《精编》广东省深圳高级中学高三数学第一次测试题 文 新人教A版.doc

高级中学-学年第一学期高三第一次测试 数学(文科)
本试卷共4页，21小题，总分值150分。

考试用时l20分钟。

本卷须知：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室
号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；
不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：锥体的体积公式1
3
V Sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．
一、选择题：〔本大题共l0小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

〕 1． =++-i
i i 1)21)(1(
( )
A ．i --2
B ．i +-2
C ．i -2
D ．i +2 2．集合M=｛x |4|3|≤-x ｝, N=｛x x y y -+-=
22|｝, 那么 M N = ( )
A.{0}
B.{2}
C. Φ
D. {}72|≤≤x x
3．假设函数3
()f x x =(x R ∈)，那么函数()y f x =-在其定义域上是
A ．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C ．单凋递增的偶函数 D.单调递增的奇函数
4．对任意实数x , 假设不等式k x x >+++|1||2|恒成立, 那么实数k 的取值范围是 ( )
A ． k ≥1 B. k >1 C . k ≤1 D . k <1
5．假设函数f(x)=x 3
+x 2
-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程x 3
+x 2
-2x-2=0的一个近似根〔精确到0.1〕为〔 〕
A 、1.2
B 、1.3 C
6．在空间，以下命题正确的选项是〔 〕
A. 假设三条直线两两相交，那么这三条直线确定一个平面
f(1)=-2
B. 假设直线m 与平面α内的一条直线平行，那么m//α
C. 假设平面αβαβ⊥=，且 l ，那么过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β
D. 假设直线a//b ，且直线l a ⊥，那么l b ⊥ 7．图l 是某县参加年高考的 学生身高条形统计图，从左到右 的各条形表示的学生人数依次记 为1A 、2A 、…、m A (如2A
表示身高(单位：cm )在[150， 155)内的学生人数)．图2是统计 图l 中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图．现要统计 身高在160～180cm (含
160cm ，不含180cm )的学生人
数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A ．9i <
B ．8i <
C ．7i <
D ．6i <
8．假设m 、n 都是正整数，那么“m 、n 中至少有一个等于1”是“m n mn +>〞的〔 〕 A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件
9．f x x x f x f x a f b f ()ln ()()'()()'()=>==0712，的导数是，若，，c f ='()13
，那么a 、b 、c 的大小关系是〔 〕
A. c<b<a
B. a<b<c
C. b<c<a
D. b<a<c
10．定义在R 上的函数()f x 的图像关于点304⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，对称，且满足3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，
(0)2f =-，那么(1)(2)(2006)f f f +++ 的值为 A ．2- B ．0 C ．1
D ．2
二、填空题：〔本大题共5小题，每题5分，总分值20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．〕
11．假设椭圆经过点〔2，3〕，且焦点为），（），，（020221F F -，那么这个椭圆的离心率等于_________________：
12．一个正方体的全面积为a 2
，它的顶点全都在一个球面上，那么这个球的外表积为______________：
13．数列{n a }的前n 项和2
9n S n n =-，假设它的第k 项满足58k a <<，那么
k = ．
14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l 的方程为2cos 4sin 3=-ϑρϑρ，
那么点〔)4
,2π
-
到直线l 的距离为 ．
15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O 的直径AB=6，C 为圆周 上一点，3BC =过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ， 那么∠DAC= ．
三、解答题：〔本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．〕 16．(本小题总分值12分)
2sin 22cos 2)(2+--=x x x f 定义域为R ， 〔1〕求)(x f 的值域； 〔2在区间]2,2[π
π-
上，3)(=αf ，求)3
2sin(π
α+〕
17. (本小题总分值14分)
如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是正方形，侧棱
底面ABCD ，
，E 是PC 的中点，作交PB 于点F ；
(I)证明 平面
；
(II)证明平面EFD ；
18(本小题总分值14分)
甲乙二人用4张扑克牌〔分别是红桃2, 红桃3, 红桃4, 方片4〕玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，反面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
〔Ⅰ)设(,)i j 分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况． 〔Ⅱ)假设甲抽到红桃3，那么乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
〔Ⅲ〕甲乙约定：假设甲抽到的牌的牌面数字比乙大，那么甲胜，反之，那么乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
19(本小题总分值14分)
直线)0(1122
22>>=++-=b a b
y a x x y 与椭圆相交于A 、B 两点。

〔1〕假设椭圆的离心率为
3
3
，焦距为2，求椭圆的标准方程； 〔2〕假设OB OA ⊥〔其中O 为坐标原点〕，当椭圆的离率]2
2
,2
1[∈e 时，求椭圆的长轴长的最大值。

20．(本小题总分值12分)
等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3=5，S 15=225. 〔Ⅰ〕求数列{a n }的通项a n ；
〔Ⅱ〕设b n =n a
2+2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
21．(本小题总分值l4分)
函数f(x)=ax 3+bx 2
－3x 在x=±1处取得极值. 〔Ⅰ〕求函数f(x)的解析式；
〔Ⅱ〕求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤4； 〔Ⅲ〕假设过点A 〔1，m 〕〔m ≠－2〕可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围.
数学(文科)参考答案
一选择题: CABDC DBCBD
二填空题: 11. 21 12. 2
2a 13. 8 14. 59 15. 30︒
三解答题:
16.解: 〔1〕1)2
2(sin 22sin 22)sin 1(2)(2
2
--
=+---=x x x x f []1,1sin ,-∈∈x R x 值域[]
222,1+-
〔2〕由〔1〕得，31)2
2(sin 2)(2
=--
=ααf 2)22(sin 2=-
∴α，又⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈2,2ππα ，4πα-=∴
2
1
)6sin()32
sin()3
2sin(-=-=+
-
=+
∴ππ
π
π
α 17．(I)证明：连结AC ，AC 交BD 于O 。

连结EO 。

底面ABCD 是正方形，点O 是AC 的中点
在中，EO 是中位线，。

而平面EDB 且
平面EDB ，
所以，平面EDB 。

(II)证明：
底在ABCD 且
底面ABCD ，
①
同样由
底面ABCD ，得
底面ABCD 是正方形，有平面PDC
而平面PDC ，
② 由①和②推得平面PBC
而平面PBC ，
又且
，所以
平面EFD
18解: 解：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4 ’表示)为：
〔2，3〕、〔2，4〕、〔2，4 ’〕、〔3，2〕、〔3，4〕、〔3，4 ’〕、
〔4，2〕、〔4，3〕、〔4，4 ’〕、〔 4 ’，2〕、〔4 ’，3〕〔4 ’，4〕， 共12种不同情况
〔2〕甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4．因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
3
2
； 〔3〕由甲抽到牌比乙大有〔3，2〕、〔4，2〕、〔4，3〕、〔4 ’，2〕、〔4 ’，3〕5种， 甲胜的概率1512p =
，乙获胜的概率为21712p =．∵125＜12
7
， ∴此游戏不公平． 19解: 〔1〕.2,3,22.3
3
,3322=-=====
c a b a c a c e 则解得又即 .12
32
2=+∴y x 椭圆的标准方程为
〔2〕由,0)1(2)(,1,122222222
22=-⋅+-⋅+⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+
b a x a x b a y x y b y a x 得消去
由.1,0)1)((4)2(2
2
2
2
2
2
2
2>+>-+--=∆b a b b a a a 整理得
222112212122222
2(1)
(,,),(,),,.a a b A x y B x y x x x x a b a b -+==++设则
.1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y …………7分
.01)(2,0),(21212121=++-=+∴⊥x x x x y y x x O OB OA 即为坐标原点其中
.02.012)1(22
2222
222222=-+=++-+-∴b a b a b a a b a b a 整理得 2
222222211
12,e a e a a c a b -+
=-=-=代入上式得 ，
).111(2122e
a -+=
∴ 22212111341[,,1,2,22422431e e e e ∈∴≤≤∴≤-≤∴≤≤-
2
222
717313,,1,3162
a a
b e ∴≤+≤∴≤≤+>-适合条件 由此得
.26642≤≤a .6,623
42
故长轴长的最大值为≤≤∴a
20解: ．解：〔Ⅰ〕设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意，得
⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯+=+5.22214
15155
211d a d a 解得 ⎩⎨⎧==211d a ∴a n =2n －1 〔Ⅱ〕n n b n
a n n
242
122
+⋅=
+=， ∴n n b b b T +++= 21
)21(2)444(2
1
2n n +++++++=
=
n n n ++-+2164
4 3
2432-++⋅=
n n n n 21解: 〔I 〕f ′(x)=3ax 2
+2bx －3，依题意，f ′(1)=f ′(－1)=0， 即,03230
323⎩
⎨
⎧=--=-+b a b a
解得a=1，b=0.
∴f(x)=x 3
－3x.
〔II 〕∵f(x)=x 3－3x,∴f ′(x)=3x 2
－3=3(x+1)(x －1)，
当－1<x<1时，f ′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数， f max (x)=f(－1)=2，f min (x)=f(1)=－2
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2， 都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x) －f min (x)|
|f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x)－f min (x)|=2－(－2)=4[来源:学_科_网]
〔III 〕f ′(x)=3x 2
－3=3(x+1)(x －1)，
∵曲线方程为y=x 3
－3x ，∴点A 〔1，m 〕不在曲线上.
设切点为M 〔x 0，y 0〕，那么点M 的坐标满足.303
00x x y -= 因)1(3)(200-='x x f ，故切线的斜率为 13)1(3003
020
---=
-x m
x x x ， 整理得03322
030=++-m x x .
∵过点A 〔1，m 〕可作曲线的三条切线， ∴关于x 0方程3322
03
0++-m x x =0有三个实根.
设g(x 0)= 3322
03
0++-m x x ，那么g ′(x 0)=602
06x x -，
由g ′(x 0)=0，得x 0=0或x 0=1. ∴g(x 0)在〔－∞，0〕，〔1，+∞〕上单调递增，在〔0，1〕上单调递减.
∴函数g(x 0)= 3322030++-m x x 的极值点为x 0=0，x 0=1 ∴关于x 0方程3322030++-m x x =0有三个实根的充要条件是
⎩
⎨
⎧<>0)1(0
)0(g g ，解得－3<m<－2. 故所求的实数a 的取值范围是－3<m<－2.。