2022年精品解析沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形单元测试试题(含详解)

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形单元测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、以下长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A ．2，3，5
B ．4，4，8
C ．3，4.8，7
D ．3，5，9
2、如图，AC ＝BC ，∠C ＝α，DE ⊥AC 于E ，FD ⊥AB 于D ，则∠EDF 等于（ ）．
A ．α
B ．90°－12α
C ．90°－α
D ．180°－2α
3、如图，在ABC 中，40B ∠=︒，60C ∠=°，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，在AB 上截取AE AC =，则EDB ∠的度数为（ ）
A ．30°
B ．20°
C ．10°
D ．15°
4、如图，等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD DC ⊥于D ，点O 是线段AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，若OP OC =，则下列结论：①30APO DCO ∠+∠=︒；②APO DCO ∠=∠；③POC △是等边三角形；④AB OA AP =+．其中正确的是（ ）
A ．①③④
B ．①②③
C ．②③④
D ．①②③④
5、在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝14
∠C ，则∠C ＝（ ） A ．70° B ．80° C ．100° D ．120°
6、下列说法不正确的是（ ）
A ．有两边对应相等的两个直角三角形全等；
B ．等边三角形的底角与顶角相等；
C ．有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形；
D ．如果点M 与点N 到直线l 的距离相等，那么点M 与点N 关于直线l 对称．
7、如图，在ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，∠B =35°，则∠BAD =（ ）
A ．110°
B ．70°
C ．55°
D ．35°
8、如图，在ABC ∆中，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠，过点D 作直线平行于BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，当A ∠大小变化时，线段EF 和BE CF +的大小关系是( )
A ．EF BE CF >+
B ．EF BE CF <+
C ．EF BE CF =+
D ．不能确定
9、下列各条件中，不能作出唯一的ABC 的是（ ）
A ．4A
B =，5B
C =，10AC =
B ．5AB =，4B
C =，30A ∠=︒ C ．90A ∠=︒，30B ∠=︒，5BC =
D ．60A ∠=︒，50B ∠=︒，5AB =
10、如图，E 为线段BC 上一点，∠ABE =∠AED =∠ECD =90°，AE =ED ，BC =20，AB =8，则BE 的长度为（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知△ABC 的面积是12，AB =AC =5，AD 是BC 边上的中线，E ，P 分别是AC ，AD 上的动点，则CP +EP 的最小值为_______．
2、如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF 和三角板CFB 如图所示摆放，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，且∠CFE ＝13°，∠CFD ＝32°，则∠DEC 的度数为_______．
3、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D ．若AD =3cm ，BE =1cm ，则DE =_________．
4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝6，将△ABC 绕点C 顺时针旋转30°得到△A ′B ′C ，A 、B 分别与A ′、B ′对应，CA ′交AB 于点M ，则CM 的长为 ___．
5、如图，ABC ADC ∠=∠，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，连接CE ，AF 交CD 的延长线于点F ，180BCD AEB DAF ∠+∠+∠=︒，若3ECD F ∠=∠，80BEC ∠=︒，则CED ∠的度数为______．
三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、如图，在△ABC 中，AB =AC ，CD ⊥AB 于点D ，∠A =50°，求∠BCD 的度数．
2、已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：
△ABO≌△EDO．
3、如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则AG
CG
．（直接
写出结果）
4、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，射线AE交BC于点P，∠BAE＝15°；过点C作CD⊥AE于点D，连接BE，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若∠ABE＝75°，求证：BE∥CF．
5、已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AC．求证：AD∥CE．
6、如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．
7、在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．
①如图2，当点在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC 上（线段BC 之外）移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
8、如图，ABC 为等边三角形，D 是BC 中点，60ADE ∠=︒，CE 是ABC 的外角ACF ∠的平分线． 求证：AD DE =．
9、如图，E 为AB 上一点，BD ∥AC ，AB ＝BD ，AC ＝BE ．求证：BC ＝DE ．
10、如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别同时从A 、B 、C 以同样的速度沿AB 、BC 、CA 方向运动，当点D 运动到点B 时，三个点都停止运动．
（1）在运动过程中△DEF 是什么形状的三角形，并说明理由；
（2）若运动到某一时刻时，BE =4，∠DEC =150°，求等边△ABC 的周长；
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
由题意根据三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行分析即可．
【详解】
解：A、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+4=8，不能组成三角形，不符合题意；
C、3+4.8＞7，能组成三角形，符合题意；
D、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．注意掌握判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．
2、B
【分析】
AC＝BC，∠C＝α，DE⊥AC于E，FD⊥AB于D，有
180
2
B A
α
︒-
∠=∠=，90
ADE A
∠=︒-∠，
90EDF ADE ∠=︒-∠，即可求得角度．
【详解】 解：由题意知：1802
B A α︒-∠=∠=，90ADF ∠=︒ 180909022
ADE A αα︒-∠=︒-∠=︒-= 90902EDF ADE α
∠=︒-∠=︒-
故选B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，几何图形中角度的计算．解题的关键在于确定各角度之间的数量关系．
3、B
【分析】
利用已知条件证明△ADE ≌△ADC （SAS ），得到∠DEA ＝∠C ，根据外角的性质可求EDB ∠的度数．
【详解】
解：∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠EAD ＝∠CAD
在△ADE 和△ADC 中，
AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADE ≌△ADC （SAS ），
∴∠DEA ＝∠C 60=︒，
∵40B ∠=︒，∠DEA ＝∠B +EDB ∠，
∴604020EDB ∠=︒-︒=︒；
故选：B
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE ≌△ADC ．
4、A
【分析】
①利用等边对等角得：∠APO ＝∠ABO ，∠DCO ＝∠DBO ，则∠APO +∠DCO ＝∠ABO +∠DBO ＝∠ABD ，据此即可求解；②因为点O 是线段AD 上一点，所以BO 不一定是∠ABD 的角平分线，可作判断；③证明∠POC ＝60°且OP ＝OC ，即可证得△OPC 是等边三角形；④证明△OPA ≌△CPE ，则AO ＝CE ，得AC ＝AE +CE ＝AO +AP ．
【详解】
解：①如图1，连接OB ，
∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，
∴BD ＝CD ，∠BAD ＝12∠BAC ＝12×120°＝60°，
∴OB ＝OC ，∠ABC ＝90°﹣∠BAD ＝30°
∵OP ＝OC ，
∴OB ＝OC ＝OP ，
∴∠APO ＝∠ABO ，∠DCO ＝∠DBO ，
∴∠APO +∠DCO ＝∠ABO +∠DBO ＝∠ABD ＝30°，故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，
则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，故③正确；
④如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP ＝CP ，
在△OPA 和△CPE 中，
PA PE APO CPE OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△OPA ≌△CPE （SAS ），
∴AO ＝CE ，
∴AC ＝AE +CE ＝AO +AP ，
∴AB ＝AO +AP ，故④正确；
正确的结论有：①③④，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．
5、D
【分析】
根据三角形的内角和，180A B C ∠+∠+∠=︒①，进而根据已知条件，将,A B ∠∠代入①即可求得C ∠
【详解】
解：∵在△ABC 中，180A B C ∠+∠+∠=︒，∠A ＝∠B ＝14
∠C ， ∴1118044
C C C ∠+∠+∠=︒
解得120C ∠=︒
故选D
本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
6、D
【分析】
利用全等三角形的判定、等边三角形的判定及轴对称的性质分别判断后即可确定不正确的选项．
【详解】
解：A、有两边对应相等的两个直角三角形全等，正确；
B、等边三角形的三个内角都是60°，所以等边三角形的底角与顶角相等，正确；
C、有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形，正确；
D、当点M与点N在直线l的同侧时，点M与点N关于直线l不对称，错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定、等边三角形的判定及轴对称的性质等知识，属于基础定理，难度不大．
7、C
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答．
【详解】
解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝35°，
∴∠BAD＝90°−35°＝55°．
故选：C．
本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
8、C
【分析】
=，则
由平行线的性质和角平分线的定义可得EBD EDB
∠=∠，则ED BE
=，同理可得DF FC =+，可得答案．
EF BE CF
【详解】
EF BC，
解：//
∴∠=∠，
EDB DBC
BD平分ABC
∠，
∴∠=∠，
EBD DBC
EDB EBD
∴∠=∠，
∴=，
ED BE
=，
同理DF FC
∴+=+，
ED DF BE FC
=+．
即EF BE CF
故选：C
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键．
9、B
【分析】
根据三角形全等的判定及三角形三边关系即可得出结果．
【详解】
解：A 、AB BC AC +<，不能组成三角形；
B 、根据SSA 不可以确定选项中条件能作出唯一三角形；
C 、根据AAS 可以确定选项中条件能作出唯一三角形；
D 、根据ASA 可以确定选项中条件能作出唯一三角形；
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查确定唯一三角形所需要的条件及三角形三边关系，解题关键在于对全等判定条件的理解．
10、A
【分析】
利用角相等和边相等证明ABE ECD ∆∆≌，利用全等三角形的性质以及边的关系，即可求出BE 的长度．
【详解】
解：由题意可知：∠ABE =∠AED =∠ECD =90°，
1809090AEB DEC ∴∠+∠=︒-︒=︒，90A AEB ∠+∠=︒，
A DEC ∴∠=∠，
在ABE ∆和ECD ∆中，
ABE ECD A DEC AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABE ECD AAS ∴∆∆≌，
8CE AB ∴==，
12
BE BC CE
∴=-=，
故选：A．
【点睛】
本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练通过已知条件证明三角形全等，利用全等性质及边的关系，来求解未知边的长度，这是解决本题的主要思路．
二、填空题
1、24 5
【分析】
作BM⊥AC于M，交AD于P，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，求得点B，C关于AD为对称，得到BP=CP，根据垂线段最短得出CP+EE=BP+EP=BE≥BM，根据数据线的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：作BM⊥AC于M，交AD于P，
∵△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点B，C关于AD为对称，
∴BP=CP，
根据垂线段最短得出：CP+EP=BP+EP=BE≥BM，
∵AC=BC=5，
∵S△ABC=1
2BC•AD=1
2
AC•BM=12，
∴BM=AD=24
5
，
即EP +CP 的最小值为
245， 故答案为：
245．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等腰三角形和轴对称的性质是本题的关键． 2、64︒
【分析】
作FH 垂直于FE ，交AC 于点H ，可证得()FAH FCE ASA ≅△△，由对应边、对应角相等可得出()HDF EDF SAS ≅△△，进而可求出58DEF ∠=︒，则64DEC CEF DEF ∠=∠-∠=︒．
【详解】
作FH 垂直于FE ，交AC 于点H ，
∵90AFC EFH ∠=∠=︒
又∵AFC AFH CFH ∠=∠+∠，HFE CFE CFH ∠=∠+∠
∴13AFH CFE ∠=∠=︒
∵45A FCE ∠=∠=︒，FA =CF
∴()FAH FCE ASA ≅△△
∴FH =FE
∵321345DFE DFC EFC ∠=∠+∠=︒+︒=︒
∵904545DFH HFE DFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒
∴DFE DFH ∠=∠
又∵DF =DF
∴()HDF EDF SAS ≅△△
∴DHF DEF ∠=∠
∵451358DHF A HFA ∠=∠+∠=︒+︒=︒
∴58DEF ∠=︒
∵180CFE CEF FCE ∠+∠+∠=︒
∴1801801345122CEF CFE FCE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
∴1225864DEC CEF DEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒
故答案为：64︒．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF 垂直于FE 是解题的关键． 3、2cm
【分析】
易证∠CAD =∠BCE ，即可证明BEC ≌△DAC ，可得CD =BE ，CE =AD ，根据DE =CE -CD ，即可解题．
【详解】
解：∵∠ACB =90°，
∴∠BCE +∠DCA =90°．
∵AD ⊥CE ，
∴∠DAC +∠DCA =90°．
∴∠BCE =∠DAC ，
在△BEC 和△DAC 中，
∵∠BCE =∠DAC ，∠BEC =∠CDA =90°．BC =AC ，
∴△BEC ≌△DAC （AAS ），
∴CE =AD =3cm ，CD =BE =1cm ，
DE =CE -CD =3-1=2 cm ．
故答案是：2cm ．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CDA ≌△BEC 是解题的关键．
4、6
【分析】
根据旋转的性质可得，30ACA '∠=︒，所以60BCM ∠=︒，由题意可得：60B ∠=︒，BCM 为等边三角形，即可求解．
【详解】
解：∵90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，
∴60B ∠=︒，
由旋转的性质可得，30ACA '∠=︒，
∴60BCM ACB ACM ∠=∠-∠=︒，
∴BCM 为等边三角形，
∴6CM BC ==，
故答案为：6
【点睛】
此题考查了直角三角形的性质，旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活掌握相关基本性质进行求解．
5、80°
【分析】
先根据AB CD ∥，ABC ADC ∠=∠，得出180ADC BCD ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，可证AD∥BC ，再证∠BAD =∠BCD ，得出∠AEB =∠F ，然后证∠ABC =2∠CBE =2∠F ，得出∠ADC =2∠F ，利用三角形内角和得出∠CED =180°-∠EDC -∠ECD =180°-2∠F -3∠F =180°-5∠F ，根据平角得出∠AEB +∠CED =180°-∠BEC =180°-80°=100°，列方程∠F +180°-5∠F =100°求出∠F =20°即可．
【详解】
解：∵AB CD ∥，
∴∠ABC +∠BCD =180°，
∵ABC ADC ∠=∠
∴180ADC BCD ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，
∴AD∥BC ，
∵AB CD ∥，
∴∠BAD +∠ADC =180°，∠BAF +∠F =180°，
∵∠ADC +∠BCD =180°，
∴∠BAD =∠BCD ，
∵180BCD AEB DAF ∠+∠+∠=︒，
∴180BAD AEB DAF ∠+∠+∠=︒，
∵∠BAF =∠BAD +∠DAF ，
∴∠BAF +∠AEB =180°，
∴∠AEB =∠F ，
∵AD∥BC ，
∴∠CBE =∠AEB ，
∵BE 平分ABC ∠，
∴∠ABC =2∠CBE =2∠F ，
∴∠ADC =2∠F ，
∵3ECD F ∠=∠，
在△CED 中，∠CED =180°-∠EDC -∠ECD =180°-2∠F -3∠F =180°-5∠F ，
∵80BEC ∠=︒，
∴∠AEB +∠CED =180°-∠BEC =180°-80°=100°，
∴∠F +180°-5∠F =100°，
解得∠F =20°，
∴18052018010080CED ∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒，
故答案为80°．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和，角平分线定义，平角，解一元一次方程，掌握平行线的判定与性质，三角形内角和，角平分线定义，平角，解一元一次方程，关键是证出∠ADC =2∠F ．
三、解答题
1、25°
【分析】
直接利用等腰三角形的性质得出∠ABC =∠ACB =65°，进而利用三角形内角和定理得出答案．
【详解】
∵AB =AC ，∠A =50°，
∴∠ABC =∠ACB =65°，
∵CD ⊥BC 于点D ，
∴∠BCD 的度数为：180°−90°−65°=25°．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，正确得出∠B 的度数是解题关键．
2、见解析
【分析】
利用AAS 即可证明△ABO ≌△EDO ．
【详解】
证明：∵AB ⊥BE ，DE ⊥AD ，
∴∠B =∠D =90°．
在△ABO 和△EDO 中
,,B D AOB EOD OA OE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABO ≌△EDO ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
3、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
113或53 【分析】
（1）证明△AFD ≌△EAC ，根据全等三角形的性质得到DF =AC ，等量代换证明结论；
（2）作FD ⊥AC 于D ，证明△FDG ≌△BCG ，得到DG =CG ，求出CE ，CB 的长，得到答案；
（3）过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，根据全等三角形的性质得到CG =GD ，AD =CE =7，代入计算即可．
【详解】
（1）证明：∵FD ⊥AC ，
∴∠FDA =90°，
∴∠DFA +∠DAF =90°，
同理，∠CAE +∠DAF =90°，
∴∠DFA =∠CAE ，
在△AFD 和△EAC 中，
AFD EAC ADF ECA AF AE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△AFD ≌△EAC （AAS ），
∴DF =AC ，
∵AC =BC ，
∴FD =BC ；
（2）作FD ⊥AC 于D ，
由（1）得，FD =AC =BC ，AD =CE ，
在△FDG 和△BCG 中，
90FDG BCG FGD BGC
FD BC ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝＝， ∴△FDG ≌△BCG （AAS ），
∴DG =CG =1，
∴AD =2，
∴CE =2，
∵BC =AC =AG +CG =4，
∴E 点为BC 中点；
（3）当点E 在CB 的延长线上时，过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，
BC =AC =4，CE =CB +BE =7，
由（1）（2）知：△ADF ≌△ECA ，△GDF ≌△GCB ，
∴CG =GD ，AD =CE =7，
∴CG =DG =1.5，
∴AG =CG +AC =5.5， ∴ 5.5111.53
AG CG ==， 同理，当点E 在线段BC 上时，AG = AC -CG +=2.5， ∴ 2.551.53
AG CG ==，
故答案为：
113或53． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
4、（1）30F ∠=︒；（2）证明见详解．
．
【分析】
（1）根据三角形内角和及等腰三角形的性质可得75PAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，由各角之间的关系及三角形内角和定理可得30PCD ∠=︒，60PDC ∠=︒，最后由平行线的性质即可得出；
（2）由题意及各角之间的关系可得30CBE ∠=︒，得出DCB CBE ∠=∠，利用平行线的判定定理即可证明．
【详解】
解：（1）∵90BAC ∠=︒，15BAE ∠=︒，AB AC =，
∴75PAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，
∵CD AE ⊥，
∴90ADC ∠=︒，18015ACD ADC DAC ∠=︒-∠-∠=︒，
∴451530PCD PCA ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
∴180903060PDC ∠=︒-︒-︒=︒，
∵EF BC ∥，
∴60DPC PEF ∠=∠=︒，30F DCP ∠=∠=︒，
∴30F ∠=︒；
（2）∵75ABE ∠=︒，45ABC ∠=︒，
∴754530CBE ∠=︒-︒=︒，
由（1）可得30DCP ∠=︒，
∴DCB CBE
∠=∠，
∴BE CF
∥（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】
题目主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
5、见解析．
【分析】
先根据角平分线的定义得到∠BAD=1
2∠BAC，再根据等腰三角形的性质和三角形外角定理得到∠E=1
2
∠BAC，从而得到∠BAD=∠E，即可证明AD∥CE．
【详解】
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=1
2
∠BAC，
∵AE=AC，
∴∠E=∠ACE，
∵∠E+∠ACE=∠BAC，
∴∠E=1
2
∠BAC，
∴∠BAD=∠E，
∴AD∥CE．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形外角定理，熟知相关定理并灵活应用是解题关键．
6、CM＝7．
【分析】
根据题意由“SAS ”可证△AEC ≌△ADB ，可得BD =CE ，由等腰三角形的性质可得DM =ME =2进行分析计算即可得出答案．
【详解】
解：∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAC ﹣∠BAE ＝∠DAE ﹣∠BAE ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
在△AEC 和△ADB 中，
AE AD BAD CAE AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AEC ≌△ADB （SAS ），
又∵BD ＝5，
∴CE ＝BD ＝5，
∵AD ＝AE ，AM ⊥CD ，DE ＝4， ∴114222
ME DE ==⨯=， ∴CM ＝CE +EM ＝5+2＝7．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
7、（1）90；（2）180αβ+=︒，见解析；②180αβ+=︒或αβ=
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ＝45°，由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC ＝∠ACE ＝45°，可求∠BCE 的度数；
（2）①由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵90BAC ∠=︒，
∴90DAE BAC ∠=∠=︒，
∵AB =AC ，AD =AE ，
∴45B ACB ∠=∠=︒，45ADE AED ∠=∠=︒，
∵DAE BAC ∠=∠，
∴BAD CAE ∠=∠，
在BAD 和CAE 中
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BAD CAE ≅，
∴45ACE B ∠=∠=︒，
∴90BCE ACB ACE ∠=∠+∠=︒
（2）αβ180+=︒或αβ=．
理由：①∵BAC DAE ∠=∠，
∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠．
即BAD CAE ∠=∠．
在BAD 和CAE 中
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ABD ACE △≌△．
∴B ACE ∠=∠．
∴B ACB ACE ACB ∠+∠=∠+∠．
∴B ACB β∠+∠=．
∵180B ACB α+∠+∠=︒，
∴180αβ+=︒．
②如图：
∵BAC DAE ∠=∠，
∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠．
即BAD CAE ∠=∠．
在BAD 和CAE 中
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABD ACE △≌△．
∴ABD ACE ∠=∠．
∵+ABD ACB α∠=∠，ACE ACB β=∠-∠，
ACE ABD βα∴=∠-∠+，
αβ∴=．
综上所述：点D 在直线BC 上移动，α+β＝180°或α＝β．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．
8、证明见解析.
【分析】
过D 作DG ∥AC 交AB 于G ，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDG ＝∠BGD ＝60°，于是得到△BDG 是等边三角形，再证明△AGD ≌△DCE 即可得到结论.
【详解】
证明：过D 作DG ∥AC 交AB 于G ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°，
又∵DG ∥AC ，
∴∠BDG ＝∠BGD ＝60°，
∴△BDG 是等边三角形，∠AGD ＝180°−∠BGD ＝120°，
∴DG ＝BD ，
∵点D 为BC 的中点，
∴BD ＝CD ，
∴DG ＝CD ，
∵EC 是△ABC 外角的平分线，
∴∠ACE ＝12
（180°−∠ACB ）＝60°，
∴∠BCE ＝∠ACB ＋∠ACE ＝120°＝∠AGD ，
∵AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，
∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，
又∵∠BDG ＝60°，∠ADE ＝60°，
∴∠ADG ＝∠EDC ＝30°，
在△AGD 和△ECD 中，
AGD ECD GD CD
ADG EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AGD ≌△ECD （ASA ）．
∴AD ＝DE ．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
9、见解析
【分析】
根据平行线的性质可得A DBA ∠=∠，利用全等三角形的判定定理即可证明．
【详解】
证明：∵AC BD ∥，
∴A DBA ∠=∠．
在ABC 和BDE 中，
AB BD A DBA AC BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABC BDE ≌，
∴BC DE ＝．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定定理和平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
10、（1）△DEF 是等边三角形，理由见解析（2）等边△ABC 的周长为18
【分析】
（1）利用△DEF 是等边三角形的性质以及三点的运动情况，求证EBD FCE ∆∆≌和
ECF FAD ∆∆≌，进而证明==DE EF FD ，最后即可说明△DEF 是等边三角形．
（2）利用题（1）的条件即∠DEC =150°，得出DEB ∆是含30角的直角三角形，求出
122
BD BE ==，最后求解出等边△ABC 的BC 长，最后即可求出等边△ABC 的周长． 【详解】
（1）解：△DEF 是等边三角形，
证明：由点D 、E 、F 的运动情况可知：AD BE CF ==，
△ABC 是等边三角形，
60A B C ∴∠=∠=∠=︒,AB BC CA ==，
BD AB AD BC BE CE ∴=-=-=,
CE BC BE CA CF AF =-=-=，
在EBD ∆与FCE ∆中，
BD CE B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()EBD FCE SAS ∴∆∆≌，
DE EF ∴=，
同理可证ECF FAD ∆∆≌，进而有=EF FD ，
DE EF FD ∴==，
故△DEF 是等边三角形．
（2）解：由（1）可知△DEF 是等边三角形，且EBD FCE ∆∆≌，
60DEF ∴∠=︒，BDE CEF ∠=∠，BD CE =，
150DEC ∠=︒，
90BDE CEF DEC DEF ∴∠=∠=∠-∠=︒，
在Rt DEB ∆中，9030DEB B ∠=︒-∠=︒，
122
BD BE ∴==， 6BC BE CE BE BD ∴=+=+=，
AB BC CA ==，
∴等边△ABC 的周长为318BC =．
【点睛】
本题主要是考查了全等三角形的性质及判定、等边三角形的判定及性质和含30角直角三角形的性质，熟练利用等边三角形的性质，找到相等条件，进而证明全等三角形，综合利用全等三角形以及含30角直角三角形的性质，求出对应边长，是解决该题的关键．。