2019年高一年级上学期数学期中考试模拟试题(含解析)63
2019学年高一数学上学期期中试题(含解析)新目标版
2019级高一上学期期中教学质量检测数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数有意义，则：，整理可得：，则不等式即：，求解不等式可得：，则函数的定义域为：.本题选择B选项.2. 若函数（）的值域为，则集合为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】求解可得：，求解可得：，据此可得：.本题选择C选项.3. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：集合P表示直线上的点组成的集合，集合表示直线上的点组成的集合，求解方程组：可得：，据此可得： .本题选择C选项.4. 函数的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分类讨论：当时，由可得：，则：；当时，由可得：，满足题意，据此可得，所有零点之和为.本题选择A选项.5. 如图，设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，结合文氏图可得图中阴影部分表示的集合为：.本题选择D选项.6. 下列函数是偶函数且在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】逐一考查所给函数的性质：A.，函数是偶函数，在区间上单调递增；B.，函数是非奇非偶函数，在区间上单调递增；C.,函数是偶函数，在区间上单调递增；D.，函数是非奇非偶函数，在区间上不具有单调性；本题选择A选项.7. 已知是奇函数，则的值为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】法一：由可知，，又因为是奇函数，所以，即.法二：当时，，，所以，又因为是奇函数，所以，则，所以，，即.选A.8. 已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由指数函数的性质可得：，即：.本题选择D选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．9. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】结合“同族函数”的定义可得：当函数为“同族函数”时，函数肯定不是单调函数，选项中所给的函数都是单调函数，不合题意，本题选择B选项.10. 已知函数满足当时，；当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4∴＝f(3＋log23)＝11. 如图，为等腰直角三角形，直线与相交且，若直线截这个三角形所得的位于直线右侧的图形面积为，点到直线的距离为，在的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设AB=a，则y=a2−x2=−x2+a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方，本题选择C选项.12. 要使函数在上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，原问题等价于在区间上恒成立，分离参数有：，则，，结合二次函数的性质可知当时，，即实数的取值范围是.本题选择C选项......................二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知幂函数的图像经过点，那么这幂函数的解析式为__________.【答案】【解析】设指数函数的解析式为：，据此可得：，即幂函数的解析式为：.14. 已知函数则__________.【答案】【解析】由题意可得：.15. 对任意两实数，，定义运算“*”如下：则函数的值域为__________.【答案】【解析】由题意可得：运算“∗”定义的实质就是取两者之间的最小值，若，解得，此时f(x)=log2x，可得，此时函数的值域为，若，解得x≥1，此时，且，可得，，综上可得：f(x)⩽0；即函数的值域为：(−∞,0].点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．16. 已知定义在上的函数满足，且对于任意，，，均有.若，，则的取值范围为__________.【答案】【解析】定义在上的函数满足，且对于任意，，，均有，在上递减，在上递增，，因为是偶函数，所以或，可得或，故答案为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算下列各式：（1）；（2）.【答案】(1)1；(2)3.【解析】试题分析：(1)由题意结合分数指数幂的运算法则可得：原式.(2)利用对数的运算法则结合题意可得：原式.试题解析：（1）原式.（2）原式.18. 已知函（）.（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图像；（3）根据函数的图像写出函数的单调区间和函数的值域.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为；值域.【解析】试题分析：(1)分类讨论和两种情况可得函数的解析式为：(2)结合函数的解析式绘制函数的图象即可；(3)结合(2)中函数的图象可得：函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为；值域.试题解析：（1）分类讨论：当时，则：，当时，则：，综上可得，函数的解析式为：（2）绘制函数图象如图所示：（3）函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为；值域.19. 已知全集为，函数的定义域为集合，集合.（1）求；（2）若，，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意可得，，则∴.(2)结合(1)的结论可得，分类讨论和两种情况可得实数的取值范围是. 试题解析：（1）由得，函数的定义域，又，得，∴.（2）∵，①当时，满足要求，此时，得；②当时，要，则解得，由①②得，，∴实数的取值范围.20. 某电动小汽车生产企业，年利润（出厂价投入成本）年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万/辆，年销售量为辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应提高的比例为.同时年销售量增加的比例为.（1）写出本年度预计的年利润（万元）与投入成本增加的比例的函数关系式；（2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？【答案】(1)（）；(2)每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是（万元）.【解析】试题分析：(1)由题意可得函数的解析式为（）.(2)函数的解析式即.结合二次函数的性质可得每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是（万元）.试题解析：（1）由题意，得（）.即（）.（2）.∴当时，有最大值为（万元），∴每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是（万元）.点睛：二次函数模型的应用比较广泛，解题时，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．21. 已知函数（）是奇函数，（）是偶函数.（1）求的值；（2）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由于函数为奇函数，故有，由此求得.由于函数为偶函数，利用代入可求得，由此求得；（2）化简，又在区间上是增函数，所以当时，，由此列不等式组解得.试题解析：（1）因为为奇函数，且定义域为，所以，即，所以.……………2分因为，所以.……………4分又因为为偶函数，所以恒成立，得到.…………6分所以.（2）因为，所以.……………8分又在区间上是增函数，所以当时，.………9分由题意即.……………11分所以实数的取值范围是.………………12分考点：函数的奇偶性与单调性.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性.如果一个函数是奇函数，且在处有定义则有，利用这个知识点，代入可求解的.如果一个函数是偶函数，则需满足，利用这个知识点，可求解得得值.首先利用函数的单调性求出其最小值，右边含有参数的表达式小于这个最小值，由此解得的取值范围.22. 已知函数.（1）若，求的值域；（2）若存在实数，当，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)结合二次函数的性质分类讨论可得：当时，的值域为.当时，的值域为；当时，的值域为.(2)原问题即恒成立.构造二次函数，，则，再次构造函数，结合二次函数的性质可得的取值范围为.试题解析：（1）由题意得，当时，，，∴此时的值域为.当时，，，∴此时的值域为；当时，，，∴此时的值域为.（2）由恒成立得恒成立.令，，因为抛物线的开口向上，精品所以由恒成立知化简得令，则原题可转化为：存在，使得.即当时，.∵，∴的对称轴为，当，即时，，解得；当，即时，.∴解得.综上，的取值范围为.点睛：“三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值、二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决．- 11 -。
精品2019学年高一数学上学期期中试题(含解析)
2019级高一上半学期考试数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 实数不是下面哪一个集合的元素（）A. 整数集B.C.D.【答案】C【解析】由题意，C选项集合为，不包含1，故选C。
2. 不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，所以，故选D。
3. 已知幂函数的图象过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，则，，所以，故选D。
4. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，故选A。
5. 函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，由复合函数“同增异减”性质，的单调递减区间即单调递减区间，所以单调递减区间为，故选C。
6. 将函数的图象经过下列哪一种变换可以得到函数的图象（）A. 向左平移1个单位长度B. 向右平移1个单位长度C. 向左平移2个单位长度D. 向右平移2个单位长度【答案】B【解析】，所以是由右移1个单位得到，故选B。
7. 已知定义在上的减函数满足条件：对任意，总有，则关于的不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，得，所以，又在单调递减，所以，得，故选C。
8. 函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，，则或，故选B。
9. 若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，故选A。
10. 已知函数与的定义如下表：则方程的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】时，，是方程的解；时，，不是方程的解；时，，不是方程的解；所以方程的解集为，故选A。
..................11. 已知函数的值域是，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以在是奇函数，则，所以，故选D。
点睛：观察题目，题目函数较复杂，定义域为对称性区间，则函数很有可能具有对称性，经验证得到函数为奇函数，则值域的最大最小值互为相反数，得，所以。
2019年高一年级上学期数学期中考试模拟试题(含解析)6
高一（上）期中数学一、选择题（每题4分，共32分）1．（4分）下列给出的对象中，能表示集合的是（）A．一切很大的数 B．无限接近零的数C．聪明的人 D．方程x2=2的实数根2．（4分）集合{0}和∅的关系是（）A．{0}=∅B．{0}∈∅C．0⊆∅ D．∅⊆{0}3．（4分）集合{1，2，3}的真子集的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．84．（4分）下列函数中为偶函数的是（）A．B．y=﹣x C．y=x2D．y=x3+15．（4分）在从集合A到集合B的映射中，下面的说法中不正确的是（）A．A中的每一个元素在B中都有象B．A中的两个不同元素在B中的象必不相同C．B中的元素在A中可以没有原象D．B中的元素在A中的原象可能不止一个6．（4分）下列是y=的图象的是（）A．B．C．D．7．（4分）若指数函数y=（a+1）x在（﹣∞，+∞）上是减函数，那么（）A．0＜a＜1 B．﹣1＜a＜0 C．a=﹣1 D．a＜﹣18．（4分）图中曲线分别表示y=log a x，y=log b x，y=log c x，y=log d x的图象，a，b，c，d的关系是（）A．0＜a＜b＜1＜d＜c B．0＜b＜a＜1＜c＜d C．0＜d＜c＜1＜a＜b D．0＜c＜d＜1＜a＜b二、填空题（每题4分，共24分）9．（4分）1.52.3与1.53.2的大小关系是1.52.3 1.53.2（用“＜”或“＞”表示）．10．（4分）若函数f（x）=x2+2x﹣a的一个零点是﹣3，则f（x）的另一个零点是．11．（4分）若幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）的解析式是．12．（4分）若log2x+log2y=2，则x•y的值为．13．（4分）将函数f（x）=2x的图象向平移个单位，就可以得到函数g（x）=2x﹣2的图象．14．（4分）我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x年后我国人口数为y亿，则y与x的关系式为．三、解答题（共44分）15．（8分）计算：（1）；（2）lg14﹣2lg+lg7﹣lg18．16．（8分）已知全集U={1，2，3，4，5}，其子集A={1，3}，B={2，5}，求：（1）C U A；（2）A∩B；（3）A∪B；（4）（C U A）∪（C U B）．17．（8分）画出分段函数的图象，并求的值．18．（8分）用单调性定义证明函数在（0，+∞）上单调递减．19．（6分）已知函数是奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：．20．（6分）已知f（x）=2+log3x（1≤x≤9），求函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）的最大值与最小值．四、选择题（每题4分，共16分）21．（4分）设全集U=R，M={x|x≥1}，N={x|0≤x＜5}，则（∁U M）∪（∁U N）为（）A．{x|x≥0} B．{x|x＜1或x≥5} C．{x|x≤1或x≥5} D．{x|x＜0或x≥5}22．（4分）f（x）=，则f{f[f（﹣3）]}等于（）A．0 B．πC．π2D．923．（4分）若函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）的解析式是f（x）=x（1﹣x），则当x＞0时，的解析式是（）A．f（x）=﹣x（1﹣x）B．f（x）=x（1﹣x） C．f（x）=﹣x（1+x）D．f（x）=x（1+x）24．（4分）若y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数f（x+1）+f（2x﹣1）的定义域是（）A．[﹣1，1] B． C．D．五、填空题（每题4分，共16分）25．（4分）当a＞0且a≠1时，函数f（x）=a x﹣2﹣3必过定点．26．（4分）函数y=的定义域为，值域为．27．（4分）已知函数f（x）=，x∈[2，4]，则当x= ，f（x）有最大值．28．（4分）函数y=的单调递增区间是．六、解答题（共18分）[gkstk]29．（6分）已知全集U=R，集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2﹣3x+2＞0}．（1）求A∩B；（2）求（C U A）∪B．30．（6分）已知函数f（x）=log2（4x+1）﹣ax．（1）若函数f（x）是R上的偶函数，求实数a的值；（2）若a=4，求函数f（x）的零点．31．（6分）已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x2+bx+c，若f（1）=f （3），f（2）=2．（1）求b，c的值；及f（x）在x＞0时的表达式；（2）求f（x）在x＜0时的表达式；（3）若关于x的方程f（x）=ax（a∈R）有解，求a的取值范围．数学试题答案一、选择题（每题4分，共32分）1．【解答】对于选项A：一切很大的数；B：无限接近零的数；C：聪明的人，但是描述不够准确具体，元素不能确定，所以都不正确；选项D：方程x2=2的实数根，元素是确定的，具体的，是正确的．故选D．2．【解答】∵∅不含任何元素，而{0}含有元素0，∴∅⊆{0}．故选D．3．【解答】集合的真子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，∅．共有7个．故选C．4．【解答】对于A，定义域为[0，+∞），不满足f（x）=f（﹣x），不是偶函数，对于B，定义域为R，不满足f（x）=f（﹣x），不是偶函数，对于C，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），则是偶函数，对于D，不满足f（x）=f（﹣x），则不是偶函数，故选C．5．【解答】根据映射的定义，易得A中的每一个元素在B中都有象，故A正确；B中的某一个元素b的原象可能不止一个，即A中的两个不同元素在B中的象可以相同，故B错误；B中的元素在A中不一定原象，故C正确；B中的某一个元素b的原象可能不止一个，故D正确；故选B6．【解答】∵函数y=的定义域为R，∴所求图象在第一、二象限，可排除C、D，再根据函数y=的图象恒过（8，4），可排除A，故选B．7．【解答】∵指数函数y=（a+1）x在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴0＜a+1＜1，解得﹣1＜a＜0，故选B．8．【解答】如图所示，在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象向x轴靠近，可知0＜c＜d＜1＜a＜b故选D二、填空题（每题4分，共24分）9．【解答】对于1.52.3与1.53.2，考察指数函数y=1.5x性质，它在R是增函数，由于2.3＜3.2，知1.52.3＜1.53.2，故答案为：＜．10．【解答】函数f（x）=x2+2x﹣a的一个零点是﹣3，∴（﹣3）2+2×（﹣3）﹣a=0，解得a=3，∴f（x）=x2+2x﹣3，令f（x）=0，可得x2+2x﹣3=0即（x+3）（x﹣1）=0解得x=1或﹣3，∴f（x）的另一个零点是1，故答案为1；11．【解答】设幂函数f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象经过点（2，4），∴4=2a，解得a=2故f（x）=x2，故答案为：f（x）=x212．【解答】∵log2x+log2y=log2xy=2，∴xy=22=4．故答案为：4．13．【解答】利用图象的平移规律：把f（x）图象向右平移2个单位，得到f（x﹣2），即f（x﹣2）=2x﹣2，也即g （x）=2x﹣2．故答案为：右，2．14．【解答】原来人口约13亿，一年后的人口约：13×（1+1%），二年后的人口约：13×（1+1%）×（1+1%）=13×（1+1%）2，等等，依此类推，则函数解析式y=13×1.01x，x∈N*．故答案为：y=13×1.01x，x∈N*三、解答题（共44分）15．【解答】（1）=1+×﹣0.1=1+﹣=．（2）lg14﹣2lg+lg7﹣lg18=lg（14×7÷18）=lg1=0．16．【解答】因为全集U={1，2，3，4，5}，其子集A={1，3}，B={2，5}，所以（1）C U A={2，4，5}；（2）A∩B={1，3}∩{2，5}=∅；（3）A∪B={1，3}∪{2，5}={1，2，3，5}；（4）（C U A）∪（C U B）={2，4，5}∪{1，3，4}={1，2，3，4，5}．17．【解答】由题意可得，f（0）=02=0，f（2）=2，f（﹣0.9）=﹣（﹣0.9）=0.9，f（）==图象如图18．【解答】在（0，+∞）内任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）==，∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=＞0，∴函数在（0，+∞）上单调递减．19．【解答】（1）∵是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），得q=0，函数表达式为又∵，解之得p=2∴函数f（x）的解析式为（2）由（1）得：=﹣x﹣∴=﹣﹣=﹣﹣x，得成立20．【解答】由f（x）的定义域为[1，9]可得g（x）的定义域为[1，3]，又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2﹣3，∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．∴当x=1时，g（x）有最小值6；当x=3时，g（x）有最大值13．四、选择题（每题4分，共16分）21．【解答】根据题意，M={x|x≥1}，则∁U M={x|x＜1}；N={x|0≤x＜5}，则∁U N={x|x＜0或x≥5}；则（∁U M）∪（∁U N）={x|x＜1或x≥5}；故选B．22．【解答】由题可知：∵﹣3＜0，∴f（﹣3）=0，∴f[f（﹣3）]=f（0）=π＞0，∴f{f[f（﹣3）]}=f（π）=π2故选C23．【解答】当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣x[1﹣（﹣x）]=﹣x（1+x），由函数f（x）为奇函数得，f（x）=﹣f（﹣x）=x（1+x）．故选D．24．【解答】函数y=f（x）的定义域是[0，2]，所以所以函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为：{x|}故选B五、填空题（每题4分，共16分）25．【解答】由题意得函数f （x）=a x的图象过定点（0，1）函数f （x）=a x﹣2﹣3的图象是由函数f （x）=a x的图象先向左平移两个单位，再向下平移3个单位得到∴f （x）=a x﹣2﹣3的图象过的定点也是先向左平移两个单位，再向下平移3个单位得到∴定点为（2，﹣2）∴函数f （x）=a x﹣2﹣3必过定点（2，﹣2）．∴故答案为（2，﹣2）．26．【解答】要使原函数有意义，则x+1≠0，所以x≠﹣1，所以原函数的定义域为{x|x≠﹣1}；令t=，所以t≠﹣1，所以原函数的值域是{y|y＞0，且y}．故答案为{x|x≠﹣1}；{y|y＞0且y}．27．【解答】令=t∵x∈[2，4]，∴t∈[﹣1，﹣]f（x）=，等价于y=t2﹣t+5=（t﹣）2+∴函数在[﹣1，﹣]上单调递减∴t=﹣1，即x=4时，函数取得最大值故答案为：428．【解答】根据对数函数的定义可得：函数y=的定义域为：（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）令t=x2+4x﹣12，则，由对数函数的性质可得：函数在定义域内是减函数，由二次函数的性质可得：t=x2+4x﹣12的单调递减区间是（﹣∞，﹣6），单调递增区间是（2，+∞），再根据复合函数的单调性是“同增异减”，所以函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣6）．故答案为：（﹣∞，﹣6）．六、解答题（共18分）[gkstk]29．【解答】（1）A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＜1或x＞2}，所以A∩B={x|﹣1＜x＜3}∩{x|x＜1或x＞2}={x|﹣1＜x＜1或2＜x＜3}；（2）因为U=R，集合A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，所以C U A={x|x≤﹣1或x≥3}，所以（C U A）∪B={x|x≤﹣1或x≥3}∪{x|x＜1或x＞2}={x|x＜1或x＞2}．30．【解答】（1）∵f（x）是R上的偶函数∴f（﹣x）=f（x）即f（﹣x）﹣f（x）=0∴[log2（4﹣x+1）﹣a（﹣x）]﹣[log2（4x+1）﹣ax]=0﹣2x+2ax=0即a=1（2）若a=4，f（x）=log2（4x+1）﹣4x令f（x）=0，log2（4x+1）=4x4x+1=24x（4x）2﹣4x﹣1=0或（舍）∴31．【解答】（1）∵f（1）=f（3），∴函数图象的对称轴x==2，得b=4，又∵f（2）=﹣4+4×2+c=2，∴c=﹣2，当x＞0时，f（x）=﹣x2+4x﹣2．（2）由（1）得，当x＞0时f（x）=﹣x2+4x﹣2，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+4（﹣x）﹣2=﹣x2﹣4x﹣2，∵f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=x2+4x+2．（3）由题意，只需﹣x2+4x﹣2=ax在（0，+∞）上有解，∴a=﹣x﹣+4≤，即a的取值范围是（﹣∞，﹣2+4]．。
2019年高一年级上学期数学期中考试模拟试题(含解析)62
高一（上）期中数学一、选择题1．（3分）若集合A={x|﹣6≤x＜0}，B={x|x≥1或x＜﹣2}，则A∩B=（）A．{x|﹣6≤x＜1} B．{x|x＜﹣6或x＞1} C．{x|x＜﹣2或x≥1} D．{x|﹣6≤x＜﹣2} 2．（3分）关于x的不等式的解集（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C．（﹣1，3）D．（3，+∞）3．（3分）有两个命题：p：四边形的一组对边平行且相等q：四边形是矩形，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件4．（3分）下列对应不是A到B的映射的是（）A．B．C．D．5．（3分）设a＞0，则（）A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限7．（3分）定义在R上的偶函数f（x），在（﹣∞，0）上是单调增函数，则下列各式中正确的是（）A．f（﹣2）＞f（﹣1）B．f（1）＜f（3）C．f（﹣1）＜f（1） D．f（1）＞f（﹣2）8．（3分）函数y=x2+2（a﹣5）x﹣6在（﹣∞，﹣5]上是减函数，则a的范围是（）A．a≥0 B．a≤0 C．a≥10 D．a≤10二、填空题9．（3分）从符号∈、∉、=、⊆、⊂≠中选出适当的一个填空①a {a}；②{1，2} {2，1}；③a {（a，b）}；④∅{a}；⑤{1，2} {1，2，3}．10．（3分）比较下列各数大小①log0.52.7 log0.52.8；②1.70.30.93.1．11．（3分）已知f（x）=则f（）= ，则f（﹣π）= ．12．（3分）若log a2=m，log a3=n，a2m+n= ．13．（3分）两个函数的图象关于直线y=x对称，若其中一个函数是y=﹣（﹣5≤x≤0），则另一个函数的表达式为．14．（3分）求下列函数的定义域．（1）y=（2）y=．三、解答题（共5小题，满分0分）15．解不等式：（1）|1﹣|≤2（2）（2﹣x）（x+3）＜2﹣x．16．计算：（1）﹣|4﹣x|（x＜3）；（2）log2（47×25）+log26﹣log23；（3）．17．用定义法证明在（﹣1，+∞）上是减函数．18．已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x+4，求a、b、c的值．19．已知函数f（x）=lg．①求f（x）的定义域；②判断f（x）的奇偶性；③求f﹣1（x）；④求使f（x）＞0的x的取值范围．四、解答题（共1小题，满分0分）20．已知f（x）=．（1）证明f（x）是奇函数；（2）证明f（x）是增函数．数学试题答案一、选择题1．【解答】∵A={x|﹣6≤x＜0}，B={x|x≥1或x＜﹣2}，∴A∩B={x|﹣6≤x＜﹣2}，故选：D．2．【解答】不等式等价于（x+1）（x﹣3）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，故原不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故选：B．3．【解答】命题：p：四边形的一组对边平行且相等，可知此四边形为平行四边形，q：四边形是矩形，易知：矩形是平行四边形．则p是q的必要不充分条件．故选：B．4．【解答】按照映射的定义，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的一个元素与之对应，故A、B、D中的对应是映射，C中，集合A中的元素3在集合B中没有元素和它对应，∴C不是映射．故选：C．5．【解答】∵a＞0，∴=lg100+lga﹣lga+lg100=2lg100=4．故选D．6．【解答】∵a＞1，∴y=a x的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过（0，1），f（x）=a x+b 的图象可看成把 y=a x的图象向下平移﹣b（﹣b＞1）个单位得到的，故函数f（x）=a x+b的图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，故选 B．7．【解答】∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（2）=f（﹣2），f（1）=f（﹣1），f（3）=f（﹣3）又∵f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，∴f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（﹣1），∴f（﹣2）＜f（﹣1），A错误，f（1）＞f（3），B错误，f（﹣1）=f（1），C错误，f（1）＞f（﹣2），D正确故选D8．【解答】函数y=x2+2（a﹣5）x﹣6的图象是开口方向朝上，以x=5﹣a为对称轴的抛物线若函数y=x2+2（a﹣5）x﹣6在（﹣∞，﹣5]上是减函数则5﹣a≥﹣5解得a≤10故选D．二、填空题9．【解答】利用元素与集合间的关系可得：a∈{a}，a∉{（a，b）}；利用集合间的关系可得：{1，2}={2，1}，∅⊂{a}，{1，2}⊆{1，2，3}．故答案为：∈，=，∉，⊂，⊆．10．【解答】①∵对数函数y=log0.5x在x∈（0，+∞）时是单调减函数，且2.7＜2.8，∴log0.52.7＞log0.52.8；②由指数函数的图象与性质，得；1.70.3＞1.70=1，0.93.1＜0.90=1，∴1.70.3＞0.93.1．故答案为：＞，＞．11．【解答】由分段函数的表达式得，f（﹣π）=2π﹣3，故答案为：，2π﹣3．12．【解答】∵log a2=m，log a3=n，∴a m=2，a n=3，∴a2m+n=（a m）2•a n=22•3=12．故答案为：12．13．【解答】∵两个函数的图象关于直线y=x对称∴这两个函数互为反函数∵y=﹣（﹣5≤x≤0），得x=y2﹣5交换x、y得：y=x2﹣5（﹣≤x≤0）∴另一个函数的表达式为y=x2﹣5（﹣≤x≤0）14．【解答】（1）∵y=﹣x0，∴，解得x＞﹣1且x≠0，∴函数y的定义域为{x|x＞﹣1且x≠0}；（2）∵y=，∴（3x﹣2）≥0，解得0＜3x﹣2≤1，即＜x≤1；∴函数y的定义域为{x|＜x≤1}．故答案为：{x|x＞﹣1且x≠0}，{x|＜x≤1}．三、解答题（共5小题，满分0分）15．【解答】（1）不等式|1﹣|≤2可化为||≤2，即﹣2≤≤2，∴﹣6≤2x﹣4≤6，∴﹣2≤2x≤10，解得﹣1≤x≤5，∴原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤5}；（2）不等式（2﹣x）（x+3）＜2﹣x可化为（2﹣x）[（x+3）﹣1]＜0，即（x﹣2）（x+2）＞0，解得x＜﹣2或x＞2，∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜﹣2}．16．【解答】（1）原式=|x﹣3|﹣|4﹣x|=3﹣x﹣（4﹣x）=3﹣x﹣4+x=﹣1；（2）原式=14+5+1=20；（3）原式==0.3+2﹣3+2﹣2﹣2﹣3==．17．【解答】设x1，x2∈（﹣1，+∞）且x1＜x2，则；∵x1，x2∈（﹣1，+∞），∴x1+1＞0，x2+1＞0，又∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∴，即f（x1）＞f（x2），∴在（﹣1，+∞）上是减函数．18．【解答】f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则f（x+1）+f（x﹣1）=a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2﹣4x+4，∴2a=2，2b=﹣4，2a+2c=4∴a=1，b=﹣2，c=1．19．【解答】（1）∵∴定义域为{x|x＞5或x＜﹣5}；（2）∴f（x）为奇函数；（3）∵∴（4）f（x）＞0，＞0∴定义域为{x|x＞5或x＜﹣5}∴＞1，解得x＞5．∴x＞5四、解答题（共1小题，满分0分）20．【解答】（1）证明：任取x∈R，都有：=﹣f（x），∴f（x）是定义域R上的奇函数；（2）证明：令x1＜x2，则，∵x1＜x2，∴，∴，则f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上是增函数．。
2019年高一年级上学期数学期中考试模拟试题(含解析)3
高一（上）期中数学一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．（4分）若f（x）=，则f（x）的定义域是（）A．（1，+∞）B．（0，1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+0）D．（﹣∞，0）∪（0，1）3．（4分）若a=，b=，c=．则（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞64．（4分）若函数y=f（x+1）的定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域为（）A．[0，] B．[﹣1，4] C．[﹣5，5] D．[﹣3，7]5．（4分）函数f（x）=1﹣e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．6．（4分）函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2）C．（0，3）D．（0，2）7．（4分）已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）8．（4分）设x1＜x2，定义区间[x1，x2]的长度为x2﹣x1，已知函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为（）A．3 B．2 C．1 D．0.59．（4分）对a，b∈R，记max{a，b}=，函数f（x）=max{|x+1|，|x﹣2|}（x∈R）的最小值是（）A．0 B．C．D．310．（4分）对于函数f（x）=lg|x﹣2|+1，有下三个命题：①f（x+2）是偶函数；②f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x+2）﹣f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．其中正确命题的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.11．（4分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（3，27），则f（x）= ．12．（4分）函数f（x）=其中c＞0，那么f（x）的零点是．13．（4分）函数的单调增区间是，值域为．14．（4分）函数f（x）=log a x+1＜a＞0且a≠1）在[，1]上的最小值是1，则 a= ．15．（4分）已知函数若方程f（x）﹣k=0有两个不等实根，则实数k的取值范围是．16．（4分）一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N*）件．当x≤20时，年销售总收入为（33x﹣x2）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y（万元）与x（件）的函数关系式为，该工厂的年产量为件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入﹣年总投资）三、解答题：本大题共4小题，共36分.17．（8分）已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，（Ⅰ）当a=10时，求A∩B，A∪B；（Ⅱ）求能使A⊆（A∩B）成立的a的取值范围．18．（8分）已知函数．（Ⅰ）证明：对于定义域中任意的x均有f（1+x）+f（1﹣x）=2；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．19．（10分）设函数f（x）=log a x（0＜a＜1）．（Ⅰ）若f（x2﹣x）＞f（2），求x的取值范围；（Ⅱ）记函数f（x）的反函数为g（x），若a+kg（x﹣1）≥0在[2，+∞）上恒成立，求k的最小值．20．（10分）借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数例如要表示分段函数可以将g（x）表示为g（x）=xS（x﹣2）+（﹣x）S（2﹣x）．设f（x）=（﹣x2+4x﹣3）S（x﹣1）+（x2﹣1）S（1﹣x）．（Ⅰ）请把函数f（x）写成分段函数的形式；（Ⅱ）设F（x）=f（x﹣k），且F（x）为奇函数，写出满足条件的k值；（不需证明）（Ⅲ）设h（x）=（x2﹣x+a﹣a2）S（x﹣a）+（x2+x﹣a﹣a2）S（a﹣x），求函数h（x）的最小值．数学试题答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．【解答】A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选A2．【解答】要使函数有意义，需满足解不等式组，得，∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）故选D3．【解答】因为a==；b==2﹣1.5．∴a＞b＞0；∵c=log2=log2=﹣1＜0；∴a＞b＞c．故选：C．4．【解答】因为函数y=f（x+1）的定义域为x∈[﹣2，3]，即﹣1≤x+1≤4，所以函数f（x）的定义域为[﹣1，4]．由f（x）与f（2x﹣1）的关系可得﹣1≤2x﹣1≤4，解得0≤x≤．．所以函数f（2x﹣1）定义域为[0，]故选A．5．【解答】∵f（﹣x）=1﹣e|﹣x|=1﹣e|x|=f（x），故此函数为偶函数，排除B、D∵f（0）=1﹣e|0|=0，故排除C故选A6．【解答】由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解得 0＜a＜3，故实数a的取值范围是（0，3），故选C．7．【解答】由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f （x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．8．【解答】当x≥0时，y=2x，因为函数值域为[1，2]即1=20≤2x≤2=21，根据指数函数的增减性得到0≤x≤1；当x≤0时，y=2﹣x，因为函数值域为[1，2]即1=20≤2﹣x≤2=21，根据指数函数的增减性得到0≤﹣x≤1即﹣1≤x≤0．故[a，b]的长度的最大值为1﹣（﹣1）=2，最小值为1﹣0=1或0﹣（﹣1）=1，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1故选C．9．【解答】当x＜﹣1时，|x+1|=﹣x﹣1，|x﹣2|=2﹣x，因为（﹣x﹣1）﹣（2﹣x）=﹣3＜0，所以2﹣x＞﹣x﹣1；当﹣1≤x＜时，|x+1|=x+1，|x﹣2|=2﹣x，因为（x+1）﹣（2﹣x）=2x﹣1＜0，x+1＜2﹣x；当＜x＜2时，x+1＞2﹣x；当x≥2时，|x+1|=x+1，|x﹣2|=x﹣2，显然x+1＞x﹣2；故f（x）=据此求得最小值为．故选C．10．【解答】∵f（x）=lg|x﹣2|+1，∴f（x+2）=lg|x+2﹣2|+1=lg|x|+1是偶函数，故①正确；∵f（x）=lg|x﹣2|+1=，∴f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，故②正确；∵f（x）=lg|x﹣2|+1，f（x+2）=lg|x+2﹣2|+1=lg|x|+1，∴f（x+2）﹣f（x）=lg|x|﹣lg|x﹣2|=lg||=lg|1+|在区间（2，+∞）上是减函数，故③不正确．故选A．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.11．【解答】设幂函数为y=x a，因为幂函数y=f（x）的图象经过点（3，27），所以27=3a，解得a=3，所以所求的幂函数为f（x）=x3．故答案为：x3．12．【解答】函数f（x）=，若0≤x≤c，f（x）=≥0，当x=0时，f（x）=0，x=0是f（x）的一个零点，若﹣2≤x＜0，f（x）=x2+x=x（x+1），令f（x）=0，可得x=0或x=﹣1，因为﹣2≤x＜0，可得x=﹣1，综上f（x）的零点是﹣1和0，故答案为：﹣1和0；13．【解答】由﹣x2+2x+3＞0，可得﹣1＜x＜3令t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以函数在（1，3）上单调递减又在（0，+∞）上单调递减∴函数的单调增区间是（1，3）∵t≤4，∴y≥﹣2，∴函数的值域为[﹣2，+∞）故答案为：（1，3），[﹣2，+∞）14．【解答】当a＞1时，函数f（x）=log a x+1＜a＞0且a≠1）在[，1]上为增函数，∴x=时，函数取得最小值1，即log a（+1）=1，解得a=当0＜a＜1时，函数f（x）=log a x+1＜a＞0且a≠1）在[，1]上为减函数，∴x=1时，函数取得最小值1，即log a（1+1）=1，解得a=2＞1，舍综上得a=故答案为15．【解答】函数的图象如图所示，当x≥4，．由图可知函数y=f（x）与函数y=k的图象当＜k≤1时，有且仅有两个交点，即当＜k≤1时，f（x）﹣k=0有且仅有两个实根，故答案为：，16．【解答】由题意，年利润=年销售总收入﹣年总投资，则当x≤20时，年利润y=（33x﹣x2）﹣（100+x）=﹣x2+32x﹣100；当x＞20时，年利润y=260﹣（100+x）=160﹣x；∴y=；当x≤20时，y=﹣x2+32x﹣100=﹣（x﹣16）2+156，∴x=16时，y取得最大值156万元；当x＞20时，y=160﹣x＜140万元∵156＞140，∴x=16时，利润最大值156万元故答案为：y=；16三、解答题：本大题共4小题，共36分.17．【解答】（Ⅰ）当a=10时，A={21≤x≤25}，B={x|3≤x≤22}，∴A∩B={x|21≤x≤22}，A∪B={x|3≤x≤25}．（Ⅱ）∵A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，且A⊆（A∩B），∴，解得6≤a≤9．∴a的取值范围是[6，9]．18．【解答】（Ⅰ）=，即对于定义域中任意的x均有f（1+x）+f（1﹣x）=2．（Ⅱ）设x1，x2是（1，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，=．因为1＜x1＜x2，所以x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x1﹣x2＜0，所以f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．19．【解答】（Ⅰ）由已知，因为0＜a＜1，所以0＜x2﹣x＜2，…（2分）解x2﹣x＜2，得﹣1＜x＜2．解x2﹣x＞0，得x＞1或x＜0．所以x的取值范围是{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜2}．…（4分）（Ⅱ）g（x）为f（x）的反函数，所以g（x）=a x．…（5分）由已知a+ka x﹣1≥0在区间[2，+∞）上恒成立，因为a x﹣1＞0，所以在区间[2，+∞）上恒成立，…（6分）即k大于等于的最大值．…（7分）因为0＜a＜1，所以，又x﹣2∈[0，+∞），所以的最小值为1，的最大值为﹣1，…（9分）所以k≥﹣1，所以k的最小值为﹣1．…（10分）20．【解答】（Ⅰ）分情况讨论：①当x＞1时，S（x﹣1）=1且S（1﹣x）=0，得f（x）=（﹣x2+4x﹣3）×1+（x2﹣1）×0=﹣x2+4x﹣3；②当x=1时，S（x﹣1）=S（1﹣x）=1，得f（x）=（﹣x2+4x﹣3）×1+（x2﹣1）×1=4x﹣4；③当x＜1时，S（x﹣1）=0且S（1﹣x）=1，得f（x）=（﹣x2+4x﹣3）×0+（x2﹣1）×1=x2﹣1∴…（2分）（Ⅱ）若F（x）为奇函数，则F（0）=f（﹣k）=0，①当﹣k＞1时，解出k=﹣1或﹣3，但k=﹣3不符合题意；②当﹣k=1时，解出f（﹣k）=0，恒成立，得k=﹣1；③当﹣k＜1时，解出k=﹣1或1，但k=1不符合题意综上所述，得当k=﹣1时，F（x）为奇函数．…（4分）（Ⅲ）由已知，得并且函数s=x2﹣x+a﹣a2与t=x2+x﹣a﹣a2在x=a处的值相同．…（5分）①当时，h（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间（a，+∞）上单调递增．所以，h（x）的最小值为．…（6分）当时，h（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以h（x）最小值为与中较小的一个，即与中较小的一个．②当时，h（x）的最小值为．…（7分）③当时，h（x）的最小值为．…（8分）④当时，在区间（﹣∞，a）上单调递减，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以h（x）的最小值为．…（9分）综上所述，得：当a≤0时，h（x）的最小值为，当a＞0时，h（x）的最小值为．…（10分）。
2019年高一年级上学期数学期中考试模拟试题(含解析)31
高一（上）期中数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卡中相应的位置上）1．（4分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={1，m}．若B⊆A，则实数m的值是（）A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．﹣1或0或12．（4分）下列函数中，与函数有相同定义域的是（）A．f（x）=lnx B． C．f（x）=x3D．f（x）=e x3．（4分）已知f满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=3，f（3）=2，那么f（6）等于（）A．4 B．5 C．6 D．74．（4分）已知那么f（4）的值是（）A．16 B．8 C．4 D．25．（4分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．46．（4分）函数f（x）=e x+e﹣x的图象（）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称7．（4分）若0＜n＜1，则（）A．B．C．log n（1+n）＞0 D．log n（1+n）＞log n（1﹣n）8．（4分）函数y=a x与y=﹣log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A．B．C．D．9．（4分）已知函数f（x）=（x+m）3（m∈R且m≠0），则下列说法错误的是（）A．函数y=f（x）的图象是中心对称图形B．函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数C．函数y=f（x）是非奇非偶函数D．方程f（x）=0没有实数根10．（4分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③ B．①④ C．①③ D．①②④二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应的位置上）11．（4分）若函数f（x）=x2+bx﹣4是R上的偶函数，则实数b的值是．12．（4分）= ．13．（4分）若幂函数f（x）的图象过点，则= ．14．（4分）已知a=0.73，b=30.7，c=log30.7，则a，b，c的大小关系是（用“＜”连接）．15．（4分）函数f（x）=的值域为．16．（4分）已知函数的定义域是[n，n+1]（n是自然数），那么f1（x）的值域中共有个整数；f n（x）的值域中共有个整数．三、解答题（本大题共4小题，共36分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案填在答题卡中相应的位置上）17．（10分）已知全集U=R，集合A={x|2x+a＞0}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}．（Ⅰ）当a=2时，求集合A∩B；（Ⅱ）若A∩（∁U B）=∅，求实数a的取值范围．18．（8分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣3a．（Ⅰ）若函数y=f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当函数f（x）在[1，2]上的最大值为4时，求实数a的值．19．（8分）已知函数，且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间．20．（10分）已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=g（x）的解析式；（2）求m，n的值；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．数学试题答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卡中相应的位置上）1．【解答】∵A={﹣1，0，1}，B={1，m}．∴m≠1，若B⊆A，则m=0或m=﹣1．故选：C．2．【解答】∵函数，∴x＞0，A、∵f（x）=lnx，∴x＞0，故A正确；B、∵，∴x≠0，故B错误；C、f（x）=x3，其定义域为R，故C错误；D、f（x）=e x，其定义域为R，故D错误；故选A．3．【解答】在f（ab）=f（a）+f（b）中，令a=2，b=3，得f（6）=f（2）+f（3）=3+2=5．故选：B．4．【解答】由已知，f（4）=f（3）=f（2）=22=4．故选：C．5．【解答】∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D6．【解答】由于函数f（x）=e x+e﹣x的定义域为R，关于原点对称，且满足f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），故函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故选B．7．【解答】∵0＜n＜1，∴不妨取n=，对于A，∵是减函数，∴，所以A正确；对于B，，所以B不正确；对于C，log n（1+n）=，所以C不正确；对于D，log n（1+n）=，log n（1﹣n）=，所以D不正确；故选：．8．【解答】根据y=﹣log a x的定义域为（0，+∞）可排除选项B，选项C，根据y=a x的图象可知0＜a＜1，y=﹣log a x的图象应该为单调增函数，故不正确选项D，根据y=a x的图象可知a＞1，y=﹣log a x的图象应该为单调减函数，故不正确故选A9．【解答】A．∵g（x）=x3是奇函数，关于原点对称，∴将函数g（x）=x3进行平移得到f（x）=（x+m）3的图象，此时对称中心为（﹣m，0），∴函数y=f（x）的图象是中心对称图形，∴A正确．B．∵g（x）=x3在（﹣∞，+∞）上是增函数，∴y=f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，∴B正确．C．∵g（x）=x3是奇函数，又m∈R且m≠0，∴平移之后函数y=f（x）是非奇非偶函数，∴C正确．D．由f（x）=（x+m）3=0，解得x=﹣m，∴方程f（x）=0没有实数根错误，∴D错误．故选：D．10．【解答】①中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a∴0是集合的聚点④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故选A二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应的位置上）11．【解答】∵函数f（x）=x2+bx﹣4是R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2﹣bx﹣4=x2+bx﹣4，∴﹣bx=bx，即﹣b=b，解得b=0．故答案为：0．12．【解答】原式=lg5+lg2=1，故答案为1．13．【解答】设幂函数为y=xα，因为图象过点，则，∴，α=﹣2．所以f（x）=x﹣2．==2﹣1=故答案为：．14．【解答】由于a=0.73 ∈（0，1），b=30.7＞30=1，c=log30.7＜log31=0，则a，b，c的大小关系是 c＜a＜b，故答案为 c＜a＜b．15．【解答】当x≥1时，f（x）=；当x＜1时，0＜f（x）=2x＜21=2．所以函数的值域为（﹣∞，2）．故答案为（﹣∞，2）．16．【解答】∵函数的定义域是[n，n+1]，∴f1（x）的定义域是[1，2]，∵y=的图象是开口向上的抛物线，关于直线x=﹣对称，∴f1（x）在区间[1，2]上为增函数，得函数f1（x）的值域为[f（1），f（2）]又∵f（1）=，f（2）=，．∴f1（x）的值域为[，]，其中含有3、4、5、6，共4个整数；∵的定义域是[n，n+1]，且函数f n（x）在[n，n+1]上是增函数，∴函数f n（x）的值域为[f（n），f（n+1）]，∵f n（n）=，f（n+1）==，∴函数f n（x）的值域为[，]，其中的整数n2+n+1、n2+n+2、…、n2+3n+2，一共（n2+3n+2）﹣（n2+n+1）+1=2n+2个整数．故答案为：4，2n+2三、解答题（本大题共4小题，共36分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案填在答题卡中相应的位置上）17．【解答】由2x+a＞0得，即．由x2﹣2x﹣3＞0得（x+1）（x﹣3）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，即B={x|x＜﹣1或x＞3}．（Ⅰ）当a=2时，A={x|x＞﹣1}．∴A∩B={x|x＞3}．（Ⅱ）∵B={x|x＜﹣1或x＞3}，∴∁U B={x|﹣1≤x≤3}．又∵A∩（∁U B）=∅，∴，解得a≤﹣6．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6]．18．【解答】（Ⅰ）由已知得f（x）=﹣x2+2ax﹣3a=﹣（x﹣a）2+a2﹣3a．…（1分）∴函数f（x）=﹣x2+2ax﹣3a的图象是开口朝下，且对称轴为直线x=a的抛物线，因为函数y=f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，所以a≥1．故实数a的取值范围是[1，+∞）．…（4分）（Ⅱ）①当a≤1时，函数y=f（x）在[1，2]上是减函数，于是，y max=f（1）=﹣a﹣1=4．所以a=﹣5，符合题意．…（5分）②当1＜a＜2时，函数y=f（x）在[1，a]上是增函数，在（a，2]上是减函数，于是，．所以a=﹣1或4，舍去．…（6分）③当a≥2时，函数y=f（x）在[1，2]上是增函数，于是，y max=f（2）=a﹣4=4．所以a=8，符合题意．…（7分）综上所述，实数a的值为﹣5或8．…（8分）19．【解答】（Ⅰ）由得（x+2）（x﹣2）＞0，解得x＜﹣2或x＞2，所以函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．…（2分）（Ⅱ）令．设2＜x1＜x2+∞，则，．…（3分）所以=…（4分）因为2＜x1＜x2+∞，于是x1﹣2＞0，x2﹣2＞0，x1﹣x2＞0，所以，即u（x1）＞u（x2）．又因为0＜a＜1，所以log a u（x1）＜log a u（x2）．所以函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．…（6分）同理可知，函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．…（7分）综上所述，函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）．…（8分）20．【解答】（1）∵指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，∴g（x）=2x；（2）由（1）知：f（x）=是奇函数．因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即，∴n=1；∴f（x）=，又由f（1）=﹣f（﹣1）知，∴m=2；（3）由（2）知f（x）=，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．又因f（x）是奇函数，从而不等式：f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因f（x）为减函数，由上式推得：t2﹣2t＞k﹣2t2，即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式△=4+12k＜0，解得：k＜．。
2019年高一年级上学期数学期中考试模拟试题 (17)
高一（上）期中数 学说明： 1、本试卷分试卷与答题纸两部分．2、将选择题答案填涂在机读卡上，填空题及解答题的答案书写在答题纸上．3、考试时间120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1、已知3a =，{}2≥=x x A ，则 A 、A a ∈B 、A a ∉C 、{}A a =D 、{}a a ∉ 2、如果函数()()1>=a a x f x 的图象经过点()8,3，那么实数a 的值为 A 、2B 、3C 、4D 、24 3、函数1y x x =-+的定义域为 A 、{}0x x ≥B 、{}1x x ≥C 、{}{}10x x ≥D 、{}01x x ≤≤ 4、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,20,2x x x x f x ，如果()40=x f ，那么实数0x 的值为 A 、2 B 、0C 、2或2-D 、1或2-5、已知全集U R =，集合{}23A x x x =≤-≥或，{}14B x x x =<->或，则集合()U A B =? A 、{}24x x -≤<B 、{}23x x -<<C 、{}21x x -<<-D 、{}2134x x x -<<-<<或 6、不等式x x 22>的解集为 A 、{}2>x xB 、{}0<x xC 、{}20<<x xD 、{}2,0><x x x 或 7、当01a <<时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是A B C D 8、设偶函数()x f 满足()()083≥-=x x x f ，则(){}=>-02x f xA 、{}42>-<x x x 或B 、{}40><x x x 或C 、{}60><x x x 或D 、{}22>-<x x x 或 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9、如果集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，B A 中最多有 个元素；最少有 个元素．10、如图，函数()x f 的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为()4,0、()0,2、()4,6，则函数的值域为 （用区间表示），()[]=0f f ．11、已知函数()()1,0log ≠>=a a x x f a 在[]4,1上的最大值是2，那么a 等于 ．12、设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列之一，则a 的值为________．13、已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，如果()()1f a f x >+在[]1,2x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是 ．14、2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分每增加1元可乘坐20公里．使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400元以后的乘次，不再享受打折优惠．小李上班时，需要乘坐地铁15.9公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班22天计算．如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第21次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是 元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是 元．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15、已知集合{}6,8,10,12A =，{}1,6,8B =．（Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若集合C A B =，写出集合C 的所有子集．16、定义在实数R 上的函数()y f x =是偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-+．（Ⅰ）求()1f -；（Ⅱ）求()y f x =的解析式及最大值；（Ⅲ）写出()f x 在R 上的单调区间（不必证明）．17、设()24f x x x k =-+．（Ⅰ）已知不等式()0f x >的解集为一切实数，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）关于x 的一元二次方程()0f x =的两实根1x ，2x 满足1223x x -=，求k 的值．18、如图，直角边长为2 cm 的等腰直角三角形ABC ，以2 cm/s 的速度沿直线l 向右运动，（Ⅰ）求该三角形与矩形CDEF 重合部分面积y （cm 2）与时间t 的函数关系（设30≤≤t ）；（Ⅱ）求出y 的最大值．（写出解题过程）19、已知二次函数()x f 的二次项系数为a ，且不等式()0f x >的解集为()3,1．（Ⅰ）若方程()2f x =有两个相等的根，求()x f 的解析式；（Ⅱ）求()x f 在区间[]0,3上值域．20、已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数, 满足()11f =，且当[],1,1m n ∈-，0m n +≠时，有()()0f m f n m n +>+．（Ⅰ）判断函数()f x 的单调性；（结论不要求证明） （Ⅱ）解不等式：()1221+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x f ； （Ⅲ）若()221f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立, 求实数t 的范围．。
2019年高一年级上学期数学期中考试模拟试题 (4)
高一（上）期中数学一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.将正确答案的序号填在答题卡上）1.设集合，全集，则集合中的元素共有（）A 3个B 4个C 5个D 6个2.函数的定义域是（）A B C D3.设集合，则满足的集合的个数是（）A 0B 1C 2D 34.下列函数中，在上为减函数的是（）A B C D5.已知函数，则函数的图象大致是（）6.如果二次函数的两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A BC D7.下列大小关系正确的是（）A BC D8.已知函数是上的奇函数，且当时，，则时，函数的表达式为（）A BC D二.填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在横线上）9.若映射，则8的原象是，8的象是 .10.设函数，则=11.=12.奇函数在上的减函数，在区间上的最大值为8，最小值为，则三.解答题（本大题共3小题，共40分，写出必要的解答过程）13.（13分）设集合，集合.（1）求和；（2）若，求实数的取值范围.14.（13分）已知二次函数对任意实数满足，又. （1）求函数的解析式；（2）若在上的最大值为3，最小值为1，求的取值范围.15.（14分）设函数，且（1）求的值；（2）求的最小值及对应的的值.四.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案的序号填在横线上）16.（5分）函数的单调递增区间是17.（5分）给出下列四个命题中：（1）命题“若且，则”为假命题.（2）命题“若，则”的逆否命题为：“若，则.（3）“”是“”的充分不必要条件.（4）关于的不等式的解集为，则.其中所有正确命题的序号是 .18.若对任意的非负实数都成立，且，则=19.若是定义在实数集上的偶函数，且，当时，，则的值等于五.解答题(本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程)20.（10分）对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.已知（1）当时，求函数的不动点；（2）已知有两个不动点为，求函数的零点；（3）在（2）的条件下，求不等式的解集.21.（10分）某工厂计划出售一种产品，经销人员并不是根据生产成本来确定这种产品的价格，而是通过对经营产品的零售商对于不同的价格情况下他们会进多少货进行调查，通过调查确定了关系式，其中为零售商进货的数量（单位：件），为零售商支付的每件产品价格（单位：元）.现估计生产这种产品每件的材料和劳动生产费用为4元，并且工厂生产这种产品的总固定成本为7000元（固定成本是除材料和劳动费用以外的其他费用），为获得最大利润，工厂对零售商每件收取多少元？并求此时的最大利润.22.（10分）已知的定义在上的奇函数，且，若任意的，当时，总有.（1）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：;（3）若对所有的恒成立，其中（是常数），试用常数表示实数的取值范围.。
2019年高一年级上学期数学期中考试模拟试题(含解析)46
高一（上）期中 数 学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1. 下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（ ）（A ）{}0x x = （B ）{}20a a = （C ）{}0a = （D ）{}0 2. 函数()y f x =的定义域为[]1,5，则函数()21y f x =-的定义域是（ ） （A ） []15， （B ）[]2,10 （C ）[]19， （D ）[]13， 3. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ） （A ） ()2f x x =，()g x x =（B ）()f x x =，()2x g x x=（C ） ()24f x x =-，()g 22x x x =+⋅-（D ）()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩4.如图是函数()y f x =的图象，()()2ff 的值为（ ）（A ） 3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6yx369O5. 已知函数()35x f x x =+-，用二分法求方程35=0xx +-在()0,2x ∈内近似解的过程中，取区间中点01x =，那么下一个有根区间为（ ）（A ） ()0,1 （B ） ()12， （C ）()12，或()0,1都可以 （D ）不能确定 6. 函数()248f x x ax =--在区间()4+∞，上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）32a ≤ （B ）32a ≥ （C ）16a ≥ （D ）16a ≤7. 已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()21f x x x=+，则()1f -等于（ ） （A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ） 28. 定义区间(),a b 、[),a b 、(],a b 、[],a b 的长度均为d b a =-，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.2=3，[]2.33-=-.记{}[]x x x =-，设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，若用d 表示不等式()()f x g x <解集区间长度，则当03x ≤≤时有（ ）（A ） 1d = （B ）2d = （C ） 3d = （D ） 4d = 二、填空题：本大题共6小题，共30分。
2019年高一年级上学期数学期中考试模拟试题(含解析)25
高一（上）期中 数 学一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则A B （ ）．A ．{}1,3B ．{}2,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．∅2．计算238=-（ ）．A ． 4-B ． 14-C ． 4D ． 143．函数1()93x f x =-的定义域为（ ）．A ．(,2]-∞B ． (,2)-∞C ．(0,2]D ． (0,2) 4．满足条件{}{},,,,,,A a b c a b c d e =的集合A 共有（ ）．A ．6个B ．7个C ．8个D ．10个5．函数1()24xf x x =+的零点在区间（ ）．A ．(3,2)--B ． (2,1)--C ．(1,0)-D ． (0,1)6．函数2()21f x x ax =-+，且有 (1)(2)(3)f f f <<，则实数a （ ）． A ．32a <B ． 32a ≤ C ．1a < D ． 1a ≤7．某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则这两年该企业生产总值的年均增长率为（ ）． A ．2p q + B ． (1)(1)12p q ++- C ． pqD ． (1)(1)1p q ++-8．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A ∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊆，下列说法错误的是（ ）．A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ≤，对于任意的x U ∈成立B ．()()()A B A B f x f x f x =，对于任意的x U ∈成立C ．()()()AUB A B f x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立D ．若U A B =ð，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立 二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨->⎪⎩≤，则[](2)f f -=__________．【答案】16-【解析】解：[(2)](4)16f f f -==-．10．已知函数()1f x kx =+，若对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥，则实数k 的取值范围是__________． 11．若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集为__________． 12．已知函数2()21f x ax ax =++在[3,2]-上的最大值为4，则实数a =__________．13．已知映射:f ++→N N 满足：①(1)2f =，(2)3f =；②对于任意的n +∈N ，()(1)f n f n <+；③对于任意的3n ≥，n +∈N ，存在i ，j +∈N ，1i j n <<≤，使得()()()f n f i f j =+（1）(5)f 的最大值__________．（2）如果()2016f m =，则m 的最大值为__________． 14．已知函数()2x f x -=，给出下列命题： ①若0x >，则()1f x <；②对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则必有1212()[()()]0x x f x f x --<； ③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <； ④若对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，其中所有正确命题的序号是_____． 三、解答题15．已知全集U =R ，集合{}2|10A x x =->，{}|0B x x a =+>．（Ⅰ）当1a =时，求集合()U A B ð．（Ⅱ）若()U A B =∅ð，求实数a 的取值范围．16．已知集合{}2|0A x x ax x a =--+≤，{}2|680B x x x =-+<．（Ⅰ）当3a =时，求A B ．（Ⅱ）若A B 中存在一个元素为自然数，求实数a 的取值范围．17．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠． （Ⅰ）若5(1)(1)2f f +-=，求(2)(2)f f +-的值． （Ⅱ）若函数()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的差为83，求实数a 的值．18．已知()y f x =的图像可由2y x x =+的图像平移得到，对于任意的实数t ，均有()(4)f t f t =-成立，且存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式．（Ⅱ）函数()y f x =的图像与直线y kx k =+有两个不同的交点11(,)A x y ， 22(,)B x y ，若11x <，23x <，求实数k 的取值范围．19．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足： （1）(1)3f =．（2）对于任意的u ，v ∈R ，总有()()()1f u v f u f v +=+-． （3）对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->． （Ⅰ）求(0)f 及(1)f -的值．（Ⅱ）求证：函数()1y f x =-为奇函数． （Ⅲ）若2112222f m fm ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数m 的取值范围．20．对于给定的正整数n ，{}{}*123(,,,,)|0,1,,n n i S x x x x x i i n =∈∈N L ≤．对于123(,,,...,)n X x x x x =，123(,,,...,)n Y y y y y =，有：（1）当且仅当2222112233()()()()0n n x y x y x y x y -+-+-++-=，称X Y =．（2）定义112233..n n X Y x y x y x y x y ⋅=++++L ．（Ⅰ）当3n =时，(1,1,0)X =，请直接写出所有的3Y S ∈，满足1X Y ⋅=．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅=，求集合A 中元素个数的最大值． （Ⅲ）若非空集合n B S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅≠，求集合B 中元素个数的最大值．数学试题答案一、选择题（每小题5分，共40分） 1． 【答案】A【解析】解：∵集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =， ∴{}1,3A B =， 故选：A ． 2． 【答案】D 【解析】解：22323318(2)24---===． 故选：D ． 3． 【答案】【解析】解：要使函数有意义，则x 需满足930x ->，解得：2x <， ∴函数()f x 的定义域是(,2)-∞． 故选：B ． 4． 【答案】C 【解析】解：∵{}{},,,,,,Aa b c a b c d e =，∴d A ∈，e A ∈，a ，b ，c 每一个元素都有属于A ，不属于A 2种可能， ∴集合A 共有328=种可能，故选：C ． 5． 【答案】B【解析】解：∵2111(2)2(2)0442f --=+⨯-=-<，1111(1)20424f --=-=->，∴函数()f x 的零点在区间(2,1)--．故选：B ． 6． 【答案】A【解析】解：∵2()21f x x ax =-+，∴(1)22f a =-，(2)54f a =-，(3)106f a =-， ∵(1)(2)(3)f f f <<， ∴2254106a a a -<-<-， 解得32a <． 故选：A ． 7． 【答案】D【解析】解：设该企业生产总值的年增长率为x ，则2(1)(1q)(1)p x ++=+， 解得：(1)(1)1x p q =++-． 故选：D ． 8． 【答案】C【解析】解：当x A ∈且x B ∈时，()1A B f x =，()1A f x =，()1B f x =， 所以()()()A B A B f x f x f x ≠+U ， 所以C 选项说法错误，故选C ．二、填空题（每小题5分，共30分） 9．【答案】16-【解析】解：[(2)](4)16f f f -==-． 10．【答案】[1,1]-【解析】解：若()1f x kx =+，对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥， 则(1)10(1)10f k f k -=-+⎧⎨=+⎩≥≥， 解得：11k -≤≤，故：实数k 的取值范围是[1,1]-． 11．【答案】(,10)[0,1]-∞-【解析】解：作出()y f x =的图像如图所示：x11故不等式()0f x ≤的解集为：(,10)[0,1]-∞-． 12．【答案】38或3-【解析】解：当0a =时，()1f x =，不成立．当0a >时，2()21f x ax ax =++，开口向上，对称轴1x =-，当2x =时取得最大值，所以(2)4414f a a =++=，解得38a =．当0a <时，2()21f x ax ax =++，开口向下，对称轴1x =-， 当1x =-时，取得最大值，所以(1)214f a a -=-+=，解得3a =-．综上所述：38或3-．13．【答案】（1）13；（2）2013 【解析】解：（1）由题意得：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =或(4)8f =， ∴(5)(3)(4)5813f f f =+=+=最大．【注意有文字】（2）若m 取最大值，则()f n 可能小，所以：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =，(5)8f =， (6)9f =，(7)10f =3n ≥时()3f n n =+，令32016m +=，2013m =． 故m 的最大值为2013． 14．【答案】见解析 【解析】解：1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 对于①，当0x >时，1(0,1)2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故①错误．对于②，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以当12x x <时2()()f x f x >，即：1212()[()()]0x x f x f x --<，故②正确．对于③()f x x 表示图像上的点与原点连线的斜率，由1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像可知，当120x x <<时，1212()()f x f x x x >，即：2112()()x f x x f x >，故③错误． 对于④，由()f x 得图像可知，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故④正确． 综上所述，正确命题的序号是②④．三、解答题 15．【答案】见解析【解析】解：（1）当1a =时，集合{}{2|10|1A x x x x =->=<-或}1x >，{}{}|10|1B x x x x =+>=>-，{}|11U A x x =-≤≤ð， ∴{}()|11U A B x x =-<≤ð．（2）集合{}|11U A x x =-≤≤ð，{}|B x x a =>-， 若()U A B =∅ð，则1a -<，即：1a >-．故实数a 的取值范围是：(1,)-+∞．16．【答案】见解析【解析】解：（1）当3a =时，集合{}{}2|430|13A x x x x x =-+=≤≤≤，{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<，∴{}|23A B x x =<≤．（2）集合{}{}2|0|()(1)0A x x ax x a x x a x =--+=--≤≤，{}|24B x x =<<，若A B 中存在一个元素为自然数，则3A ∈． 当1a =时，{}1A =，显然不符合题意．当1a <时，{}|1A x a x =≤≤，3A ∈，不符合题意， 当1a >时，{}|1A x x a =≤≤，若3A ∈，则a ≥3． 综上所述，实数a 的取值范围是[3,)+∞． 17． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵()x f x a =，5(1)(1)2f f +-=， ∴15(1)(1)2f f a a +-=+=，解得：2a =或12， 当2a =时，()2x f x =，2217(2)(2)224f f -+-=+=，当12a =时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，221117(2)(2)224f f -⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故17(2)(2)4f f +-=． （Ⅱ）当1a >时，()x f x a =在[1,1]-上单调递增，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a --=，解得：13a =-（舍去）或3a =．当01a <<时，()x f x a =在[1,1]-上单调递减，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a +-=．解得：3a =-（舍去）或13a =．综上，实数a 的值为3或13．18．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2y x x =+的图像关系12x =-对称，()f x 关于2x =对称，∴可设255()622f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2255542x x x b =-++-+ 21544x x b =-++，又存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数， ∴()f x 不含常数项．故2()4f x x x =-．（Ⅱ）∵()f x 的图像与y kx k =+有两个不同交点， ∴24x x kx k -=+有两个解， ∴2(4)40k k ∆=++>，解得：625k <--或625k >-+，∵11x <，23x >，(3)3f =-，(1,0)-和(3,3)-连线的斜率为34-，∴34k >-．综上所述，实数k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．19．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意u ，v ∈R ，都有()()()1f u v f u f v +=+-， ∴令0u =，1v =，得(1)(0)(1)1f f f =+-， ∴(0)1f =．令1u =，1v =-，则(0)(1)(1)1f f f =+--， ∴(1)1f -=-．（Ⅱ）令u x =，v x =-，则有(0)()()1f f x f x =+--， ∴()()2f x f x +-=，令()()1g x f x =--，则()()1g x f x -=--，∴()()()()20g x g x f x f x +-=+--=，即：()()g x g x =--． 故()()1y g x f x ==-为奇函数．（Ⅲ）∵对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->， ∴()f x 为单调增函数， ∵2112222f m fm ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21[(21)1]22f m f m ⎛⎫⇔--+>- ⎪⎝⎭212(21)102f m f m ⎛⎫⇔+---> ⎪⎝⎭21(1)102f m f m ⎛⎫⇔+--> ⎪⎝⎭211202f m m ⎛⎫⇔+-> ⎪⎝⎭．且11(1)1122f f f ⎛⎫⎛⎫-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2111222f m m f ⎛⎫⎛⎫+->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2111222m m +->-，即：2430m m -+>， 解得1m <或3m >．故实数m 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞U ． 20．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）{}11,0,0Y =，{}21,0,1Y ，{}30,1,0Y ，{}40,1,1Y ．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X F ⋅=，则A 中任意两个元素相同位置不能同时出现1，满足这样的元素有(0,0,00)，(1,0,0,00)，(0,1,00)，(0,0,10)(0,0,01)共有1n +个．故A 中元素个数的最大值为1n +． （Ⅲ）不妨设{}123,n X x x x x =其中{}30,1x ∈，0n λ<≤，{}121,11n X x x x =---，显然若X S ∈，则0X X ⋅=， ∴X B ∈与X B ∈不可能同时成立， ∵S 中有2n 个元素， 故B 中最多有12n -个元素．。
2019年高一年级上学期数学期中考试模拟试题(含解析)27
高一（上）期中数学一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）若集合M={﹣1，0，1，2}，N={0，2，4，6}，则M∩N=（）A．{﹣1，1，6} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0，1，2，4，6} D．{0，2}2．（3分）集合A={﹣1，1，2}的所有真子集的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．83．（3分）已知映射f：N→R，x→，则f（x）=4的原象是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（3分）下列与y=|x|是同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=x5．（3分）已知集合A={y|y=2x，x∈R}，则∁R A=（）A．∅B．（﹣∞，0] C．（0，+∞）D．R6．（3分）如图可作为函数=f（x）的图象的是（）A．B．C．D．7．（3分）函数y=的图象为（）A．B． C． D．8．（3分）下列函数中为偶函数的是（）A．y=B．y=|x|（x≥1）C．y=x D．y=x3+19．（3分）函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有（）A．f（xy）=f（x）•f（y）B．f（x+y）=f（x）•f（y）C．f（xy）=f（x）+f（y）D．f（x+y）=f（x）+f（y）10．（3分）已知函数f（x）=2x﹣x﹣2的一个零点所在的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，3）D．（3，4）11．（3分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．y=﹣x2+2x B．y=x3C．y=2﹣x+1 D．y=x12．（3分）定义一种运算：a⊗b=，已知函数f（x）=2x⊗（3﹣x），那么函数y=（x+1）的大致图象是（）A． B．C．D．二、填空题13．（3分）函数y=+lg（x﹣5）0的定义域是．14．（3分）已知函数y=f（n），满足f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N+，则 f（3）的值为．15．（3分）如果常数项为0的二次函数f（x）的图象通过点M（1，5），N（﹣1，﹣3），那么这个函数的解析式为．16．（3分）若函数y=mx2+x+5在[﹣2，+∞）上是增函数，则m的取值范围是．17．（3分）函数f（x）=3ax+1﹣2a，在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则a的取值范围是．18．（3分）当a＞0且a≠1时，函数f（x）=a x+2+5的图象必过定点．19．（3分）若奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（﹣1）=0，则使得f（x）＞0的x取值范围是．20．（3分）定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x=x1+x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则A*B 中的所有元素数字之和为．三、解答题21．（8分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A={2，3，6，8}，B={1，6，8}．（Ⅰ）求A∪B；（∁U A）∩B；（Ⅱ）写出集合A∩B的所有子集．22．（8分）（Ⅰ）当m=2时，求（m2）3•m4的值；（Ⅱ）计算：（0.25）﹣0.5+（﹣）﹣6250.25．23．（8分）函数f（x）是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=x2+2x．（Ⅰ）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求当x＜0时，函数的解析式．24．（8分）已知f（x）=（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求使f（x）＞的x取值范围．25．（8分）已知函数f（x）是定义域为R的不恒为0的函数，且对任意的a，b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0）、f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．数学试题答案一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．【解答】∵M={﹣1，0，1，2}，N={0，2，4，6}，∴M∩N={0，2}，故选：D．2．【解答】集合{﹣1，1，2}的零元素真子集即∅，一元素真子集有{﹣1}、{1}、{2}，二元素真子集有{﹣1，1}、{﹣1，2}、{1，2}故集合{﹣1，1，2}的所有真子集为：Φ、{﹣1}、{1}、{2}、{﹣1，1}、{﹣1，2}、{1，2}共7个，故选：C．3．【解答】映射f：N→R，x→，则f（x）=4，可得=4，得x=2，所以4的原象是2．故选：B．4．【解答】对于A，函数y==x（x≥0），与y=|x|（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数y==|x|（x∈R），与y=|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C，函数y=的定义域是{x|x≠0}，与y=|x|的定义域不相同，不是同一个函数；对于D，函数y=x，与函数y=|x|的对应关系不同，不是同一函数．故选：B．5．【解答】因为集合A={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，所以C R A={y|y≤0}．故选B．6．【解答】由函数的定义．ABC中存在x有两个y与x对应，不能构成函数．故选D7．【解答】根据指数函数耳朵图象和性质，y=a x，当a＞1时，函数为增函数，当0＜a＜1，函数为减函数，故选：C．8．【解答】由于y=的定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称，故该函数没有奇偶性，故排除A；由于y=|x|（x≥1）的定义域不关于原点对称，故该函数没有奇偶性，故排除B；由于y==的定义域为R，且f（﹣x）==f（x），故该函数为偶函数，故C满足条件；由于y=f（x）=x3+1，f（﹣x）=（﹣x）3+1=1﹣x3≠f（x），故该函数不是偶函数，故选：C．9．【解答】由函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1），得f（x+y）=a x+y=a x•a y=f（x）•f（y）．所以函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有f（x+y）=f（x）•f（y）．故选B．10．【解答】因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=﹣1＜0，f（3）=3＞0，所以零点在区间（1，3）上，故选：C．11．【解答】y=﹣x2+2x的对称轴x=1，在区间（0，+∞）上不是减函数．y=x3在在区间（0，+∞）上是增函数．y=2﹣x+1，在区间（0，+∞）上是减函数．y=x在区间（0，+∞）上是增函数．故选：C．12．【解答】∵a⊗b=，∴f（x）=2x⊗（3﹣x）=，这个函数图象的最低点是（1，2），∵函数y=f（x+1）的图象是把函数y=f（x）的图象向左平移一个单位得到的，故函数y=f（x+1）图象的最低点是（0，2），结合已知一次函数和指数函数的图象，得到正确选项为B．故选B．二、填空题13．【解答】要使函数y=+lg（x﹣5）0有意义，可得：，解得x＜5或5＜x＜6．函数的定义域为：{x|x＜5或5＜x＜6}．14．【解答】∵f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N+，∴f（2）=3f（1）=6，f（3）=f（2+1）=3f（2）=18，故答案为 18．15．【解答】设常数项为0的二次函数f（x）=ax2+bx，把点M（1，5），N（﹣1，﹣3）代入，得，解得a=1，b=4，∴f（x）=x2 +4x．故答案为：f（x）=x2 +4x．16．【解答】∵函数y=mx2+x+5在[﹣2，+∞）上是增函数∴y′=2mx+1≥0在[﹣2，+∞）恒成立y′最小值≥0求①m=0和题意②m＞0时，只要最小值2m×（﹣2）+1≥0解得m≤即0＜m≤③m＜0时，不满足y′=2mx+1≥0在[﹣2，+∞）恒成立总之0≤m≤故答案为17．【解答】∵函数f（x）=3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上是单调函数，∴若f（x）在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则满足f（﹣1）f（1）＜0即（﹣3a+1﹣2a）（3a+1﹣2a）＜0，解得，a＜﹣1或a＞故答案为a＜﹣1或a＞．18．【解答】∵当a＞0且a≠1时，函数f（x）=a x+2+5，∴当x=﹣2时，f（﹣2）=a0+5=6，∴函数f（x）=a x+2+5的图象必过定点（﹣2，6）．故答案为（﹣2，6）．19．【解答】∵奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（﹣1）=0，∴f（1）=0∴不等式f（x）＞0等价于；1°x＞0时，f（x）＞f（1）∴x＞1；2°x＜0时，f（x）＞f（﹣1）∴﹣1＜x＜0；综上x取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）．20．【解答】有定义可知，A*B={2，3，4，5}，所以A*B中的所有元素数字之和为：14．故答案为：14．三、解答题21．【解答】（Ⅰ）∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A={2，3，6，8}，B={1，6，8}，∴A∪B={1，2，3，6，8}；∁U A={1，4，5，7，9}，则（∁U A）∩B={1}；（Ⅱ）∵A={2，3，6，8}，B={1，6，8}，∴A∩B={6，8}，则A∩B的所有子集为{6}；{8}；{6，8}；∅．22．【解答】（Ⅰ）当m=2时，（m2）3•m4=43×24=1024；（Ⅱ）（0.25）﹣0.5+（﹣）﹣6250.25=（0.5）2×（﹣0.5）+（﹣3﹣3）﹣54×0.25=﹣3﹣5=﹣6．23．【解答】（Ⅰ）证明：设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+2x1﹣﹣2x2=（x1+x2）（x1﹣x2）+2（x1﹣x2）=（x1﹣x2）（x1+x2+2），∵x1﹣x2＜0，x1+x2+2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数；（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2﹣2x=f（x），即x＜0时，f（x）=x2﹣2x．24．【解答】（Ⅰ）f（﹣x）==﹣=﹣f（x）∴f（x）是奇函数；（Ⅱ）f（x）＞，即＞，∴a x＞3，则a＞1，可得x＞log a3；0＜a＜1，可得x＜log a3．25．【解答】（1）令a=b=0，得f（0）=0，；再令a=b=1得，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0（2）f（x）为奇函数．证明：∵f（ab）=af（b）+bf（a），∴令a=b=x，得：f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），①再令a=b=﹣x得：f（x2）=﹣xf（﹣x）﹣xf（﹣x）=﹣2xf（﹣x），②由①②得；2xf（x）=﹣2xf（﹣x），∴x[f（x）+f（﹣x）]=0，∵f（x）是定义域为R的不恒为0的函数，即x不恒为0，∴f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．。
2019年高一数学上期中一模试卷(附答案)
2019年高一数学上期中一模试卷(附答案)一、选择题1．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．22．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件3．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)24．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．[]28, C ．[)2,8 D ．[]2,75．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U6．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<7．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）8．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--9．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>11．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a12．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．2二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.14．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______.15．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 16．设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.17．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________.18．已知()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是________．19．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．20．函数()221,ln 2,0x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______．三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围；(2)求函数的值域．22．已知函数())22log f x x a x =+是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.23．求关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件.24．已知()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．（1）求函数()g x 的定义域；（2）求函数()g x 的最大值及此时x 的值．25．已知集合{}24xA x R =∈<，(){}lg 4B x R y x =∈=-.（1）求集合,A B ；（2）已知集合{}11C x m x m =-≤≤-，若集合()C A B ⊆⋃，求实数m 的取值范围. 26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.2．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.3．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.5．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．6．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.7．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．8．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．10．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ． 【解析】 【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点， 则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力 10【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,10m m m m a b+=+==∴= 10 【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.15．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.16．【解析】由题意得：当时恒成立即；当时恒成立即；当时即综上x 的取值范围是【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值解决此类问题时要注解析：1(,)4-+∞ 【解析】 由题意得： 当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即014x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.17．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填解析：1【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1,故填1.18．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】 【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】()()g x f x b =-Q 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．19．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性解析：-1 【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以， 则，所以．考点：函数的奇偶性．20．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个解析：4 【解析】 【分析】当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-，作y ln x =和22y x x =-的图象，判断交点个数即可，当0x <时，令()210f x x =+-=，可解得零点，从而得解. 【详解】方法一：当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-.作y ln x =和22y x x =-的图象，如图所示，显然有两个交点，当0x <时，令()210f x x =+-=，可得1x =-或3-. 综上函数的零点有4个.方法二：当0x >时，()2ln 2f x x x x =-+，()21221'22x x f x x x x-++=-+=，令()'0f x =可得()2'2210f x x x =-++=，()'01f =，()'230f =-<，说明导函数有两个零点，函数的()110f =>，()30f <，可得0x >时， 函数的零点由2个．0x <时，函数的图象如图：可知函数的零点有4个． 故答案为4． 【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．三、解答题21．(1) (2)【解析】试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域. 试题解析： 解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中因为函数开口向上，且对称轴为函数在上单调递增的最大值为，最小值为函数的值域为. 22．(1) 1a = (2) [)4,+∞ 【解析】 【分析】（1）根据函数()f x 是R 上的奇函数，得到()00f = ，即可求得a 的值；（2）由（1）可得函数()g x 的解析式，分别求得函数()f x 和()g x 的单调性与最值，进而得出关于t 的不等式，即可求解. 【详解】（1）因为())22log f x x a x =+是R 上的奇函数，所以()00f = ，即log 0a =，解得1a =. （2）由（1）可得())22log 1f x x x =+，()212121x t g x t x x t -++⎧=--=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥< .因为奇函数())2222log 1log 1f x x x x x=+=++，所以()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为233log 144M f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，因为()2121x t g x x t -++⎧=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥<，所以()g x 在31,42⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()g x 的最小值为34g ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个. 因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-， 所以()()min 23g x g t ==-，因为对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，所以13t ≤-， 解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的基本性质，合理应用奇偶性、单调性和最值列出相应的方程或不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 23．充要条件是1a ≤． 【解析】 【分析】当0a ≠时，根据根为“1正1负”、“2负根”进行讨论，由此求得a 的范围.当0a =时，直接解出方程的根.由此求得a 的取值范围. 【详解】①0a ≠时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则0a <；若方程有两个负的实根，则必有102{001440aa aa >-<∴≤∆=-≥＜．．②若0a =时，可得12x =-也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则1a ≤．反之，若1a ≤，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程2210ax x ++=至少有一负的实根的充要条件是1a ≤．【点睛】本小题主要考查根据含有参数的一元二次方程根的分布求参数，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.24．（1）[1]4，；（2）4x =时，函数有最大值13． 【解析】 【分析】（1）由已知()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解不等式可求（2）由已知可求()()()22[]g x f x f x +＝，结合二次函数的性质可求函数g x （）的最值及相应的x ． 【详解】解：（1）()42log [116]f x x x =+∈Q ，，，()()()22[]g x f x f x +＝．由题意可得，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩， 解可得，14x ≤≤即函数()g x 的定义域[1]4，； （2）()42log ,[116]f x x x =+∈Q ，， ()()()()222224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++设4log t x =，则[01]t ∈，， 而()()226633g t t t t =++=+-在[0]1，单调递增， 当1t =，即4x =时，函数有最大值13． 【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．25．(1) ()4,B =+∞(),2A =-∞;(2) m 的取值范围是()-3∞，. 【解析】试题分析：（1）由题意，根据指数幂的运算性质，可得(),2A =-∞，根据函数()lg 4y x =- 可解得4x >，得到集合B ；（2）由（1）可得()()(),24,A B =-∞+∞U U ，根据()C A B ⊆⋃，再分C =∅和C ≠∅两种情况分类讨论，即可求得实数m 的取值范围.试题解析： （1）∵x 222<∴()A ,2∞=-又∵()y lg x 4=-可知x 4> ∴()B 4,∞=+（2）∵()()()A B ,24,∞∞⋃=-⋃+，又∵()C A B ⊆⋃ （i ）若C ∅=，即1m m 1->-， 解得m 1<，满足：()C A B ⊆⋃ ∴m 1<符合条件（ii ）若C ∅≠，即m m 1-≤-， 解得m 1≥，要保证：()C A B ⊆⋃1m 4->或m 12-<，解得m 3<-（舍）或m 12-<解得[)m 1,3∈,综上：m 的取值范围是()-3∞，. 26．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<． 【解析】 【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可. 【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且30x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥-⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<． 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.。
2019学年高一数学上学期期中试题(含解析)
2019学年度第一学期高一数学期中测试一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1.1.设集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得集合A，然后再求出．【详解】∵，，∴．故选．【点睛】本题考查不等式的解法和集合交集的求法，考查运算能力，属于容易题．2.2.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：函数为奇函数，不合题意；函数是偶函数，但是在区间上单调递减，不合题意；函数为非奇非偶函数。
故选C。
考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性。
3.3.下列函数中，与函数相同的函数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：选项A、B、D中定义域与值域均不相同，只有选项C正确．故答案选C．考点：函数的三要素．4.4.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因x>0时f(x)=x2+.所以f(1)=1+1=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.故选D.视频5.5.函数与的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为,所以排除B，C；又因为对于D:由直线y=x+a可知a>1,而由对数函数的图象可知0<a<1,故应选A。
考点：一次函数与对数函数的图像.点评：掌握对数函数的图像与底数a的大小关系是研究此类问题的依据.当a>1时，对数函数是增函数；0<a<1时，对数函数是减函数.6.6.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数的图象开口向上，且对称轴为，要使得在上是减函数，则，解得，故选A．考点：二次函数的性质．7.7.下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断出所给出的三个数的范围，然后通过比较大小得到结论．【详解】由指数函数的单调性可得，由对数函数的性质得，所以．故选．【点睛】由于题中给出的三个数的类型不同，比较大小时可借助中间量进行，即先判断出每个数所在的范围，根据范围再进行大小的比较．本题主要考查指数函数、对数函数单调性的运用．8.8.函数的零点个数为（）A. B. C. D.【解析】【分析】先判断出函数的单调性，再根据函数零点的存在性定理进行判断即可得到结论．【详解】∵的定义域为，∴．又函数和在上单调递增，∴在上单调递增．又，，由零点存在性定理知函数在上有唯一零点．故选．【点睛】对函数零点个数的判断方法：(1)结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；(2)利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．9.9.若函数在上是增函数，则（）．A. B.C. D.【答案】D∵是偶函数，∴，∵在单调递减，，∴，∴，故选．10.10.一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．图1图2根据图有以下四个说法：①在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加；②在整个跑道中，最长的直线路程不超过；③大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；④在图的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹．其中，所有正确说法的序号是（）A. ①②③B. ②③C. ①④D. ③④【答案】C【解析】【分析】根据给出的两个图及四个说法，分别逐一进行分析、判断，即可得到正确的结论．【详解】由图知，在到之间，图象上升，故在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加，故①正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为之间，但直道加减速也有过程，故最长直线路程有可能超过，故②不正确；最长直线路程应在到之间开始，故③不正确；由图可知，跑道应有个弯道，且两长一短，故④正确．故选．【点睛】本题考查识图和用图能力，考查观察力及判断力，解题时要根据所给出的图形并结合给出的每个结论进行判断．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11.11.函数的定义域是__________．【答案】【解析】【分析】根据函数解析式的特征列出关于变量的不等式组，解不等式组可得函数的定义域．【详解】要使函数有意义，则需满足，解得．∴函数的定义域为．【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．12.12.设幂函数的图象经过点，则函数的解析式为__________．【答案】【解析】【分析】将点的坐标代入函数的解析式中，求出参数的值后即可得到函数的解析式．【详解】∵幂函数的图象经过点，∴，∴，解得．∴函数的解析式为．【点睛】本题考查待定系数法的运用，由题意可得当函数的图象经过点时，则该点的坐标满足函数的解析式，由此可得关于参数的方程，解得参数后便可得到所求的解析式．13.13.函数的值域为__________．【答案】【解析】【分析】先求出的范围，再根据指数函数的单调性求出函数的值域．【详解】∵，∴，∴．∴函数的值域为．【点睛】本题考查函数值域的求法，利用函数的单调性求出函数的最值后便可得到函数的值域，这也是求函数值域时常用的方法．14.14.已知函数，则__________．【答案】【解析】【分析】先求出，然后可得，即为所求的结果．【详解】由题意得，当时，；当时，．∴．【点睛】求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值求自变量的值，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围．15.15.函数的单调递减区间是___________．【答案】【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后再根据函数和函数的单调性进行判断后可得单调递减区间．【详解】由，可得，解得，∴函数的定义域为．又在单调递增，在上单调递增，在上单调递减，∴函数在上单调递增，在上单调递减．∴函数的单调递减区间是．【点睛】解答本题时注意一下两点：一是容易忽视函数的定义域，因为函数的单调区间是定义域的子集；二是注意复合函数的单调性满足“同增异减”的结论．16.16.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】画出函数的图象，根据函数有个零点，即函数的图象与直线有三个不同的公共点解题即可．【详解】由题意画出函数的图象，如下图所示，由于，，结合图象可得，当时，直线与函数的图象有三个公共点，即函数有个零点，所以实数的取值范围是．【点睛】函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况，解题时要重视数形结合思想方法的运用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出说明，证明过程或演算步骤．17.17.计算：（）；（）.【答案】（）；（）．【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解．（2）根据对数的运算性质求解即可．【详解】（）．（）．【点睛】本题考查指数幂和对数的运算，考查运算能力，解题的关键是根据相应的运算性质求解，同时要注意运算的正确性．18.18.设函数的定义域是集合，集合．（）求，，；（）若且，求实数的取值范围．【答案】（），，；（）．【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求出集合A，解绝对值不等式求出集合B，然后再根据题目求解．（2）求得集合，将转化为不等式，解不等式可得所求．【详解】（）由，解得或，∴函数的定义域为或，∴或．又．∴，，．（）由题意得．∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点睛】根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容，解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征，将问题转化为不等式或不等式组求解．解答此类问题时容易出现两类错误：一是忽略对空集的讨论；二是易忽略对字母的讨论，特别是对于含有字母的问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解．19.19.已知函数为奇函数．（）求函数的解析式；（）利用定义法证明函数在上单调递增．【答案】（）；（）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据奇函数满足可得，进而得到函数的解析式．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．【详解】（）由题意得函数的定义域为，又为奇函数，∴，∴，∴．∵，∴函数为奇函数．∴满足条件．（）设，则，∵，∴，∴．又，∴，∴，∴函数在上单调递增．【点睛】（1）解题时注意结论的运用：若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0．但要注意对结果要进行验证．（2）用定义证明函数的单调性时，可按照“取值——作差——变形——定号——下结论”的步骤进行证明．20.20.某商品每件成本元，售价元，每星期卖出件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）成正比．已知商品降低元时，一星期多卖出件．（）将一星期的商品销售利润表示成的函数；（）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大，是多少？【答案】（），（）；（）定价为元时，利润最大为元．【解析】【分析】（1）设总利润为元，根据题意可得（）．（2）求出当（1）中的函数取最大值时的值后，可得定价应为元．【详解】（）由题意得，即每降价元，则多卖出件．设总利润为元，则（）．故销售利润表示成的函数为（）．（）由（1）得．所以当时，取得最大值元．此时定价为元．【点睛】二次函数是常用的函数模型，解题时可根据题意建立二次函数模型，然后可以求出函数的值域或最值，达到求解具体问题的目的．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．21.21.已知函数．（）当时，求函数的零点；（）若函数对任意实数都有成立，求的解析式；（）当函数在区间上的最小值为时，求实数的值．【答案】（），；（）；（）或．【解析】【分析】（1）当时，解方程可得函数的零点．（2）由得到函数图象的对称轴为，求得，进而可得解析式．（3）根据抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系分类讨论求解，可得所求结论．【详解】（）当时，，由可得或，∴函数的零点为和．（）∵，∴函数图象的对称轴为，∴，解得．∴函数的解析式为．（）由题意得函数图象的对称轴为．①当，即时，在上单调递减，∴，解得．符合题意．②当，即时，由题意得．解得，∴或，又，不合题意，舍去．③当，即时，在上单调递增，∴，解得，符合题意．综上可知或．【点睛】(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．22.22.定义在上的函数满足：对任意的，都有．（）求的值；（）若当时，有，求证：在上是单调递减函数；（）在（）的条件下解不等式：．【答案】（）；（）证明见解析；（）．【解析】【分析】（1）令，根据函数的性质可得．（2）先证明函数是奇函数，然后再根据函数单调性的定义证明在上是单调递减函数．（3）将原不等式化为化为，根据函数的单调性和定义域得到关于的不等式组，解不等式组即可．【详解】（）令，则，∴．（）令，则，∴，∴是奇函数．设，且，则．∵，∴，∴，，∴，∴，∴．∴在上是单调递减函数．（）不等式可化为．∵在上是减函数，∴，解得，∴原不等式的解集为．【点睛】（1）解答抽象函数问题时，一是要注意赋值法的运用，二是要灵活运用所给的函数的性质求解．（2）在根据函数的单调性去掉不等式中的函数符号时，往往忽视定义域，解题时一定要注意这一点，避免出现错误．21。
最新2019学年高一数学上学期期中试题(含解析)
2019学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（共8小题，共40分）1．已知集合{24}A x x =<<，{3B x x =<或5}x >，则A B =（）．A ．{25}x x <<B ．{4x x <或5}x >C ．{23}x x <<D ．{2x x <或5}x >【答案】C【解析】∵集合{24}A x x =<<，集合{3B x x =<或5}x >， ∴集合{23}A B x x =<<． 故选C ．2．函数21()lg 1x f x x -=+的定义域是（）.A ．{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭ B ．12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{1}x x >-【答案】A【解析】要使函数有意义，则2101x x ->+，即(21)(1)0x x ->+，解得1x <-或12x >， ∴函数()f x 的定义域是{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭．故选A ．3．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）．A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1y x=C ．3y x =-D ．3log ()y x =-【答案】C【解析】A 项，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是非奇非偶函数，故A 错误；B 项，1y x=是奇函数，在(,0)-∞和(0,)∞+是减函数，但在定义域内不是减函数，故B 错误； C 项，3y x =-是奇函数，且在定义域内是减函数，故C 正确；D 项，3log ()y x =-是非奇非偶函数，故D 错误．故选C ．4．设集合{0,1,2,3,4,5}U =,{1,2}A =，2{540}B x x x =∈-<Z +，则()U A B =ð（）．A ．{0,1,2,3}B ．{5}C ．{1,2,4}D ．{0,4,5}【答案】D【解析】∵集合2{540}{14}{2,3}B x x x x x =∈-<=∈<<=Z Z +， ∴{1,2,3}A B =, ∴(){0,4,5}U A B =ð． 故选D ．5．函数2log 1y x =-与22x y -=的图象交点为00(,)x y ，则0x 所在区间是（）．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】设函数22()(log 1)2x f x x -=--，则0(2)11210f =--=-<，222213(3)(log 31)log 3log 3log 022f =--=-=->， ∴函数()f x 在区间(2,3)内有零点，即函数2log 1y x =-与22x y -=的图象交点为00(,)x y 时， 0x 所在区间是(2,3)．故选C ．6．已知定义域为R 的函数()f x 在(8,)∞+上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则（）．A ．(6)(7)f f >B ．(6)(9)f f >C ．(7)(9)f f >D ．(7)(10)f f >【答案】D【解析】∵(8)y f x =+是偶函数，∴(8)(8)f x f x =-++，即()y f x =关于直线8x =对称， ∴(6)(10)f f =，(7)(9)f f =． 又∵()f x 在(8,)∞+为减函数， ∴()f x 在(,8)-∞上为增函数， ∴(6)(7)f f <，即(10)(7)f f <． 故选D ．7．已知函数23,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-<=⎨⎩≥++，若|()|f x ax ≥，则a 取值范围是（）．A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[3,0]-D ．[ 3.1]-【答案】C【解析】当0x >时，根据ln(1)0x >+恒成立，则此时0a ≤， 当0x ≤时，根据23x x -+的取值为(,0]-∞，2|()|3f x x x ax =-≥， 当0x =时，不等式恒成立，当0x <时，有3a x -≥，即3a -≥． 综上可得，a 的取值范围是[3,0]-． 故选C ．8．若定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()λλ∈R 使得()()0f x f x λλ=++对任意的实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ特征函数”则下列结论中正确的个数为（）． ①()0f x =是常数函数中唯一的“λ特征函数”； ②()21f x x =+不是“λ特征函数”； ③“13特征函数”至少有一个零点； ④()e x f x =是一个“λ特征函数”；．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于①设()f x C =是一个“λ特征函数”，则(1)0C λ=+，当1λ=-时，可以取实数集，因此()0f x =不是唯一一个常数“λ特征函数”，故①错误；对于②，∵()21f x x =+，∴()()2()1(21)0f x f x x x λλλλ==++++++，即1(1)2x λλλ=--+， ∴当1λ=-时，()()20f x f x λλ=-≠++；1λ≠-时，()()0f x f x λλ=++有唯一解， ∴不存在常数()λλ∈R 使得()()0f x f x λλ=++对任意实数x 都成立， ∴()21f x x =+不是“λ特征函数”，故②正确； 对于③，令0x =得11(0)033f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭+，所以11(0)33f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若(0)0f =，显然()0f x =有实数根；若()0f x ≠，211(0)[(0)]033f f f ⎛⎫⋅=-< ⎪⎝⎭．又∵()f x 的函数图象是连续不断的，∴()f x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上必有实数根，因此任意的“λ特征函数”必有根，即任意“13特征函数”至少有一个零点，故③正确； 对于④，假设()e x f x =是一个“λ特征函数”，则e e 0x x λλ=++对任意实数x 成立，则有e 0x λ=+，而此式有解，所以()e x f x =是“λ特征函数”，故④正确． 综上所述，结论正确的是②③④，共3个． 故选C ．二、填空题（共6小题，共30分）9．已知集合{1}A x x =≤，{}B x x a =≥，且A B =R ，则实数a 的取值范围__________． 【答案】(,1]-∞【解析】用数轴表示集合A ，B ，若A B =R ，则1a ≤，即实数a 的取值范围是(,1]-∞．10．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出：则当[()]2f g x =时，x =___________． 【答案】3【解析】由表格可知：(1)2f =． ∵[()]2f g x =，∴()1g x =． 由表格知(3)1g =，故3x =．11．函数()log (1)1a f x x =-+（0a >且1a ≠）恒过点__________． 【答案】(2,1)【解析】由11x -=得2x =，故函数()log (1)1a f x x =-+恒过定点(2,1)．12．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(9)f =__________．【答案】【解析】设幂函数为()a f x x =，由于图象过点，得2a =32a =，∴32(9)9f ===13．已知函数2()223f x ax x =-+在[1,1]x ∈-上恒小于零，则实数a 的取值范围为___________． 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】由题意，22230ax x -<+在[1,1]x ∈-上恒成立．当0x =时，不等式为30-<恒成立． 当0x ≠时，23111236a x ⎛⎫<-- ⎪⎝⎭．∵1(,1][1,)x ∈-∞-∞+，∴当1x =时，23111236x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭取得最小值12，∴12a <．综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．14．设集合{1,2,.}n P n =，*n ∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð． 则（1）(4)f =___________；（2）()f n 的解析式（用n 表示）()f n =___________． 【答案】（1）4；（2）2122,()2,nn n f n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数+【注意有文字】【解析】（1）当4n =时，4{1,2,3,4}P =，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}， 故(4)4f =．（2）任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，经过k 次后，商必为奇数，此时记商为m ，于是2k x m =⋅，其中，m 为奇数，*k ∈N ．由条件可知，若m A ∈，则x A ∈，k ⇔为偶数，若m A ∉，则x A k ∈⇔为奇数，于是x 是否属于A ，由m 是否属于A 确立，设n Q 是n P 中所有的奇数的集合，因此()f n 等于n Q 的子集个数，当n 为偶数时（或奇数时），nP 中奇数的个数是12n （或12n +）．∴2122,()2,nn n f n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数+【注意有文字】．三、解答题（共6小题；共80分）15．若集合{24}A x x =-<<，{0}B x x m =-<． （1）若3m =，全集U A B =，试求()U A B ð． （2）若A B A =，求实数m 的取值范围． 【答案】【解析】（1）当3m =时，由0x m -<，得3x <，∴{4}AB x x ==<，则{34}U B x x =<≤ð， ∴(){34}U A B x x =<≤ð．（2）∵{24}A x x =-<<，{0}{}B x x m x x m =-<=<， 由A B A =得A B ⊆，∴4m ≥，即实数m 的取值范围是[4,)∞+．16．已知设函数()log (12)log (12)(0,1)a a f x x x a a =-->≠+． （1）求()f x 的定义域．（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明． （3）求使()0f x >的x 的取值范围． 【答案】【解析】（1）要使函数()log (12)log (12)a a f x x x =--+（0a >且1a ≠）有意义， 则120120x x >⎧⎨->⎩+，解得1122x -<<．故函数()f x 的定义域为1122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）可知()f x 的定义域为1122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，又()log (12)log (12)()a a f x x x f x -=--=-+， ∴()f x 为奇函数．（3）()0f x >，即log (12)log (12)0log (12)log (12)a a a a x x x x -->⇒>-++， 当1a >时，原不等式等价为1212x x >-+，解得0x >． 当01a <<，原不等式等价为1212x x <-+，记得0x <． 又∵()f x 的定义域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴当1a >时，使()0f x >的x 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．当01a <<时，使()0f x >的x 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．定义在[4,4]-上的奇函数()f x ，已知当[4,0]x ∈-时，1()()43x xaf x a =∈R +． （1）求()f x 在[0,4]上的解析式．（2）若[2,1]x ∈--时，不等式11()23x x m f x --≤恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】【解析】（1）∵()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数， ∴(0)10f a ==+，得1a =-． 又∵当[4,0]x ∈-时，111()4343xx x x a f x ==-+， ∴当[0,4]x ∈时，[4,0]x -∈-，11()4343x x x x f x ---=-=-． 又()f x 是奇函数， ∴()()34x x f x f x =--=-．综上，当[0,4]x ∈时，()34x x f x =-． （2）∵[2,1]x ∈--，11()23x x m f x --≤恒成立，即11114323x x x x m ---≤在[2,1]x ∈--恒成立， ∴12432x x xm≤+在[2,1]x ∈--时恒成立． ∵20x >，∴12223x xm ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤+． ∵12()223x xg x ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+在R 上单调递减，∴[2,1]x ∈--时，12()223xxg x ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的最大值为221217(2)2232g --⎛⎫⎛⎫-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，∴172m ≥． 即实数m 的取值范围是17,2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭+．18．某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设()f t 表示学生注意力指标．该小组发现()f t 随时间t （分钟）的变化规律（()f t 越大，表明学生的注意力越集中）如下：1010060(010)()340(1020)15640(2040)ta t f t t t t ⎧-⎪⎪=<⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤≤+（0a >且1a ≠）． 若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：（1）求a 的值．（2）上课后第5分钟和下课前5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由． （3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ 【答案】【解析】（1）由题意得，当5t =时，()140f t =，即10510060140a ⋅-=， 解得4a =．（2）∵(5)140f =，(35)1535640115f =-⨯=+， ∴(5)(35)f f >，故上课后第5分钟时比下课前5分钟时注意力更集中．（3）①当010t <≤时，由（1）知，410()100460140f t =⋅-≥，解得510t ≤≤； ②当1020t <≤时，()340140f t =>恒成立；③当20140t <≤时，()15640140f t t =-≥+，解得100203t <≤． 综上所述，10053t ≤≤． 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持10085533-=分钟．19．设a ∈R ，函数2()||f x x ax =+．（1）若()f x 在[0,1]上单调递增，求a 的取值范围．（2）即()M a 为()f x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值． 【答案】【解析】（1）考虑函数()f x 的图象，可知①当0a ≥时，在[0,1]上，2()f x x ax =+，显然()f x 在[0,1]上单调递增； ②当0a <时，在[0,)∞+上，22(),[0,](),[,)x ax x a f x x ax x a ⎧-∈-⎪=⎨∈-∞⎪⎩+++，∴()f x 在[0,1]上单调递增的充要条件是12a-≥，2a -≤．综上所述，若()f x 在[0,1]上单调递增，则2a -≤或0a ≥． （2）若0a ≥时，2()f x x ax =+，对称轴为2ax =-，()f x 站在[0,1]上递增， ∴()1M a a =+；若0a <，则()f x 在0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增，在,2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭递减，在(,)a -∞+递增；若12a-≤，即2a -≤时，()f x 在[0,1]上递增，此时()1M a a =--；若12a -<≤，即22a -<-≤()f x 的最大值为2()4a M a =；若1>，即2a >-()f x 的最大值()1M a a =+，即有21,2()1,2,224a a M a a a a a ⎧⎪>-⎪⎪=---⎨⎪⎪-<-⎪⎩≤≤+，当2a >-()3M a >- 当2a -≤时，()1M a ≥；当22a -<-≤21()(234M a --=-≥．综上可得()M a的最小值为3-20．已知：集合12{(,,,,),{0,1},1,2,,}n i n i X X x x x x x i n Ω==∈=，其中3n ≥．12(,,,,,)i n n X x x x x ∀=∈Ω，称i x 为X 的第i 个坐标分量．若n S ⊆Ω，且满足如下两条性质： ①S 中元素个数不少于4个．②X ∀，Y ，Z S ∈，存在{1,2,,}m n ∈，使得X ，Y ，Z 的第m 个坐标分量都是1．则称S 为n Ω的一个好子集． （1）若{,,,}S X Y Z W =为3Ω的一个好子集，且(1,1,0)X =，(1,0,1)Y =，写出Z ，W ． （2）若S 为n Ω的一个好子集，求证：S 中元素个数不超过12n -．（3）若S 为n Ω的一个好子集且S 中恰好有12n -个元素，求证：一定存在唯一一个{1,2,,}k n ∈，使得S 中所有元素的第k 个坐标分量都是1． 【答案】【解析】（1）(1,0,0)Z =，(1,1,1)W =． （2）对于n x ⊆Ω，考虑元素12{1,1,,1,1)i n X x x x x '=----；显然n X '∈Ω，X ∀，Y ，X '，对于任意的{1,2,,}i n ∈，i x ，i y ，1i x -不可能都为1， 可得X ，X '不可能都是好子集S 中．又因为取定X ，则X '一定存在且唯一，而且X X '≠， 由x 的定义知道，X ∀，Y ∈Ω,X Y X Y ''=⇔=这样，集合S 中元素的个数一定小于或等于集合n Ω中元素个数的一半，而集合n Ω中元素的个数为2n ，所以S 中元素个数不超过12n -．（3）12{,,}i n X x x x x ∀=，12{,,,}i n n Y y y y y ∀=∈Ω，定义元素X ，Y 的乘积为1122{,,,}i i n n XY x y x y x y x y =，显然n XY ∈Ω．我们证明“对任意的12{,,}i n X x x x x S =∈，12{,}i n Y y y y y S =∈都有XY S ∈．” 假设存在X ，Y S ∈使得XY S ∉，则由（2）知， 1122()(1,1,1,1)i i n n XY x y x y x y x y S '=----∈．此时，对于任意的{1,2,}k n ∈，k x ，k y ，1k k x y -不可能同时为1，矛盾，所以XY S ∈．因为S 中只有12n -个元素，我们记12{,,}n Z z z z =为S 中所有元素的成绩，根据上面的结论，我们知道12(,)n Z z z z S =∈，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设1k Z =，根据Z 的定义X ，可以知道S 中所有元素的k 坐标分量都为1． 下面再证明k 的唯一性：若还有1t Z =，即S 中所有元素的t 坐标分量都为1． 所以此时集合S 中元素个数至多为22n -个，矛盾． 所以结论成立．。
2019年高一数学上期中一模试题(附答案)
2019年高一数学上期中一模试题(附答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．若35225a b ==，则11a b +=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．23．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数x y a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>4．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，，B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 5．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③6．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð7．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U8．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．19．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =10．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]11．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33212．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．6二、填空题13．函数()f x =的定义域是______． 14．已知函数()32f x x x =+，若()()2330f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________． 15．若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________16．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___ 17．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________.18．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．19．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___． 20．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围； (2)求函数的值域．22．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后，y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？23．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？ 24．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域； （2）判断函数()y f x =的奇偶性； （3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.25．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.26．已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．A解析：A 【解析】 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.3．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数．所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内5．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．6．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ．本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．7．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．8．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤9．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.10．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.11．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.12．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.二、填空题13．【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案【详解】由得且函数的定义域为：；故答案为【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法是基础的会考题型 解析：[)()1,00,∞-⋃+【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞； 故答案为[)()1,00,-⋃+∞． 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．14．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内解析：(1,3) 【解析】由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()()2330f a a f a -+-<22(3)(3)3313f a a f a a a a a ⇒-<-⇒-<-⇒<<点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内15．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填解析：-1 【解析】 因为{}21,a a∈，所以1a =或21a=，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．16．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.17．（-∞-）【解析】【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判解析：（-∞，-12） 【解析】 【分析】 方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.18．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（） 【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．19．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性解析：-1 【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以， 则，所以．考点：函数的奇偶性．20．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意解析：(1,4)； 【解析】 【分析】分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围． 【详解】∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数， 当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间， ∴40a ->，求得14a <<，当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意， 综上可得a 取值范围为(1,4)， 故答案为：(1,4)． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．三、解答题21．(1) (2)【解析】试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域. 试题解析： 解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中因为函数开口向上，且对称轴为函数在上单调递增的最大值为，最小值为函数的值域为. 22．（1）0.8)4,015(,1tt t y t ≤≤⎧=⎨⋅>⎩n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时. 【解析】 【分析】（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(,1t a kt t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n ，又由函数的图象经过点(1,4)，则当1t =时，14k ⨯=，解得4k =， 又由1t =时，11()42a-=，解得3a =，所以函数的解析式为1)324,01(,1t t t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得116t ≥， 当1t ≥时，31()0.252t -≥，解得15t ≤≤，综上所述，可得实数t 的取值范围是1516t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616-=小时. 【点睛】本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.23．(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩ (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【解析】 【分析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润. 【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+. 所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增， 所以()()105400f x f ≤=（万元）. 综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.24．（1）{|22}x x -<<（2）偶函数（3）01m << 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）要使函数有意义，则，得.函数的定义域为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数的定义域为，关于原点对称，对任意，.由函数奇偶性可知，函数为偶函数.（Ⅲ）函数由复合函数单调性判断法则知，当时，函数为减函数又函数为偶函数，不等式等价于，得.25．(1) {|25}A B x x =≤<I (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-U 【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可.解析：（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m <<综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭26．（1）2a ≤（2）03a ≤< 【解析】 【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围． 【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件； 若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==， 当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件； 综上所述，03a ≤<． 【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。
2019年高一数学上期中试卷(及答案)
2019年高一数学上期中试卷(及答案)一、选择题1．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．2．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U5．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z 6．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）7．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2) B ．(3,4) C ．(5,6) D ．(6,7)9．函数y =）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 10．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．211．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．52B．52 C ．32D ．212．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>二、填空题13．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 14．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______． 15．函数()f x 的定义域是__________．16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.17．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.18．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人. 19．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.20．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围； (2)求函数的值域．22．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 23．计算下列各式的值：（Ⅰ)22log 3lg25lg4log (log 16)+- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+24．设函数()()()22log 4log 2f x x x =⋅的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）若2log t x =，求t 的取值范围；（2）求()y f x =的最大值与最小值，并求出最值时对应的x 的值．25．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？26．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120)x 剟时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k x-+升，其中k 为常数，且60100k 剟．（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．2．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.3．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .4．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．5．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.6．C解析：C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.7．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8．C解析：C 【解析】【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.9．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C10．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．11．B解析：B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x 的取值，然后利用数形结合即可得到结论． 【详解】当x≥0时，f（x）=x（|x|﹣1）=x2﹣x=（x﹣12）2﹣1144≥-，当x＜0时，f（x）=x（|x|﹣1）=﹣x2﹣x=﹣（x+12）2+14，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由f（x）=x2﹣x=2，解得x=2．当x=12时，f（12）=14-．当x＜0时，由f（x）=）=﹣x2﹣x=14 -．即4x2+4x﹣1=0，解得x=24444432248-±+⨯-±=⨯=4421282-±-±=，∴此时x=122--，∵[m，n]上的最小值为14-，最大值为2，∴n=2，12122m--≤≤，∴n﹣m的最大值为2﹣122--=522+，故选：B．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．12．B解析：B【解析】【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．15．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200 【解析】 【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数. 【详解】 设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=2 1(200)10000,0300210035000,300x xx x⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max=10000,当x≥300时,L(x)max=5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0【解析】【分析】将{}2()max ln,1,4(0)f x x x x x x=--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值.【详解】分别画出lny x=-,1y x=-,24y x x=-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.18．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系解析：【解析】【分析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.19．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3 【解析】 令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：320．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】 【分析】 先由()()43ff x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】 由题意，得()()()()()243ff x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-，即243aab ba⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21ab=⎧⎨=⎩，()21f x x∴=-，因此()23f=，故答案为3.【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．(1) (2)【解析】试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域.试题解析：解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中因为函数开口向上，且对称轴为函数在上单调递增的最大值为，最小值为函数的值域为.22．（1）3(0,1)(1,)2U；（2）不存在.【解析】【分析】（1）结合题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案；（2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a的值，得到答案．【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-， 因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数， 则满足()2320g a =->，解得32a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2U ． （2）不存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1， 可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =，即()323log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33332022x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样的实数a 不存在． 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题．23．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12. 【解析】试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,ma a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn mma a a a a -===，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1223233343441112292992⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24．（1）[]22-,；（2）x =，最小值14-，4x =，最大值12 .【解析】试题分析：（1）根据定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，利用对数函数的单调性确定函数2log t x =的取值范围；（2）根据对数的运算法则化简函数()()()()()2222log 4log 221f x x x log x log x =⋅=++利用换元法将函数()y f x =转化为关于t 的一元二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值.试题解析：（1）的取值范围为区间][221log ,log 42,24⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦（2）记()()()()()()()22log 2log 12122y f x x x t t g t t ==++=++=-≤≤．∵()23124y g t t ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭在区间32,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是减函数，在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是增函数 ∴当23log 2t x ==-即32224x -==时，()y f x =有最小值231424f g ⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭； 当2log 2t x ==即224x ==时，()y f x =有最大值()()4212f g ==． 25．（1）1.70/min km ；（2）466；（3）9 【解析】试题分析：（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；（2）还是代入求值即可；（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出1x 、2x ，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得129x x =． 试题解析：（1）将02x =，8100x =代入函数式可得：31log 81lg 22lg 220.30 1.702v =-=-=-= 故此时候鸟飞行速度为1.70/min km ． （2）将05x =，0v =代入函数式可得：310log lg 52100x =-即3log 2lg52(1lg 2)20.70 1.40100x ==⋅-=⨯= 1.43 4.66100x∴==于是466x =． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，依题意可得：13023012.5log lg 2100{11.5log lg 2100x x x x =-=-两式相减可得：13211log 2x x =，于是129x x =． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 考点：1．函数代入求值；2．解方程；3．对数运算．26．（1）[60，100]；（2）当75100k 剟，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升；46【解析】 【分析】（1）将120x =代入每小时的油耗，解方程可得100=k ，由题意可得14500(100)95x x-+„，解不等式可得x 的范围； （2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，由题意可得10014500()5y x k x x=-+g ，换元令1t x =、化简整理可得t 的二次函数，讨论t 的范围和对称轴的关系，即可得到所求最小值． 【详解】 解：（1）由题意可得当120x =时，1450014500()(120)11.555120x k k x -+=-+=， 解得100=k ，由14500(100)95x x-+„， 即214545000x x -+„，解得45100x 剟， 又60120x 剟，可得60100x 剟， 每小时的油耗不超过9升，x 的取值范围为[60，100]； （2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，则 2100145002090000()20(60120)5k y x k x x x x x=-+=-+g 剟， 令1t x=，则1[120t ∈，1]60，即有22290000202090000()209000900k k y t kt t =-+=-+-， 对称轴为9000k t =，由60100k 剟，可得1[9000150k ∈，1]90，①若19000120k …即75100k 剟， 则当9000k t =，即9000x k=时，220900min k y =-；②若19000120k <即6075k <„， 则当1120t =，即120x =时，10546min ky =-． 答：当75100k 剟，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升；46【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．。
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高一（上）期中数学一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合M={0，1，2}，N={2，3}，那么集合M∩N等于（）A．{1} B．{2} C．{1，2} D．{0，1，2，3}2．（5分）函数y=+的定义域为（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）3．（5分）已知函数f（x）=x2+1，那么f（x﹣1）等于（）A．x B．x2﹣2x C．x2D．x2﹣2x+24．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．y=x2﹣1 B．y=|x| C．y=﹣3x+2 D．y=log2x5．（5分）函数f（x）=+是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数6．（5分）设集合M={x|0≤x≤2}，N={x|0≤y≤2}，给出下四个图形，其中能构成从集合M到集合N的函数关系的是（）A．B．C．D．7．（5分）已知2x2+x﹣3=（x﹣1）（ax+b），则a，b的值分别为（）A．2，3 B．2，﹣3 C．﹣2，3 D．﹣2，﹣38．（5分）的零点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．（5分）若函数f（x）=x2+（a﹣1）x+a在区间[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围（）A．（﹣∞，﹣3） B．[3，+∞）C．（﹣∞，3] D．[﹣3，+∞）10．（5分）计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为（）A．2400元B．900元C．300元D．3600元二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知全集为R，集合A={x|x＞2}，那么集合∁R A等于．12．（5分）已知f（x）=ax3+2bx﹣1且f（﹣1）=3，则f（1）= ．13．（5分）已知集合A到B的映射f：x→y=2x+1，那么集合B中元素2在A中的原象是．14．（5分）设f（x）=，若f（x）=3，则x= ．15．（5分）二次函数y=f（x）的图象经过点（0，﹣1），且顶点坐标为（1，﹣2），这个函数的解析式为，函数f（x）在区间[0，3]上的最大值等于．16．（5分）定义在正整数有序对集合上的函数f满足：①f（x，x）=x，②f（x，y）=f（y，x），③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），则f（4，8）= ，f（12，16）+f（16，12）= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知（x，y）在映射f的作用下的像是（x+y，xy），求（﹣2，3）在f作用下的像和（2，﹣3）在f 作用下的原像．18．（12分）已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣8≥0}．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）．19．（12分）已知函数f（x）=x+且f（1）=2（1）求m的值；（2）判断f（x）的奇偶性．20．（12分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（Ⅱ）求该函数在区间[1，5]上的最大值和最小值．21．（12分）已知函数f（x）=x2+2ax﹣3：（1）如果f（a+1）﹣f（a）=9，求a的值；（2）问a为何值时，函数的最小值是﹣4．22．（12分）某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的函数关系式；（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？数学试题答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．）1．【解答】∵M={0，1，2}，N={2，3}，∴M∩N={2}，故选：B．2．【解答】要使函数有意义，则，解得x≥﹣1且x≠1，∴函数的定义域为{x|x≥﹣1且x≠1}，也即[﹣1，1）∪（1，+∞）．故答案为：D3．【解答】函数f（x）=x2+1，那么f（x﹣1）=（x﹣1）2+1=x2﹣2x+2．故选：D．4．【解答】对于选项A，是开口向上的二次函数，对称轴为y轴，在区间（0，+∞）上为增函数，故不正确；对于选项B，函数y=|x|在区间（0，+∞）上的函数表达式：y=x，则y=x在区间（0，+∞）上为增函数，故不正确；对于选项C，一次函数y=﹣3x+2的一次项系数小于0，则函数y=﹣3x+2在区间（0，+∞）上为减函数，故正确；对于选项D，对数函数y=log2x的底数大于1，则函数在区间（0，+∞）上为增函数，故不正确；故选C．5．【解答】要使函数f（x）有意义，则，解得x=1．∴函数f（x）的定义域为{1}，关于原点不对称，因此函数f（x）是非奇非偶函数．故选：C．6．【解答】函数的概念是给出两个非空的数集，再给出一个对应关系f，在对应关系的作用下，前一个数集中的任意一个数，在后一个数集中都有唯一确定的数和它对应，把这样的对应叫做函数，由此分析，图①中当x∈（1，2]时，在数集N中无对应元素，故①不是；图②中的集合M=[﹣1，2]，所以②不是从集合M到集合N的函数；图③中的一个x值对应了两个y值，违背函数概念，所以③不是从集合M到集合N的函数；只有图④符合函数的图象表示．故选；D．7．【解答】2x2+x﹣3=（x﹣1）（ax+b）=ax2+（b﹣a）x﹣b，∴a=2，b=3．故选A．8．【解答】f（x）=0，所以f（x）的零点个数即函数与x轴的交点的个数，作出函数的图象，结合函数的图可知有2个交点，故选C．9．【解答】∵二次函数f（x）=x2+（a﹣1）x+a 的对称轴为 x=（1﹣a），函数f（x）=x2+（a﹣1）x+a在区间[2，+∞）上是增函数，∴区间[2，+∞）在对称轴的右侧，即x=（1﹣a）≤2，∴a≥﹣3，则a的取值范围[﹣3，+∞）故选D．10．【解答】由题意可得，9年后计算机的价格为：8100×=8100×=2400 故选A二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.【解答】∵全集为R，集合A={x|x＞2}，∴∁R A={x|x≤2}，故答案为：{x|x≤2}12．【解答】∵f（x）=ax3+2bx﹣1∴f（﹣x）+f（x）=﹣2，∵f（﹣1）=3，∴f（1）=﹣5，故答案为：﹣513．【解答】由题意，令y=2x+1=2，解得，x=；故答案为：．14．【解答】当x≤﹣1时，即x+2=3，解得x=1（舍去）当﹣1＜x＜2时，即x2=3，解得x=，或x=﹣（舍去）当x≥2时，即2x=3，解得x=（舍去）故当f（x）=3，则x=故答案为：15．【解答】∵二次函数y=f（x）的图象经过点（0，﹣1），且顶点坐标为（1，﹣2），∴y=f（x）=a（x﹣1）2﹣2，把（0，﹣1）代入得：a=1，∴这个函数解析式为y=f（x）=（x﹣1）2﹣2=x2﹣2x﹣1，∵抛物线对称轴为直线x=1，且开口向上，∴函数f（x）在区间[0，3]上，当x=3时，y取得最大值，最大值为2．故答案为：y=x2﹣2x﹣1；216．【解答】由题意，f（4，8）=f（4，4+4）=f（4，4）=2×4=8；f（12，16）+f（16，12）=2f（12，16）=2f（12，12+4）=2××f（12，12）=2×4×12=96．故答案为：8；96．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【解答】①由映射的定义知，x=﹣2，y=3，∴x+y=1，xy=﹣6，∴（﹣2，3）在f作用下的像是（1，﹣6）；②由x+y=2，且xy=﹣3得解得：x=﹣1，y=3，或x=3，y=﹣1，∴（2，﹣3）在f作用下的原像是（﹣1，3）或（3，﹣1）．18．【解答】（1）由A={x|3≤x＜10}，B={x|2x﹣8≥0}={x|x≥4}．∴A∪B={x|3≤x＜10}∪{x|x≥4}={x|x≥3}．（2）A∩B={x|3≤x＜10}∩{x|x≥4}={x|4≤x＜10}．∴∁R（A∩B）={x|x＜4或x≥10}．19．【解答】（1）∵f（1）=2，∴f（1）=1+m=2解得m=1；（2）∵f（x）=x+，∴函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），则f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．20．【解答】（Ⅰ）f（x）在[1，+∞）上是增函数，证明：f′（x）=；∴f（x）在[1，+∞）上为增函数；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[1，5]上单调递增；∴此时，f（x）的最大值为f（5）=，最小值为f（1）=．21．【解答】（1）∵f（a+1）﹣f（a）=9，∴（a+1）2+2a（a+1）﹣3﹣（a2+2a﹣3）=9解得a=2（2）f（x）=x2+2ax﹣3=（x+a）2﹣a2﹣3∵f（x）的最小值是﹣4∴﹣a2﹣3=﹣4解可得a=1或a=﹣122．【解答】（1）根据题意得：y=（80+x）（384﹣4x）=﹣4x2+64x+30720（0＜x＜96）；（2）∵y=﹣4x2+64x+30720=﹣4（x2﹣16x+64）+256+30720=﹣4（x﹣8）2+30976，∴当x=8时，y有最大值30976，则增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大总量是30976件．。