高中数学第四章导数及其应用4.1导数概念4.1.3导数的概念和几何意义训练湘教版选修2-2(202

2017-2018学年高中数学第四章导数及其应用4.1 导数概念4.1.3 导数的概念和几何意义分层训练湘教版选修2-2
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4．1。

3 导数的概念和几何意义
一、基础达标
1．设f′（x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f（x0)）处的切线
（）A．不存在B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直D．与x轴斜交
答案B
2．已知函数y＝f（x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是
（）
A．f′（x A）〉f′(x B) B．f′（x A)〈f′（x B)
C．f′（x A)＝f′（x B) D．不能确定
答案B
解析分别作出A、B两点的切线，由题图可知k B>k A，即f′（x B)>f′(x A)．
3．已知曲线y＝2x2上一点A(2，8)，则在点A处的切线斜率为
( ) A．4 B．16 C．8 D．2
解析在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数,由导数定义可求y′＝4x,∴f′(2）＝8。

答案C
4．已知函数f(x）在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为
（) A．f(x)＝（x－1)2＋3（x－1)
B．f（x）＝2(x－1)
C．f(x）＝2(x－1）2
D．f(x)＝x－1
答案A
解析分别求四个选项的导函数分别为f′（x)＝2（x－1)＋3;f′（x)＝2；
f′（x)＝4(x－1）；f′(x）＝1.
5．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1，4)处的切线的斜率是________，该切线方程为____________．答案 3 3x－y＋1＝0
解析Δy＝(1＋d）2＋（1＋d）＋2－(12＋1＋2）＝3d＋d2，故y′|x＝1＝错误!错误!
＝错误!（3＋d）＝3。

∴切线的方程为y－4＝3(x－1），
即3x－y＋1＝0.
6．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3,则这条切线方程为____________．答案4x－y－5＝0
解析∵f′（x)＝错误!＝错误!
＝错误!＝ (2x＋d)＝2x。

设切点坐标为（x0，y0），则由题意知f′（x0)＝4,即2x0＝4,∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3,故该切线过点(2,3）且斜率为4.所以这条切线方程为
y－3＝4（x－2），即4x－y－5＝0。

7．求曲线y＝x3在点(3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．解∵f′(3)＝错误!
＝错误!＝（d2＋9d＋27)＝27，
∴曲线在点（3，27）处的切线方程为y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
此切线与x轴、y轴的交点分别为（2，0），（0，－54）．
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝错误!×2×54＝54.
二、能力提升
8．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2）处的切线方程为
（）
A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x
答案A
解析－Δx＋13＋3Δx＋12－－13＋3×12
Δx
＝－Δx2＋3。

Δx→0时，－Δx2＋3→3.
∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3。

所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1。

9．函数y＝f(x）图象在M（1，f（1）)处的切线方程为y＝错误!x＋2，则f（1）＋f′(1）＝________.
答案3
解析由已知切点在切线上．
∴f(1）＝错误!×1＋2＝错误!.
切线的斜率f′（1)＝1
2。

∴f（1)＋f′(1）＝3。

10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点（0,b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的值分别为________,________。

答案 1 1
解析∵点(0，b）在切线x－y＋1＝0上,
∴－b＋1＝0，b＝1.
又错误!＝错误!＝a＋Δx,
∴f′(0)＝a＝1。

11．已知曲线y＝x3＋1,求过点P（1，2）的曲线的切线方程．
解设切点为A（x0,y0)，则y0＝x错误!＋1。

错误!＝错误!＝
Δx2＋3x0Δx＋3x错误!。

∴f′（x0）＝3x错误!，切线的斜率为k＝3x错误!。

点(1，2)在切线上,∴2－(x错误!＋1)＝3x错误!（1－x0）．∴x0＝1或x0＝－错误!.
当x0＝1时,切线方程为3x－y－1＝0，
当x0＝－错误!时，切线方程为3x－4y＋5＝0.
所以，所求切线方程为3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0.
12．求抛物线y＝x2的过点P(错误!，6)的切线方程．
解由已知得，错误!＝2x＋d，
∴当d→0时，2x＋d→2x，
即y′＝2x，
设此切线过抛物线上的点(x0，x错误!)，
又因为此切线过点(错误!，6)和点(x0，x错误!）,
其斜率应满足错误!＝2x0,
由此x0应满足x2，0－5x0＋6＝0.
解得x0＝2或3。

即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4），（3，9）．
所以切线方程分别为y－4＝4（x－2)，y－9＝6(x－3）．
化简得4x－y－4＝0,6x－y－9＝0，
此即是所求的切线方程．
三、探究与创新
13．求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．
解设切点为P(a,b），函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x。

故切线的斜率
k＝y′｜x
＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1,代入y＝x3＋3x2－5得,b＝－3，即＝a
P（－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3（x＋1），即3x＋y＋6＝0。