2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考卷(一)数学试题及答案

·3·
16. (本小题满分 15 分)
ex(2x - 1) 已知画数 f(x) = x - 1 . (1) 求函数 f(x) 的单调区间; (2) 当 x < 1 时, 不等式 2xex - ax - ex + a ≥ 0 恒成立, 求实数 a 的取值范围.
17．已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 an+1 = 2Sn + 2n ∈ N * . (1) 求数列 an 的通项公式. (2) 在 an 与 an+1 之间插入 n 个数，使这 n + 2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列，在数列
形所在的平面与平面 ABCD 的夹角的正切值均为
14 5
，则该五面体的所有棱长之和为
()
A． 102m B． 112m C． 117m D． 125m
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
1 2
x
C． y = f 4 - 2x
B． y =-f 1 -
1 2
x
D． y =-f 4 - 2x
·1·
8．刍甍是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，
展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是
全等的等腰三角形．若 AB = 25m,BC = AD = 10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角
.
13．已知抛物线 C:x2 = 2py(p > 0) 的焦点为 F ，点 A 在抛物线 C 上，若点 A 到 x 轴的距离
是 AF - 2，则 p =
.
14．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空
间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下
).
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 当 t 变化时, 直线 PA,PB 的斜率乘积是否为定值, 若是, 求出这个定值; 若不是, 请说明
理由;
(3) 给定一个 t, 椭圆上的点到直线 AB 的距离的最大值为 d, 当 t 变化时, 求 d 的最大值, 并
求出此时 t 的值.
·4·
19. (本小题满分 17 分) 如图, 点 Z(a,b), 复数 z = a + bi(a,b ∈ R) 可用点 Z(a,b) 表示, 这
4. 已知 a 是函数 f(x) = 2x - log 1 x 的零点, 若 0 < x0 < a, 则 f x0 的值满足 (
)
2
A. f x0 = 0
B. f x0 < 0
C. f x0 > 0
D. f x0 的符号不确定
5.
若
sinx + cosx =
1 3
,x ∈ (0,π),
则
sinx - cosx
z21024,z22024, ⋯ ,z220024 所对应不同点的个数.
·5·
(1)
已知
z=
1 2
+
3 2
i,w
=
2 2
+
2 2
i,
求
zw + zw3
的三角形式;
(2) 已知 θ0 为定值，0 ≤ θ0 ≤ π ，将复数 1 + cosθ0 + isinθ0 化为三角形式；
(3) 设复平面上单位圆内接正二十边形的 20 个顶点对应的复数依次为 z1,z2, ⋯ ,z20, 求复数
；Xn 的数学期望 E Xn 是
.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，AB = AC = AA1 = 2，∠BAC = 90°，E，F 依次为 C1C ，BC 的中点．
(1) 求证：A1B ⊥ B1C ； (2) 求 A1B 与平面 AEF 所成角的正弦值．
a b
= =
rcosθ, rsinθ,
其中
r
为复数 z
模,
θ
叫做复数 z 的辐角 (以
x
非负半轴为始边,
OZ
所在射
线为终边的角), 我们规定 0 ≤ θ < 2π 范围内的辐角 θ 的值为辐角的主值, 记作 argz.
r(cosθ + isinθ) 叫做复数 z = a + bi 的三角形式。
复数三角形式的乘法公式: r1cosθ1 + isinθ1 ⋅ r2cosθ2 + isinθ2 = r1r2cosθ1 + θ2 + isinθ1 + θ2 . 棣莫佛提出了公式: [r(cosθ + isinθ)]n = rn(cosnθ + isinnθ), 其中 r > 0,n ∈ N ∗ 。
dn 中是否存在 3 项 dm，dk，dp，(其中 m，k，p 成等差数列) 成等比数列? 若存在，求出这样
的 3 项，若不存在，请说明理由.
18. (本小题满分 17 分)
椭圆
C:
y2 a2
+
x2 b2
= 1(a > b > 0)
的离心率为
3 2
,
短轴长为
2
,
点
P
为椭圆的右顶点.
⊙
Q:x2
+ (y + 1)2 = t2(0 < t < 1), 过点 P 作 ⊙ Q 的两条切线分别与椭圆交于 A,B 两点 (不同于点 P
个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴. 显然, 实
轴上的点都表示实数; 除了原点外, 虚轴上的点都表示纯豦数. 按照这种表示方法，每一个复
数，有复平面内唯一的一个点和它对应, 反过来, 复平面内的每一个点, 有唯一的一个复数和
它对应. 一般地, 任何一个复数 z = a + bi 都可以表示成 r(cosθ + isinθ) 的形式, 即
的值为 (
)
A ⋅±
17 3
B. -
17 3
C.
1 3
p.
17 3
6. 用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( )
A. 8 B. 24 C. 48 D. 120
7．函数 y = f x 的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能
为( )
A． y =
f1 -
10．一个矩形的周长为 l，面积为 S，则下列四组数对中，可作为数对 S,l 的有 ( )
A． 1,4
B． 6,8
C． 7,12
D．
3,
1 2
11. 直线 y = kx 与双曲线
x2 4
-
y2 3
= 1 交于 P,Q 两点, 点 P
位于第一象限, 过点 P
作 x 轴的
垂线, 垂足为 N , 点 F 为双曲线的左焦点, 则 ( )
2. 已知复数 z 满足 (1 - i)z = 2i, 且 z + ai(a ∈ R) 为实数, 则 a = ( )
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
3.
设向量
a
=
(1,0),b
=
1 2
,
1 2
, 则下列结论正确的是 (
)
A. |a| = |b|
B. a ⋅ b =
2 2
C. a - b 与 b 垂直 D, a ⎳ b
9. 已知变量 x,y 之间的经验回归方程为 y =-0.7x + 10.3, 且变量 x,y 之间的一组相关数据 如下表所示, 则下列说法正确的是 ( )
x 6 8 10 12 y6 m3 2
A. 变量 x,y 之间成负相关关系 B. m = 4 C. 可以预测，当 x = 11 时，y 约为 2.6 D. 由表格数据知, 该经验回归直线必过点 (9,4)
一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关. 甲口袋中
各装有 1 个黑球和 2 个白球，乙口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，现从甲、乙两口袋中各任取
一个球交换放入另一口袋，重复进行 n(n ∈ N*) 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为
Xn，恰有 1 个黑球的概率为 pn，则 p1 的值是
雅礼中学 2025 届高三月考试卷 (一) 数学
命题人：汤灏、伊波、赵志会 审题人：李云皇、汤灏、伊波、赵志会
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知集合 A = x ∣ log2x > 1 ,B = {x ∣ 0 < x < 4}, 则 A ∩ B = ( ) A. {x ∣ 2 < x < 4} B. {x ∣ 2 ≤ x < 4} C. {x ∣ 0 < x ≤ 2} D. {x ∣ x ≤ 2}
A. 若 |PQ| = 2 7 , 则 PF ⊥ QF
B. 若 PF ⊥ QF, 则 △PQF 的面积为 4
C. |PF| > 2 |PN |
D.题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若曲线 y = xlnx 上点 P 处的切线平行于直线 2x - y + 1 = 0, 则点 P 的坐标是