高中数学 电子题库 第一章 8知能演练轻松闯关 必修4 试题

高中数学 电子题库 第一章 8知能演练轻松闯关 北师大版必
修4
1.函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2＋π5的周期、振幅依次是( )
A ．4π，－2
B ．4π，2
C ．π，2
D ．π，－2
解析：选B.T ＝2π
12
＝4π，A ＝2.
2.(2021·高一检测)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π3的图像可将y ＝sin x
2的图像( )
A ．向右平移π
6个单位长度
B ．向左平移2π
3个单位长度
C ．向右平移π
3个单位长度
D ．向左平移π
3
个单位长度
解析：选B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3，所以可将y ＝sin x 2向左平移2π3个单位长度
得到．
3.把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的1
3倍，得到________的
图像．
解析：将y ＝sin x 的图像横坐标缩短到原来的1
3倍得y ＝sin3x 的图像，纵坐标再缩短为
原来的13倍得到y ＝1
3
sin3x 的图像．
答案：y ＝1
3
sin3x
4.(2021·质检)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的值域是________．
解析：∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤x －π6≤π
6
，
∴－1≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6≤1
2，故y ∈[－2，1]．
答案：[－2，1]
[A 级 根底达标]
1.函数y ＝－5
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋23π间隔 原点最近的零点是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫π12，0
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，0 解析：选A.令4x ＋2π
3＝k π，
那么x ＝－π6＋k π
4
(k ∈Z )．
当k ＝0时，x ＝－π6；当k ＝1时，x ＝π
12
.
∴点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12，0为所求．
2.(2021·高一检测)给出几种变换：(1)横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；(2)横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标不变；(3)向左平移π3个单位长度；(4)向右平移π
3个单位
长度；(5)向左平移π6个单位长度；(6)向右平移π
6个单位长度，那么由函数y ＝sin x 的图像
得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，可以施行的方案是( ) A ．(1)→(3) B ．(2)→(3) C ．(2)→(4)
D ．(2)→(5)
解析：选D.由y ＝sin x 的图像到y ＝sin(2x ＋π
3)的图像可以先平移变换再周期变换，
即(3)→(2)；也可以先周期变换再平移变换，即(2)→(5)．
3.如图，为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 在一个周期内的图像，那么这个函数的一个解析
式为( )
A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1
B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π3－1 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1 D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 解：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧A ＋k ＝1－A ＋k ＝－3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧A ＝2
k ＝－1.
由T ＝11π12＋π12＝π，得ω＝2πT ＝2π
π＝2，
∴y ＝2sin(2x ＋φ)－1.
将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入上式， 得1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ－1，
∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋φ＝1，
∴π3＋φ＝π
2
＋2k π， ∴φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，令k ＝0，得φ＝π6.
∴y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1为所求．
4.函数y ＝sin2x 的图像向右平移φ个单位(φ>0)得到的图像恰好关于x ＝π
6对称，那
么φ的最小值是________．
解析：向右平移后得到y ＝sin[2(x －φ)]，而x ＝π6是对称轴，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－φ＝k π＋π2(k ∈Z )，
∴φ＝－k π2－π12(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ＝512π.
答案：5
12
π
5.关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π3(x ∈Z )的说法如下：
①y ＝f (x )的解析式可改写为y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；
②y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；
③y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0对称；
④y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π
6对称．
其中，正确的说法是________．
解析：∵4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴①正确；②④不正确；而③中f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0是对称中心，故③正确．
答案：①③
6.(2021·质检)某简谐运动的图像对应的函数解析式为：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.
(1)指出此简谐运动的周期、振幅、频率、相位和初相； (2)利用“五点法〞作出函数在一个周期(闭区间)上的简图； (3)说明它是由函数y ＝sin x 的图像经过哪些变换而得到的．
解：(1)周期：π；振幅：2； 频率：1π；相位：2x －π4；初相：－π
4.
(2)第一步：列表
x
π
8 3π8 5π8 7π8 9π8
2x －π4
0 π
2 π 3π2 2π sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4 0 1 0 －1 0 y
2
－2
第二步：描点
第三步：连线画出图像如下图：
(3)①先将函数y ＝sin x 的图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短至原来的一半得到函数
y ＝sin2x 的图像；
②再将函数y ＝sin2x 的图像右平移π8个单位长度得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像； ③最后再将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍
得到函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像．
[B 级 才能提升]
7.设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π
3个单位长度后，所得的图
像与原图像重合，那么ω的最小值等于( )
A.13 B ．3 C ．6
D ．9
解析：选C.由题π3＝2π
ω
·k (k ∈Z )，解得ω＝6k ，令k ＝1，即得ωmin ＝6.
8.(2021·高考卷)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.假设
f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2
时，f (x )获得最大值，那么( )
A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数
B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数
C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数
D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数
解析：选A.∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝1
3.
∵当x ＝π
2
时，f (x )有最大值，
∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π
3＋2k π. ∵－π<φ≤π，∴φ＝π3
.
∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3＋π3，由此函数图像易得，
在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－
3π，－π]或者[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．
9.(2021·高考卷)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的局部图像如下图，那么f (0)＝________．
解析：根据图像可知A ＝2，四分之一周期为14π，所以周期为π，由ω＝2π
T ＝2，
根据五点作图法可知2×7π12＋φ＝3π
2，
解得φ＝π
3
，
所以解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以f (0)＝62
. 答案：
6
2
10.(2021·高一检测)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π，x ∈R )的局部
图像如下图．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数y ＝f (－x )的单调区间及在x ∈[－2，2]上的最值，并求出相应的x 的值． 解：(1)由图像知A ＝2，T ＝8.
∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π
4，又图像经过点(1，2)，
∴2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4＋φ＝2，
π4＋φ＝2k π＋π
2，(k ∈Z )， 即φ＝2k π＋π
4，(k ∈Z )．
∵|φ|<π，∴φ＝π
4
，
∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
x ＋π4.
(2)y ＝f (－x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4x ＋π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
x －π4
由2k π－π2≤π4x －π4≤2k π＋π
2，得8k －1≤x ≤8k ＋3，k ∈Z ，故y ＝f (－x )在[8k －
1，8k ＋3]，k ∈Z 上是减少的；同理，函数在[8k ＋3，8k ＋7]，k ∈Z 上是增加的．
∵x ∈[－2，2]，由上可知当x ＝－1时，y ＝f (－x )取最大值2；当x ＝2时，y ＝f (－
x )取最小值－ 2.
11.(创新题)将函数y ＝lg x 的图像向左平移一个单位长度，可得函数f (x )的图像；将函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )的图像． (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图像； (2)判断方程f (x )＝g (x )解的个数．
解：函数y ＝lg x 的图像向左平移一个单位长度，可得函数f (x )＝lg(x ＋1)的图像，即图像C 1；函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )＝
cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－π6＝cos2x 的图像，即图像C 2. 画出图像C 1和C 2的图像如图：
由图像可知：两个图像一共有5个交点．
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

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