《直线与平面平行的判定》 知识清单

《直线与平面平行的判定》知识清单
一、直线与平面平行的定义
直线与平面没有公共点，叫做直线与平面平行。

需要注意的是，这
里的“没有公共点”是指直线与平面内的任意一点都没有公共点。

二、直线与平面平行的判定定理
文字表述：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线
与此平面平行。

符号表示：＼（a\not\subset\alpha\），＼（b\subset\alpha\），＼
（a\parallel b\Rightarrow a\parallel\alpha\）
这个判定定理是证明直线与平面平行的常用依据。

理解这个定理时，要抓住几个关键的点。

首先，“平面外”这一条件必不可少。

如果直线在平面内，那就谈不
上与这个平面平行了。

其次，“平面内的一条直线”也是重要的条件。

必须要找到平面内的
这样一条直线与平面外的直线平行，才能得出直线与平面平行的结论。

三、判定定理的应用
在实际应用中，常常需要通过构造辅助线来证明直线与平面平行。

例如，在一个三棱柱中，要证明棱\（A_{1}B_{1}＼）与平面\
（ABC\）平行。

我们可以连接\（A_{1}C\），因为\（A_{1}C\parallel AC\），且\（AC\subset\）平面\（ABC\），＼（A_{1}C\not\subset\）
平面\（ABC\），所以\（A_{1}B_{1}＼parallel\）平面\（ABC\）。

再比如，在一个正方体中，证明棱\（A_{1}D_{1}＼）与平面\
（BC_{1}＼）平行。

可以连接\（B_{1}C\），因为\（B_{1}C\parallel
A_{1}D_{1}＼），且\（B_{1}C\subset\）平面\（BC_{1}＼），＼
（A_{1}D_{1}＼not\subset\）平面\（BC_{1}＼），所以\（A_{1}D_{1}＼parallel\）平面\（BC_{1}＼）。

四、常见的证明思路
1、利用三角形的中位线
如果在一个三角形中，一条边的中点与另一条边所构成的线段，就
是三角形的中位线。

中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半。

例如，在一个四面体中，＼（E\）、＼（F\）分别是\（AB\）、＼（AC\）的中点，要证明\（EF\parallel\）平面\（BCD\）。

因为\（EF\）是\（＼triangle ABC\）的中位线，所以\（EF\parallel BC\），又因为\（BC\subset\）平面\（BCD\），＼（EF\not\subset\）平面\（BCD\），
所以\（EF\parallel\）平面\（BCD\）。

2、利用平行四边形
如果能够证明平面外的直线与平面内的一组对边平行且相等，那么
就可以证明这条直线与这个平面平行。

比如，在一个四棱锥中，＼（M\）、＼（N\）分别是\（AD\）、＼（BC\）的中点，要证明\（MN\parallel\）平面\（PCD\）。

连接\
（AC\），因为\（M\）、＼（N\）分别是\（AD\）、＼（BC\）的中点，所以\（MN\parallel AC\）且\（MN ＝＼frac{1}｛2}AC\）。

又因为在
三角形\（ACD\）中，＼（PM\parallel AC\）且\（PM ＝＼frac{1}
｛2}AC\），所以\（MN\parallel PM\）且\（MN ＝ PM\），即四边形\（MNCP\）是平行四边形，所以\（MN\parallel PC\），又因为\
（PC\subset\）平面\（PCD\），＼（MN\not\subset\）平面\（PCD\），
所以\（MN\parallel\）平面\（PCD\）。

五、易错点
1、忽略“平面外”这一条件
在使用判定定理时，如果没有注意直线是在平面外，就可能得出错
误的结论。

2、找不到平面内合适的直线
有些题目中，平面内与平面外直线平行的直线可能不太容易发现，
需要通过一些辅助线或者对图形的深入分析来找到。

3、证明过程不严谨
在证明过程中，每一步的推理都要有依据，不能想当然地得出结论。

六、拓展与延伸
1、直线与平面平行的性质定理
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与交线平行。

符号表示：＼（a\parallel\alpha\），＼（a\subset\beta\），＼（＼alpha\cap\beta ＝ b\Rightarrow a\parallel b\）
2、空间中直线与平面位置关系的判定与性质是相互关联的，通过这些定理和性质，可以解决很多空间几何中的问题。

总之，直线与平面平行的判定是空间几何中的一个重要知识点，需要我们认真理解和掌握。

通过大量的练习和对图形的观察分析，我们能够更加熟练地运用判定定理来解决各种问题。

同时，要注意避免常见的错误，提高解题的准确性和规范性。