故 Re( i z ) 3 图形为 平行于实轴的直线
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§3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根
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1. 乘积与商
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.
证明
设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1
z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2)
= r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
=r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
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几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.
(z1z2)z1z2
(4)zz2Rez()
( z1 ) z1 z2 z2
zz2iImz()
(3 )zz R z)2 e I(m z)2 x (2 y 2
1 z
|
z z |2
.
11
例1:设z1 55i,z2 34i, 求z1,(z1)及 它 们 的, 虚 实部 部 . z2 z2
解: z1 55i 7i z2 34i 5
Rez 0表示右半复平,面 Imz 0表示下半复平.面
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注意. 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要.
例3.
求(1)1i(2)i(3)3(4)1
3i 2
的模 ,辐角及辐.角主值
例 4 .求 ( 1 )e 2 i(2 )3 e i的 模 ,辐 角 .
例5. 将zsinicos化为三角形式 式.与
5
5
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2013年9月4日
几何上，n z 的n个值是 以原点为中心，n r 为半
1 y
1i
径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周
2
82
0
的正n边形的n个顶点. 2
o
x
如k 41i
2k
2k
3
8 2(co4s
isin4
) (k0,1,2,3（ ) 见 图
4
4
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例2:求31
解 : 1 c0 o is s0 in
3 1 c0 o 2 k s is0 i n 2 k ,(k 0 ,1 ,2 ).
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•十九世纪奠定复变函数的理论基础 •三位代表人物: • A.L.Cauchy （1789-1866) •K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数 研究复变函数
•G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映 照性质
•通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论， 且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学， 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.
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由向量表示法知
y
(z)
z2z1 —点z1与z2之间的距离
由 此 得:
z1
z2 z1 z2 z1 (三角 不等)式
z2
z2 z1 z2 z1
o
x
3. 三角表示法
4. 指数表示法
由xy
r cos 得 r s in
再由 Eule公r 式:
ei cos isin得
zr(co issin )
3
3
即 0 1 , 11 22 3i, 21 22 3i.
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§4 区 域
1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域
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1. 区域的概念
•邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点
清华大学 数学教研室 编
2013-2014学年第一学期
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2013年9月3日
第一章 复数与复变函数
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对 象 复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分
主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、
共形映射、傅立叶变换和拉普