八年级初二数学第二学期勾股定理单元 期末复习提优专项训练试题

一、选择题
1．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ，其中116S =，245S =，511S =，614S =，则43S S +=（ ）．
A ．86
B ．61
C ．54
D ．48
2．已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BQ ＝AC ，点F 在CE 的延长线上，CF ＝AB ，下列结论错误的是（ ）．
A ．AF ⊥AQ
B ．AF=AQ
C ．AF=A
D D ．F BAQ ∠=∠
3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，在矩形内部有一动点P 满足S △PAB ＝3S △PCD ，则动点P 到点A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为（ ）
A ．5
B ．35
C ．332+
D ．2134．已知，如图，ABC ，点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ，边AB 上的两个动点，45C ︒∠=，6BC =，则PB PQ +的最小值是（ ）
A ．3
B ．23
C ．4
D ．32 5．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）
A ．47
B ．62
C ．79
D ．98
6．如图，□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．32
D ．3
7．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45︒，若AD =4，CD =2，则BD 的长为（ ）
A ．6
B ．7
C ．5
D ．258．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c ===
B ．5,5,52a b c ===
C ．::3:4:5a b c =
D ．11,12,13a b c ===
9．为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（ ）
A．0.6米B．0.7米C．0.8米D．0.9米
10．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为
（）
A．5B．7C．5或7D．3或4
二、填空题
11．如图，在四边形ABCD中，AB =AD，BC=DC，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE 与BD交于点F，且CE∥AB，若 A =60°，AB=4，CE=3，则BC的长为_______．
12．如图，四边形ABDC中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝43，则该四边形的面积是______．
13．如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________
14．如图，正方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm．
15．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm、30cm、60cm，一只蚂蚁从点A处沿着纸箱的表面爬到点B处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，BD是高，则点BD的长为_____．
17．如图，E为等腰直角△ABC的边AB上的一点，要使AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，则PB＋PE的最小值为____________．
18．如图所示，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．
19．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．
20．如图，直线
4
2
3
y x
=+与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段OA上的一
点，若将ABC
∆沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的'A处，则点C的坐标为______.
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1 cm/s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动，若M ，N 同时分别从A ，B 出发．
(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．
22．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ． （1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；
（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；
（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．
23．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．
（1）当2t =秒时，求PQ 的长；
（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？
（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
24．已知a ，b ，c 88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
25．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．
(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；
②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；
(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．
26．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .
（1）直接写出BC =__________，AC =__________；
（2）求证：ABD ∆是等边三角形；
（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；
（4）P是直线AC上的一点，且
1
3
CP AC
，连接PE，直接写出PE的长.
27．如图，点A是射线OE：y＝x（x≥0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点B作OA的平行线交∠AOB的平分线于点C．
（1）若OA＝52，求点B的坐标；
（2）如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：CG＝CH．
（3）①若点A的坐标为（2，2），射线OC与AB交于点D，在射线BC上是否存在一点P 使得△ACP与△BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P1（2，2），P2（2，22），P3
（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP与△BDC全等的点是．（写出你认为正确的点）
28．如图1, △ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a，且点A、D、E在同一直线上，连结BE.
(1)求证: AD=BE.
(2)如图2,若a=90°，CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10, 试求AB的长.
(3)如图3,若a=120°, CM⊥AE于E, BN⊥AE于N, BN=a, CM=b,直接写出AE的值(用a, b 的代数式表示).
29．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .
①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD
()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；
()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
设1S ，2S ，3S 对应的边长为1L ，2L ，3L ，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性
质，得23L ，从而计算得到3S ；设4S ，5S ，6
S 对应的边长为4L ，5L ，6L ，通过圆形面积和勾股定理性质，得24L ，从而计算得到4S ，即可得到答案．
【详解】
分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S
则1S ，2S ，3S 对应的边长设为1L ，2L ，3L
根据题意得：211111162S L L ===
222454S L =
= ∴2
1L =，22L =∵222132L L L += ∴222
32129L L L =-=
∴2
332929S === 以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6
S 则4S ，5S ，6
S 对应的边长设为4L ，5L ，6L 根据题意得：2
255511228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭ 2266614228
L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭ ∴25811L π=⨯，26814L π=⨯ ∵222564L L L += ∴()22245688111425L L L ππ=+=
⨯+=⨯ ∴2448S 252588L π
π
π==⨯⨯=
∴43292554S S +=+=
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算的性质，从而完成求解．
2．C
解析：C
【分析】
根据BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，推导出EBH DCH ∠=∠；再结合题意，可证明FAC AQB △≌△，由此可得F BAQ ∠=∠,AF AQ =；再经90AEF ∠=得
90F FAE ∠+∠=，从而证明AF ⊥AQ ；最后由勾股定理得222AQ AD QD =+，从而得
到AF AD ≠，即可得到答案．
【详解】
如图，CE 和BD 相较于H
∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高
∴CE AB ⊥,BD AC ⊥
∴90BEC BDC AEF ADQ ∠=∠=∠=∠=
∴90EBH EHB DHC DCH ∠+∠=∠+∠=
∵EHB DHC ∠=∠
∴EBH DCH ∠=∠
又∵BQ ＝AC 且CF ＝AB
∴FAC AQB △≌△
∴F BAQ ∠=∠,AF AQ =，故B 、D 结论正确；
∵90AEF ∠=
∴90F FAE ∠+∠=
∴90BAQ FAE F FAE ∠+∠=∠+∠=
∴AF ⊥AQ 故A 结论正确；
∵90ADQ ∠=
∴222AQ AD QD =+
∵0QD ≠
∴AQ AD ≠
∴AF AD ≠
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解．
3．B
解析：B
【分析】
首先由PAB PCD S =3S △△，得知动点P 在与AB 平行且与AB 的距离为3的直线l 上，作点A 关于直线l 的对称点E ，连接AE 、BE ，则BE 的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形ABE 中，由勾股定理求得BE 的值，即PA+PB 的最小值．
【详解】
解：∵PAB PCD S =3S △△， 设点P 到CD 的距离为h ，则点P 到AB 的距离为(4-h ), 则11AB (4-h)=3CD h 22
⋅⋅⨯⋅⋅，解得：h=1，∴点P 到CD 的距离1，到AB 的距离为3， ∴如下图所示，动点P 在与AB 平行且与AB 的距离为3的直线l 上，作点A 关于直线l 的对称点E ，连接AE 、BE ，且两点之间线段最短，
∴PA+PB 的最小值即为BE 的长度，AE=6，AB=3，∠BAE=90°，
根据勾股定理：22222BE =AE AB =63=35++
故选：B ．
【点睛】
本题考查了轴对称—最短路线问题（两点之间线段最短），勾股定理，得出动点P 所在的位置是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
先根据等腰三角形的性质得出AD 是线段QE 垂直平分线，再根据垂直平分线的性质、两点之间线段最短得出PB PQ +最小值为BE ，最后根据垂线段最短、直角三角形的性质得出BE 的最小值即可得．
【详解】
如图，作QE AD ⊥，交AC 于点E ，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD=∠CAD ，
AD ∴是线段QE 垂直平分线（等腰三角形的三线合一）
PQ PE ∴=
PB PQ PB PE ∴+=+
由两点之间线段最短得：当点,,B P E 共线时，PB PE +最小，最小值为BE
点,P Q 都是动点
BE ∴随点,P Q 的运动而变化
由垂线段最短得：当BE AC ⊥时，BE 取得最小值
在Rt BCE ∆中，456,C C B ∠=︒= 2322
BE CE BC ∴=== 即PB PQ +的最小值为32
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短和垂线段最短确认PB PQ +的最小值是解题关键．
5．C
解析：C
【分析】
依据每列数的规律，即可得到222
1,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值. 【详解】
解：由题可得：222
321,42,521=-==+…… 2221,,1a n b n c n ∴=-==+
当21658c n n =+==时，
63,16x y ∴==
79x y ∴+=
故选C
【点睛】
本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=2BE．又B′E是BD 的中垂线，则DB′=BB′．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，
∴BE=1
2
BD=1．
如图2，连接BB′．
根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．
∴∠BEB′=90°，
∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=2BE=2,
又∵BE=DE，B′E⊥BD，
∴DB′=BB′=2．
故选B．
【点睛】
考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．
【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，
则有∠AD′D=∠D′AD=45 ，
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD 与△CAD′中，''BC CA BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），
∴BD=CD′，
∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=22'
AD AD +＝42，
∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得
CD′=22DC DD +'=()22422+=6，
故选A.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线作出全等图形是解题关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．
【详解】
解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；
B 、因为52+52=(252
，故能构成直角三角形； C 、因为()()()222
345x x x +=，故能构成直角三角形；
D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形． 9．B
解析：B
【解析】
试题解析：依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定
理得：梯脚与墙角距离：22
-=0.7（米）．
2.5 2.4
故选B．
10．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理和分类讨论的方法可以求得第三边的长，从而可以解答本题．
【详解】
由题意可得，当3和4为两直线边时，第三边为：22
+＝5，
43
当斜边为4时，则第三边为：22
43
-＝7，
故选：C
【点睛】
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和分类讨论的数学思想解答．
二、填空题
11．7
【分析】
连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD，BO＝OD，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF，由勾股定理可求OC，BC的长．
【详解】
连接AC，交BD于点O，
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝4，BO＝OD＝2，
∵CE∥AB，
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°，
∴∠DAO＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE＝3，
∴DE ＝AD−AE ＝1，
∵∠CED ＝∠ADB ＝60°，
∴△EDF 是等边三角形，
∴DE ＝EF ＝DF ＝1，
∴CF ＝CE−EF ＝2，OF ＝OD−DF ＝1，
OC ∴=
∴
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
12．
【分析】
延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，利用含30角的直
角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出AE =．同理，在Rt DEC ∆中
求出2CE CD ==12DE ==，然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形，计算即可求解．
【详解】
解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，
∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=︒，AB AC ⊥，BD CD ⊥，
∴60C ∠=°，
∴30E ∠=︒，
在Rt ABE ∆中，4AB =，30E ∠=︒，
∴28BE AB ==，
AE ∴=．
在Rt DEC ∆中，30E ∠=︒，CD =
2CE CD ∴==
12DE ∴=，
∴142
ABE S ∆=⨯⨯= 1
122
CDE S ∆=⨯=
CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=四边形．
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．
【解析】
【分析】
延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.
【详解】
如图，延长AD、BC相交于E，
∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,
∴∠E=30°
∴AE=2AB，CE=2CD
∵AB=3，AD=4,
∴AE=6, DE=2
设CD=x,则CE=2x，DE=x
即x=2
x=
即CD=
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE和直角△CDE，是解题的关键．
14．55 【解析】 【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
展开图如图所示：
由题意，在Rt △APQ 中，PD=10cm ，DQ=5cm ，
∴蚂蚁爬行的最短路径长=PQ=2222105PD QD +=+=55（cm ），
故答案为：55．
【点睛】
本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
15．100
【解析】
蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线：
第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是90cm 和50cm ，
则所走的最短线段AB==10cm ；
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是110cm和30cm，
所以走的最短线段AB==10cm；
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是80cm和60cm，
所以走的最短线段AB==100cm；
三种情况比较而言，第三种情况最短．
故答案为100cm．
点睛：本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．
16．48 5
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC边上的高为8，然后根据三角形的面
积法可得11
10128
22
BD
⨯⨯=⨯⨯，解得BD=
48
5
.
17．5
【解析】
试题分析：作点B关于AC的对称点F，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB+PE 的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF的长即可，因此要先求AF的长，证明
△ADF≌△CDB，可以解决这个问题，从而得出EF=5，则PB+PE的最小值为5．
解：如图，过B作BD⊥AC，垂足为D，并截取DF=BD，连接EF交AC于P，连接PB、AF，
则此时PB +PE 的值最小，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB =CB ,∠ABC =90°，AD =DC ，
∴∠BAC =∠C =45°，
∵∠ADF =∠CDB ，
∴△ADF ≌△CDB ，
∴AF =BC ,∠FAD =∠C =45°，
∵AE =3，BE =1，
∴AB =BC =4，
∴AF =4，
∵∠BAF =∠BAC +∠FAD =45°+45°=90°,
∴由勾股定理得：EF 22AF AE +2243+，
∵AC 是BF 的垂直平分线，
∴BP =PF ，
∴PB +PE =PF +PE =EF =5，
故答案为5.
点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.
18．
78
【解析】 试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可．
试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，
∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，
∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，
∴∠DAC=∠D′AC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，
设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ，
在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，
∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=78
， 即BE 的长为
78
． 19．17，144，145
【分析】 由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．
【详解】
解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，
继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m ，则弦为m+1，
所以有22217(1)m m +=+，解得144m =，1145m +=，即第8组勾股数为17，144，145.
故答案为17，144，145.
【点睛】
本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可．
20．（0，
34）. 【分析】 由423
y x =+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53122
OA '=
-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】 在423
y x =+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2） 当y=0时，得4203x +=，∴32x =-，∴B(32
-,0), 在Rt △AOB 中，∠AOB=90︒，OA=2，OB=
32,
∴52AB =
==, ∴53122
OA '=-=, 设点C 的坐标为（0，m ）
由翻折得ABC A BC '≌，
∴2A C AC m '==-，
在Rt A OC '中， 222A C OC A O ''=+,
∴222(2)1m m -=+，解得m=
34， ∴点C 的坐标为（0，
34）. 故答案为：（0，
34
）. 【点睛】 此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC A BC '≌是解题的关键，得到OC 与A’C 的数量关系，利用勾股定理求出点C 的坐标.
三、解答题
21．(1) 出发10s 后，△BMN 为等边三角形；(2)出发6s 或15s 后，△BMN 为直角三角形．
【分析】
（1）设时间为x ，表示出AM=x 、BN=2x 、BM=30-x ，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=
12BM 列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=
12BN 列方程求解可得． 【详解】
解 (1)设经过x 秒，△BMN 为等边三角形，
则AM ＝x ，BN ＝2x ，
∴BM ＝AB －AM ＝30－x ，
根据题意得30－x ＝2x ，
解得x ＝10，
答：经过10秒，△BMN 为等边三角形；
(2)经过x 秒，△BMN 是直角三角形，
①当∠BNM ＝90°时，
∵∠B ＝60°，
∴∠BMN ＝30°，
∴BN ＝12BM ，即2x ＝12
(30－x)， 解得x ＝6；
②当∠BMN ＝90°时，
∵∠B ＝60°，
∴∠BNM ＝30°，
∴BM ＝12BN ，即30－x ＝12
×2x ， 解得x ＝15，
答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.
22．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2+CE2＝BC2，证明见解析．【分析】
（1）先判断出∠BAE=∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论．
（2）先求出∠CDA=1
2
∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论．
（3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判断出CD2+CE2=2AC2．即可得出结论．
【详解】
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE．
（2）如图2，连结BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵CD⊥AE，
∴∠CDA＝1
2
∠ADE＝
1
2
×60°＝30°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，
∴BD5．
（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：
如图3，连结BE．
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．
∴BC2＝CD2+CE2．
解法二：
如图4，过点A作AP⊥DE于点P．
∵△ADE 为等腰直角三角形，AP ⊥DE ，
∴AP ＝EP ＝DP ．
∵CD 2＝（CP +PD ）2＝（CP +AP ）2＝CP 2+2CP •AP +AP 2，
CE 2＝（EP ﹣CP ）2＝（AP ﹣CP ）2＝AP 2﹣2AP •CP +CP 2，
∴CD 2+CE 2＝2AP 2+2CP 2＝2（AP 2+CP 2），
∵在Rt △APC 中，由勾股定理可知：AC 2＝AP 2+CP 2，
∴CD 2+CE 2＝2AC 2．
∵△ABC 为等腰直角三角形，由勾股定理可知：
∴AB 2+AC 2＝BC 2，即2AC 2＝BC 2，
∴CD 2+CE 2＝BC 2．
【点睛】
本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD ，解（2）（3）的关键是判断出BE ⊥DE ，是一道中等难度的中考常考题．
23．（1）132）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒
【分析】
（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可； （2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；
（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；
②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；
③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．
【详解】
（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，
8216BP AB AP cm =-=-⨯=，
90B ∠=︒， 222246213()PQ BQ BP cm =+=+=； （2）解：根据题意得：BQ BP =，
即28t t =-，
解得：83
t =； 即出发时间为83
秒时，PQB ∆是等腰三角形； （3）解：分三种情况：
①当CQ BQ =时，如图1所示：
则C CBQ ∠=∠，
90ABC ∠=︒， 90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，
90A C ∠+∠=︒，
A ABQ ∴∠=∠
BQ AQ ∴=，
5CQ AQ ∴==，
11BC CQ ∴+=，
112 5.5t ∴=÷=秒．
②当CQ BC =时，如图2所示：
则12BC CQ +=
1226t ∴=÷=秒．
③当BC BQ =时，如图3所示：
过B 点作BE AC ⊥于点E ， 则68 4.8()10
AB BC BE cm AC ⨯=== 22 3.6CE BC BE cm ∴=-=，
27.2CQ CE cm ∴==，
13.2BC CQ cm ∴+=，
13.22 6.6t ∴=÷=秒．
由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，
BCQ ∆为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
24．（1）a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能，60
【分析】
（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长 【详解】
解：（1）∵a ，b ，c 88a a --|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，
2881||7(15)a a c b --+-＝﹣，
∴a ﹣8＝0，b ﹣15＝0，c ﹣17＝0，
∴a ＝8，b ＝15，c ＝17；
（2）能．
∵由（1）知a ＝8，b ＝15，c ＝17，
∴82+152＝172．
∴a 2+c 2＝b 2，
∴此三角形是直角三角形，
∴三角形的周长＝8+15+17＝40；
三角形的面积＝
12
×8×15＝60． 【点睛】
此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
25．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD ，证明详见解析
【分析】
（1）①根据旋转的性质可得CF=CD，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明
△ACD≌△BCF；
②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE 即可证明；
（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．
【详解】
解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°
∵∠ACD=90°
∴∠ACD=∠BCF
又∵AC=BC
∴△ACD≌△BCF
②证明：连接EF，
由①知△ACD≌△BCF
∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD
∴∠EBF=90°
∴EF2=BE2+BF2，
∴EF2=BE2+AD2
又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°
∴∠FCE=∠DCE=45°
又∵CD=CF，CE=CE
∴△DCE≌△FCE
∴EF=DE
∴DE2= AD2+BE2
⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD
理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，
∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD
∵AC=BC，∠ACB=60°
∴∠CAB=∠CBA =60°
∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°
∴BG=12BF ，FG=32
BF ∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，
∴∠ACD+∠BCE=30°，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°
∵CD=CF ，CE=CE
∴△ECF ≌△ECD
∴EF=ED
在Rt △EFG 中，EF 2=FG 2+EG 2
又∵EG=EB+BG
∴EG=EB+12
BF ， ∴EF 2=（EB+12BF ）2+（3BF ）2 ∴DE 2= （EB+
12AD ）2+（32AD ）2 ∴DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．
26．（1）2，232）证明见解析（3）
2217（4）233221【分析】
（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长； （2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；
（3）由（1）（2）可知，=23AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；
（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.
【详解】
（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =， ∴122BC AB ==，∴22=23AC AB BC =-； （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，
在Rt △BDE 中，
∵122BE AE AB ===，23DE =， ∴22=4BD BE DE =+，
∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，
∴ABD ∆为等边三角形； （3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4，
∴22=27CD AC AD =+，
∵BCD ACD ACBD S S
S =+四边形， ∴111()222
BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴2217BF =
； （4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，
如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，
∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1，
∵=23AC ，∴=3CQ QA =，
①若点P 在线段AC 上，
则23=333PQ CQ CP =-=， ∴2223PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上，
则
253
=33
33 PQ CQ CP
=++=，
∴22
221 =
PE PQ EQ
=+；
综上，PE的长为23
或
221
.
【点睛】
本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF的长，二是对点P的位置要分情况进行讨论.
27．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P（4，2），②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．
理由见解析
【分析】
（1）由题意可以假设A（a，a）（a＞0），根据AB2+OB2=OA2，构建方程即可解决问题；（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF，CG=CF即可解决问题；
（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP=DB，连接AP．只要证明
△ACP≌△CDB（SAS），△ABP是等腰直角三角形即可解决问题；
②根据SAS即可判断满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3；
【详解】
解：（1）∵点A在射线y＝x（x≥0）上，故可以假设A（a，a）（a＞0），
∵AB⊥x轴，
∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，
∴AB2+OB2＝OA2，
∴a2+a2＝（52）2，
解得a＝5，
∴点B坐标为（5，0）．
（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．
∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，
∴CH＝CF，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵BC∥OE，
∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，
∵CG⊥BA，CF⊥BF，
∴CG＝CF，
∴CG＝CH．
（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．
由（2）可知AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝1
2
∠DAE＝
1
2
（180°﹣45°）＝67.5°，
由OC平分∠AOB得到∠DOB＝1
2
∠AOB＝22.5°，
∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，
∴AC＝DC，
∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，
∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
在△ACP和△CDB中，
AC AD
ACP DB CP DB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACP≌△CDB（SAS），
∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，
∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，
∴AP＝AB＝OB＝2，
∴P（4，2）．
②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．
理由：如图4中，
由题意：AP 1＝BD ，AC ＝CD ，∠CAP 1＝∠CDB ，根据SAS 可得△CAP 1≌△CDB ； AP 2＝BD ，AC ＝CD ，∠CAP 2＝∠CDB ，根据SAS 可得△CAP 2≌△CDB ；
AC ＝CD ，∠ACP 3＝∠BDC ，BD ＝CP 3根据SAS 可得△CAP 3≌△DCB ；
故答案为P 1、P 2，P 3．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（1）见解析；（2）26；（323+3 【分析】
（1）由∠ACB=∠DCE 可得出∠ACD=∠BCE ，再利用SAS 判定△ACD ≌△BCE ，即可得到AD=BE ；
（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=12
DE ，同（1）可证△ACD ≌△BCE ，得到AD=BE ，然后可求AE 的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB 的长；
（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出3，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt △BEN 中即可求出BE ，由于BE=AD ，所以利用AE=AD+DE 即可得出答案.
【详解】
证明：（1）∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE
在△ACD 和△BCE 中，
AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACD ≌△BCE （SAS ）
∴AD=BE
（2）∵∠DCE=90°，CD=CE ，
∴△DCE 为等腰直角三角形，
∵CM ⊥DE ，
∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点
∴
CM=12
DE ， ∴DE=2CM=14，
∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE
在△ACD 和△BCE 中，
AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACD ≌△BCE （SAS ）
∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE
∴AE=AD+DE=24
如图，设AE ，BC 交于点H ，
在△ACH 和△BEH 中，
∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH ，而∠CAH=∠EBH ，
∴∠BEH=∠ACH=90°，
∴△ABE 为直角三角形 由勾股定理得2222AB=AE BE =2410=26++
（3）由（1）（2）可得△ACD ≌△BCE ，
∴∠DAC=∠EBC ，
∵△ACB ，△DCE 都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=120°
∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，
∵CM ⊥DE ，
∴∠CMD=90°，DM=EM ，
∴CD=CE=2CM ，3CM
∴33
∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°， ∴∠NBE=30°，
∴BE=2EN ，EN
∵BN=a
∴=AD
∴+ 【点睛】
本题考查全等三角形的旋转模型，掌握此模型的特点得到全等三角形是关键，其中还需要用到等腰三角形三线合一与30度所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本知识点是关键.
29．(1)①见解析；②()22012x y x x
-=
<<-；（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；
②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证
△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.
（2）由（1）题已得EB=ED ，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE 交AD 于点M ，再连接MO 并延长交BC 于点N ，再连接DN 交AC 于点Q ，问题即得解决.
【详解】
（1）①证明：如图1，连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，
∴CB=CD ，∠BCE =∠DCE =45°，
又∵CE=CE ，∴△CBE ≌△CDE （SAS ），
∴EB=ED ，∠CBE =∠1，
∵∠BEC =90°，∠BCF =90°，
∴∠EBC +∠EFC =180°，
∵∠EFC +∠2=180°，
∴∠EBC =∠2，
∴∠1=∠2.
∴ED=EF ，
∴BE=EF .。