人教新课标版-数学-高二-数学人教B版选修2-1自我小测 3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

自我小测
1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( )
A ．2
B ．－4
C ．4
D ．－2
2．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,0，－2)，平面α的法向量为u ＝(4,0,8)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α
C ．l α
D ．l 与α斜交
3．已知向量a ＝(2,3,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝92，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝15
2
C ．x ＝3，y ＝15
D ．x ＝92，y ＝15
2
4．若异面直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(0，－2，－1)，b ＝(2,0,4)，则异面直线l 1
与l 2的夹角的余弦值等于( )
A ．－25 B.25 C ．－255 D.25
5
5．已知平面α过点A (1，－1,2)，其法向量n ＝(2，－1,2)，则下列点在α内的是( ) A ．(2,3,3) B ．(3，－3,4)
C ．(－1,1,0)
D ．(－2,0,1)
6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则( ) A ．平面AED ∥平面A 1FD 1 B ．平面AED ⊥平面A 1FD 1
C ．平面AE
D 与平面A 1FD 相交但不垂直 D ．以上都不对
7．已知A ，B ，P 三点共线，则对空间任一点O ，OP →＝αOA →＋βOB →，那么α＋β＝__________.
8．已知直线l 的方向向量v ＝(2，－1,3)，且过A (0，y,3)和B (－1,2，z )两点，则y ＝__________，z ＝__________.
9．已知如图所示的正四棱锥，在向量PA →－PB →＋PC →－PD →，PA →＋PC →，PB →＋PD →，PA →＋PB →＋PC →＋PD →
中，不能作为底面ABCD 的法向量的向量是__________．
10．已知三棱锥O -ABC 中，OA ＝OB ＝1，OC ＝2，OA ，OB ，OC 两两垂直，试找出一点D ，使BD ∥AC ，DC ∥AB .
11．如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC -A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．
(1)求cos 〈BA 1→，CB 1→
〉的值； (2)求证：BN ⊥平面C 1MN .
12．如图所示，ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ，M ，N ，Q 分别是PC ，AB ，CD 的中点，
求证：(1)MN ∥平面PAD ； (2)平面QMN ∥平面PAD ； (3)MN ⊥平面PCD .
参考答案
1．解析：∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2
k ，
∴k ＝4. 答案：C
2．解析：∵u ＝－4a ，∴u ∥a ，∴a ⊥α，∴l ⊥α. 答案：B
3．解析：∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，∴32＝x 3＝y
5，
∴x ＝92，y ＝152.
答案：D
4．解析：a·b ＝－4，|a |＝5，|b |＝25， cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝⎪⎪⎪⎪a·b |a||b|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－410＝25. 答案：B
5．解析：设M (x ，y ，z )为平面内一点，则AM →
·n ＝0， 即2(x －1)－(y ＋1)＋2(z －2)＝0. 又因为A 项中坐标满足上式，故选A. 答案：A
6．解析：以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→
分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设平面AED 的法向量为n 1，平面A 1FD 1的法向量为n 2.
可得n 1·n 2＝0，∴n 1⊥n 2，∴平面AED ⊥平面A 1FD 1. 答案：B 7．答案：1
8．解析：因为AB →＝(－1,2－y ，z －3)，AB →
∥v ， 故－12＝2－y －1
＝z －33，
故y ＝32，z ＝32.
答案：32 32
9．解析：因为PA →－PB →＋PC →－PD →＝BA →＋DC →
＝0，不能作为这个平面的法向量，对其他三个化简后可知均与PO →
共线．而PO ⊥平面ABCD ，它们可作为这个平面的法向量．
答案：PA →－PB →＋PC →－PD →
10．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，设所求点D (x ，y ，z )．
由BD ∥AC ，DC ∥AB ⇒BD →∥AC →，DC →∥AB →
，
因此⎩
⎪⎨
⎪⎧
(x ，y －1，z )＝k 1(－1，0，2)，(－x ，－y ，2－z )＝k 2(－1，1，0)⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝1，z ＝2.
即D 点的坐标为(－1,1,2)．
11．解：以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系Oxyz
.
(1)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,2)，
∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→
＝(0,1,2)，
∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5， ∴cos 〈BA 1→，CB 1→
〉＝BA 1→·CB 1→
|BA 1→|·|CB 1→
|＝3010.
(2)证明：依题意得C 1(0,0,2)，N (1,0,1)， ∴M ⎝⎛⎭⎫
12，12，2，
∴C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)，BN →＝(1，－1,1)， ∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋1×0＝0，
C 1N →·BN →
＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0， ∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →， ∴BN ⊥C 1M ，BN ⊥C 1N ， ∴BN ⊥平面C 1MN .
12．证明：(1)如图，以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
设B (b,0,0)，D (0，d,0)，P (0,0，d )，则C (b ，d,0)． ∵M ，N ，Q 分别是PC ，AB ，CD 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫b 2，d 2，d 2，N ⎝⎛⎭⎫b 2，0，0，Q ⎝⎛⎭
⎫b
2，d ，0，
∴MN →
＝⎝
⎛⎭⎫0，－d 2，－d 2. ∵平面PAD 的一个法向量为m ＝(1,0,0)， ∴MN →·m ＝0，即MN →
⊥m . 又∵MN 不在平面PAD 内， ∴MN ∥平面PAD .
(2)QN →＝(0，－d,0)，QN →
⊥m ， 又QN 不在平面PAD 内， ∴QN ∥平面PAD . 又∵MN ∩QN ＝N ， ∴平面MNQ ∥平面PAD .
(3)PD →＝(0，d ，－d )，DC →
＝(b,0,0)， ∴MN →·PD →＝⎝⎛⎭⎫－d 2d ＋⎝⎛⎭⎫－d 2(－d )＝0， MN →·DC →＝0，
∴MN →⊥PD →，MN →⊥DC →， ∴MN ⊥PD ，MN ⊥DC . 又PD ∩DC ＝D ， ∴MN ⊥平面PCD .。