（完整版）初一数学下册相交线与平行线试卷(含答案) 培优试卷

一、选择题
1．如图，直线//AB CD ，点E ，F 分别在直线．AB 和直线CD 上，点P 在两条平行线之间，AEP ∠和CFP ∠的角平分线交于点H ，已知78P ∠=︒，则H ∠的度数为（ ）
A ．102︒
B ．156︒
C ．142︒
D ．141︒ 2．如图，//,AB CD ABK ∠的平分线B
E 的反向延长线和DCK ∠的平分线C
F 的反向延长
线相交于点 24H K H ∠-∠=︒，
，则K ∠=（ ）
A ．76︒
B ．78︒
C ．80︒
D ．82︒
3．如图所示，若AB ∥EF ，用含α、β、γ的式子表示x ，应为（ ）
A ．αβγ++
B ．βγα+-
C ．180αγβ︒--+
D ．180αβγ︒++- 4．如图，//,2,2,AB CD FEN BEN FGH CGH ∠=∠∠=∠则F ∠与H ∠的数量关系是( )
A ．90F H ︒∠+∠=
B ．2H F ∠=∠
C ．2180H F ︒∠-∠=
D ．3180H F ︒∠-∠=
5．如图，直线AB 、CD 相交于点E ，DF ∥AB ．若∠AEC=100°，则∠D 等于（ ）
A ．70°
B ．80°
C ．90°
D ．100° 6．如图，C 为AOB ∠的边OA 上一点，过点C 作//CD OB 交AOB ∠的平分线O
E 于点
F ，作CH OB ⊥交BO 的延长线于点H ，若EFD α∠=，现有以下结论：①COF α∠=；②1802AOH α∠=︒-；③CH CD ⊥；④290OCH α∠=-︒．结论正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，直线AB ，CD 被直线ED 所截，//AB CD ，1140∠=︒，则D ∠的度数为（ ）．
A ．40°
B ．60°
C ．45°
D ．70°
8．如图，长方形ABCD 中，7AB =，第一次平移长方形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位，得到长方形1111D C B A ，第3次平移将长方形1111D C B A 沿11A B 的方向向右平移5个单位，得到长方形2222A B C D ，…第n 次平移将长方形1111n n n n A B C D ----的方向平移5个单位，得到长方形(2)n n n n A B C D n >，若n AB 的长度为2022，则n 的值为（ ）
A ．403
B ．404
C ．405
D ．406
9．直线12//l l ，125A ∠=︒，85B ∠=︒，115∠=︒，则2∠=（ ）
A ．15°
B ．25°
C ．35
D ．20°
10．如图，点E 在CA 延长线上，DE 、AB 交于F ，且BDE AEF ∠=∠，B C ∠=∠，EFA 比FDC ∠的余角小10︒，P 为线段DC 上一动点，Q 为PC 上一点，且满足FQP QFP ∠=∠，FM 为EFP ∠的平分线．则下列结论：①//AB CD ；②FQ 平分AFP ∠；③140B E ∠+∠=︒；④QFM ∠的角度为定值．其中正确结论的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧（//PQ MN ）各安置一探照灯A ，BC （A 在B 的左侧），灯A 发出的射线AC 从AM 开始以a 度/秒的速度顺时针旋转至AN 后立即回转，灯B 发出的射线BD 从BP 开始以1度/秒的速度顺时针旋转至BQ 后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线AC 第一次经过点B ，此时55ABD ∠=︒，则a =________，两灯继续转动，射线AC 与射线BD 交于点E （如图2），在射线．．．BD ．．到达．．BQ ．．之前．．
，当120AEB ∠=︒，MAC ∠的度数为________．
12．如图，直线MN ∥PQ ，点A 在直线MN 与PQ 之间，点B 在直线MN 上，连结
AB ．∠ABM 的平分线BC 交PQ 于点C ，连结AC ，过点A 作AD ⊥PQ 交PQ 于点D ，作
AF ⊥AB 交PQ 于点F ，AE 平分∠DAF 交PQ 于点E ，若∠CAE=45°，∠ACB=52
∠DAE ，则∠ACD 的度数是_____．
13．如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ，已知∠F ＝40°，则∠E ＝_____度．
14．如图，直线
，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为________
15．如图，已知∠A ＝（60﹣x ）°，∠ADC ＝（120+x ）°，∠CDB ＝∠CBD ，BE 平分∠CBF ，若∠DBE ＝59°，则∠DFB ＝___．
16．如图，已知40ABC ∠=︒，点D 为ABC ∠内部的一点，以D 为顶点，作EDF ∠，使得//DE BC ，//DF AB ，则EDF ∠的度数为___________．
17．如图，a ∥b ，∠2＝∠3，140,∠=︒则∠4的度数是___度．
18．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6BC =，将长方形ABCD 沿着BC 方向平移得到长方形A B C D ''''．若ABB A ''是正方形，则四边形ABC D ''的周长是______．
19．把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF 是折痕，若32EFB ∠=︒，则下列结论：（1）'32C EF ∠=︒；（2）148AEC ∠=︒；（3）64BGE ∠=︒；（4）
116BFD ∠=︒．正确的有________个．
20．如图//AB CD ，分别作AEF ∠和CFE ∠的角平分线交于点1P ，称为第一次操作，则
1P ∠=_______；接着作1AEP ∠和1CFP ∠的角平分线交于2P ，称为第二次操作，继续作
2AEP ∠和2CFP ∠的角平分线交于2P ，称方第三次操作，如此一直操作下去，则n P ∠=______．
三、解答题
21．如图，直线HD //GE ，点A 在直线HD 上，点C 在直线GE 上，点B 在直线HD 、GE 之间，∠DAB ＝120°．
（1）如图1，若∠BCG ＝40°，求∠ABC 的度数；
（2）如图2，AF 平分∠HAB ，BC 平分∠FCG ，∠BCG ＝20°，比较∠B ，∠F 的大小； （3）如图3，点P 是线段AB 上一点，PN 平分∠APC ，CN 平分∠PCE ，探究∠HAP 和∠N 的数量关系，并说明理由．
22．点A ，C ，E 在直线l 上，点B 不在直线l 上，把线段AB 沿直线l 向右平移得到线段CD ．
（1）如图1，若点E 在线段AC 上，求证：∠B +∠D =∠BED ；
（2）若点E 不在线段AC 上，试猜想并证明∠B ，∠D ，∠BED 之间的等量关系；
（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B 作PB //ED ，在直线BP ，ED 之间有点M ，使得∠ABE =∠EBM ，∠CDE =∠EDM ，同时点F 使得∠ABE =n ∠EBF ，∠CDE =n ∠EDF ，其中n ≥1，设∠BMD =m ，利用（1)中的结论求∠BFD 的度数（用含m ，n 的代数式表示）． 23．已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．
（1）如图1，求证：90A C ∠+∠=︒；
（2）如图2，过点B 作BD MA ⊥的延长线于点D ，求证：ABD C ∠=∠；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，且BF 平分DBC ∠，BE 平分ABD ∠，若AFC BCF ∠=∠，3BFC DBE ∠=∠，求EBC ∠的度数． 24．如图1，点E 在直线AB 、DC 之间，且180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒．
（1）求证：//AB DC ；
（2）若点F 是直线BA 上的一点，且BEF BFE ∠=∠，EG 平分DEB ∠交直线AB 于点G ，若20D ∠=︒，求FEG ∠的度数；
（3）如图3，点N 是直线AB 、DC 外一点，且满足14
CDM CDE ∠=∠，14
ABN ABE ∠=∠，ND 与BE 交于点M ．已知()012CDM αα∠=︒<<︒，且//BN DE ，则NMB ∠的度数为______（请直接写出答案，用含α的式子表示）．
25．已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CD//OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD 与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
过点P作PQ∥AB，过点H作HG∥AB，根据平行线的性质得到∠EPF=∠BEP+∠DFP=78°，结合角平分线的定义得到∠AEH+∠CFH，同理可得∠EHF=∠AEH+∠CFH．
【详解】
解：过点P作PQ∥AB，过点H作HG∥AB，
AB CD，
//
则PQ∥CD，HG∥CD，
∴∠BEP=∠QPE，∠DFP=∠QPF，
∵∠EPF=∠QPE+∠QPF=78°，
∴∠BEP+∠DFP=78°，
∴∠AEP+∠CFP=360°-78°=282°，
∵EH平分∠AEP，HF平分∠CFP，
∴∠AEH +∠CFH =282°÷2=141°，
同理可得：∠EHF =∠AEH +∠CFH =141°，
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等得出结论．
2．A
解析：A
【分析】
分别过K 、H 作AB 的平行线MN 和RS ，根据平行线的性质和角平分线的性质可用ABK ∠和DCK ∠分别表示出H ∠和K ∠，从而可找到H ∠和K ∠的关系，结合条件可求得K ∠．
【详解】
解：如图，分别过K 、H 作AB 的平行线MN 和RS ，
//AB CD ，
//////AB CD RS MN ∴，
12
RHB ABE ABK ∴∠=∠=∠，12SHC DCF DCK ∠=∠=∠， 180NKB ABK MKC DCK ∠+∠=∠+∠=︒，
1180180()2
BHC RHB SHC ABK DCK ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠， 180BKC NKB MKC ∠=︒-∠-∠
180ABK DCK =∠+∠-︒，
36021801802BKC BHC BHC ∴∠=︒-∠-︒=︒-∠，
又24BKC BHC ∠-∠=︒，
24BHC BKC ∴∠=∠-︒，
1802(24)BKC BKC ∴∠=︒-∠-︒，
76BKC ∴∠=︒，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④//a b ，////⇒b c a c ．
3．C
解析：C
【分析】
过C 作CD ∥AB ，过M 作MN ∥EF ，推出AB ∥CD ∥MN ∥EF ，根据平行线的性质得出α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN ，∠NMF=γ，求出∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，即可得出答案．
【详解】
过C 作CD ∥AB ，过M 作MN ∥EF ，
∵AB ∥EF ，
∴AB ∥CD ∥MN ∥EF ，
∴α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN ，∠NMF=γ，
∴∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，
∴x =∠BCD+∠DCM=180αγβ︒--+，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
4．D
解析：D
【分析】
先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解．
【详解】
设,NEB HGC αβ∠=∠=
则2,2FEN FGH αβ∠=∠=
∵//AB CD
∴H AEH HGC ∠=∠+∠
NEB HGC =∠+∠
αβ=+
F FEB FGD ∠=∠-∠
()180FEB FGC =∠-︒-∠
()31803αβ=-︒-
()3180αβ=+-︒
∴F ∠3180H =∠-︒
3180H F ∴∠-∠=︒
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用． 5．B
解析：B
【详解】
因为AB ∥DF ，所以∠D+∠DEB=180°，因为∠DEB 与∠AEC 是对顶角，
所以∠DEB=100°，所以∠D=180°﹣∠DEB=80°．故选B ．
6．D
解析：D
【分析】
根据平行线的性质可得EOB EFD α∠=∠=，结合角平分线的定义可判断①；再由平角的定义可判断②；由平行线的性质可判断③；由余角及补角的定义可判断④．
【详解】
解：//CD OB ，EFD α∠=，
EOB EFD α∴∠=∠=， OE 平分AOB ∠，
COF EOB α∴∠=∠=，故①正确；
2AOB α∠=，
180AOB AOH ∠+∠=︒，
1802AOH α∴∠=︒-，故②正确；
//CD OB ，CH OB ⊥，
CH CD ∴⊥，故③正确；
90HCO HOC ∴∠+∠=︒，180AOB HOC ∠+∠=︒，
290OCH α∴∠=-︒，故④正确．
正确为①②③④，
故选:D．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
根据平行线的性质得出∠2＝∠D，进而利用邻补角得出答案即可．
【详解】
解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠D，
∵∠1＝140°，
∴∠D＝∠2＝180°−∠1＝180°−140°＝40°，
故选：A．
【点睛】
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
8．A
解析：A
【分析】
根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=7-5=2，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出AB n=（n+1）×5+2求出n即可．
【详解】
解：∵AB=7，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形
A1B1C1D1，
第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，∴AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=7-5=2，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+2=12，
∴AB2的长为：5+5+7=17；
∵AB1=2×5+2=12，AB2=3×5+2=17，
∴AB n=（n+1）×5+2=2022，
解得：n=403．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出AA 1=5，A 1A 2=5是解题关键．
9．A
解析：A
【分析】
分别过A 、B 作直线1l 的平行线AD 、BC ，根据平行线的性质即可完成．
【详解】
分别过A 、B 作直线1l ∥AD 、1l ∥BC ，如图所示，则AD ∥BC
∵1l ∥2l
∴2l ∥BC
∴∠CBF =∠2
∵1l ∥AD
∴∠EAD =∠1=15゜
∴∠DAB =∠EAB -∠EAD =125゜-15゜=110゜
∵AD ∥BC
∴∠DAB +∠ABC =180゜
∴∠ABC =180゜-∠DAB =180゜-110゜=70゜
∴∠CBF =∠ABF -∠ABC =85゜-70゜=15゜
∴∠2=15゜
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定等知识，关键是作两条平行线．
10．D
解析：D
【分析】
①由BDE AEF ∠=∠可得AE ∥BD ，进而得到B EAF ∠=∠，结合B C ∠=∠即可得到结论；②由//AB CD 得出AFQ FQP ∠=∠，结合FQP QFP ∠=∠即可得解；③由平行线的性质和内角和定理判断即可；④根据角平分线的性质求解即可；
【详解】
∵BDE AEF ∠=∠，
∴AE ∥BD ，
∴B EAF ∠=∠，
∵B C ∠=∠，
∴EAF C ∠=∠，
∴//AB CD ，结论①正确；
∵//AB CD ，
∴AFQ FQP ∠=∠，
∵FQP QFP ∠=∠，
∴AFQ QFP ∠=∠，
∴FQ 平分AFP ∠，结论②正确；
∵//AB CD ，
∴EFA FDC ∠=∠，
∵EFA 比FDC ∠的余角小10︒，
∴40EFA ∠=︒，
∵B EAF ∠=∠，180EFA E EAF ∠+∠+∠=︒，
∴180140B E EFA ∠+∠=︒-∠=︒，结论③正确；
∵FM 为EFP ∠的平分线， ∴111222
MFP EFP EFA AFP ∠=∠=∠+∠， ∵AFQ QFP ∠=∠， ∴12
QFP AFP ∠=∠， ∴1202
QFM MFP QFP EFA ∠=∠-∠=∠=︒，结论④正确； 故正确的结论是①②③④；
故答案选D ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、余角和补角的性质，准确分析计算是解题的关键．
二、填空题
11．或．
【分析】
（1）由平行线的性质，得到角之间的关系，然后列出方程，解方程即可；
（2）由题意，根据旋转的性质，平行线的性质，可对运动过程分成两种情况进行分析：①射线AC 没到达AN 时，；②
解析：120︒或60︒．
【分析】
（1）由平行线的性质，得到角之间的关系，然后列出方程，解方程即可；
（2）由题意，根据旋转的性质，平行线的性质，可对运动过程分成两种情况进行分析：①射线AC 没到达AN 时，120AEB ∠=︒；②射线AC 到达AN 后，返回旋转的过程中，
∠=︒；分别求出答案即可．
AEB
120
【详解】
解：（1）如图，射线AC第一次经过点B，
∵//
PQ MN，
∴M AB ABP ABD DBP
∠=∠=∠+∠，
∴55
∠=︒+∠，
MAB DBP
∴5555551
a=︒+⨯︒，
a=；
解得：2
故答案为：2．
（2）①设射线AC的转动时间为t秒，则如图，作EF//MN//PQ，
由旋转的性质，则1802
∠=︒-︒，PBE t
EAN t
∠=︒，
∵EF//MN//PQ，
∴1802
∠=∠=︒，
∠=∠=︒-︒，FEB PBE t
AEF EAN t
∵120
∠=∠+∠=︒，
AEB AEF FEB
∴1802120
t t
︒-︒+︒=︒，
t=（秒），
∴60
∴260120
MAC
∠=⨯=︒；
②设射线AC的转动时间为t秒，则如图，作EF//MN//PQ，此时AC为达到AN之后返回途中的图像；
与①同理，
∴3602
MAC t
∠=︒-︒，180
QBE t
∠=︒-︒，
∵120
AEB AEF FEB
∠=∠+∠=︒，
∴3602180120
t t
︒-︒+︒-︒=︒，
解得：120
t=（秒）；
∴360212060
MAC
∠=︒-⨯=︒；
综合上述，MAC
∠的度数为：120︒或60︒；
故答案为：120︒或60︒．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意，作出辅助线，运用分类讨论的思想进行解题．
12．27°．
【分析】
延长FA与直线MN交于点K，通过角度的不断转换解得∠BCA=45°.
【详解】
解：延长FA与直线MN交于点K，
由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD
解析：27°．
【分析】
延长FA与直线MN交于点K，通过角度的不断转换解得∠BCA=45°.
【详解】
解：延长FA与直线MN交于点K，
由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-1
2
∠FAD=45°-1
2
(90°-∠AFD)=
1
2
∠AFD，
因为MN∥PQ，所以∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°，
所以∠ACD=1
2
∠AFD=1
2
(∠ABM-90°)=∠BCD-45°，即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°，
所以∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-2
5
∠BCA=45°-18°=27°.
故∠ACD的度数是：27°.
【点睛】
本题利用平行线、垂直、角平分线综合考查了角度的求解.
13．80
【详解】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80.
解析：80
【详解】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=1
2
∠CPE=∠F+∠1，
∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80.
14．【解析】
试题分析：过B作BE∥m，则根据平行公理及推论可知l∥BE，然后可证明得到∠1+∠2=∠ABC=45°，因此可求得∠2=20°.
故答案为：20.
解析：【解析】
试题分析：过B作BE∥m，则根据平行公理及推论可知l∥BE，然后可证明得到
∠1+∠2=∠ABC=45°，因此可求得∠2=20°.
故答案为：20.
15．【分析】
根据题意可得，设，分别表示出，进而根据平行线的性质可得∠DFB．
【详解】
∠A＝（60﹣x）°，∠ADC＝（120+x）°，
，
，
，
，
，
BE平分∠CBF，
，
设，
解析：62︒
【分析】
根据题意可得//AB CD ，设EBF EBC α∠=∠=，分别表示出,ABD DBF ∠∠，进而根据平行线的性质可得∠DFB ．
【详解】
∠A ＝（60﹣x ）°，∠ADC ＝（120+x ）°，
180A ADC ∴∠+∠=︒，
//AB CD ∴，
CDB ABD ∴∠=∠，
CDB CBD ∠=∠，
ABD CBD ∴∠=∠，
BE 平分∠CBF ，
EBF EBC ∴∠=∠，
设EBF EBC α∠=∠=，
∠DBE ＝59°，
∴59DBF α∠=︒-，
59ABD DBC α∴∠=∠=︒+，
5959118ABF ABD DBF αα∴∠=∠+∠=︒++︒-=︒，
//AB CD ，
180********DFB ABF ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．
故答案为：62︒．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，证明//AB CD 是解题的关键． 16．或
【分析】
由题意可分两种情况分别画出图形，然后根据平行线的性质进行求解即可．
【详解】
解：由题意得：
①如图，
∵，，
∴，
∵，
∴；
②如图，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述
解析：40︒或140︒
【分析】
由题意可分两种情况分别画出图形，然后根据平行线的性质进行求解即可．
【详解】
解：由题意得：
①如图，
∵//DF AB ，40ABC ∠=︒，
∴40DFC ABC ∠=∠=︒，
∵//DE BC ，
∴40DFC EDF ∠=∠=︒；
②如图，
∵//DF AB ，40ABC ∠=︒，
∴40DFC ABC ∠=∠=︒，
∵//DE BC ，
∴180DFC EDF ∠+∠=︒，
∴140EDF ∠=︒；
综上所述：EDF ∠的度数为40︒或140︒；
故答案为40︒或140︒．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，注意分类讨论． 17．40
【分析】
分别作a ∥c ，a ∥d ，则a ∥b ∥c ∥d ，由题可知根据平行线的性质得出再用等式的性质得出再根据平行线的性质由a ∥c ，b ∥d ，得出即可得出．
【详解】
如图，作a ∥c ，a ∥d ，则a ∥b ∥
解析：40
【分析】
分别作a ∥c ，a ∥d ，则a ∥b ∥c ∥d ，由题可知5678,∠+∠=∠+∠根据平行线的性质得出67,∠=∠再用等式的性质得出58,∠=∠再根据平行线的性质由a ∥c ，b ∥d ，得出15,48,∠=∠∠=∠即可得出1440∠=∠=︒．
【详解】
如图，作a ∥c ，a ∥d ，则a ∥b ∥c ∥d ，
∵∠2＝∠3，
∴5678,∠+∠=∠+∠
又∵c ∥d ，
∴67,∠=∠
∴58,∠=∠
∵a ∥c ，b ∥d ，
∴15,48,∠=∠∠=∠
∴1440,∠=∠=︒
故答案为：40．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质；两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 18．28
【分析】
根据平移的性质求出，再由长方形的周长公式求解即可．
【详解】
解：由题意可知，四边形是正方形，
∴，，
又∵长方形由长方形平移得到，
∴
∵
∴四边形的周长为：
故答案为：28
【点
解析：28
【分析】
根据平移的性质求出10BC '=，再由长方形的周长公式求解即可．
【详解】
解：由题意可知，四边形ABB A ''是正方形，
∴4BB AB '==，642B C BC '==-=，
又∵长方形A B C D ''''由长方形ABCD 平移得到，
∴6B C BC ''==
∵4610BC BB B C ''''=+=+=
∴四边形ABC D '的周长为：(104)228+⨯=
故答案为：28
【点睛】
此题主要考查了平移的性质，求出10BC '=是解答此题的关键．
19．3
【分析】
（1）根据平行线的性质即可得到答案；
（2）根据平行线的性质得到：∠AEF=180°-∠EFB=180°-32°=148°，又因为∠AEF=∠AEC+∠GEF ，可得∠AEC ＜148°，
解析：3
【分析】
（1）根据平行线的性质即可得到答案；
（2）根据平行线的性质得到：∠AEF =180°-∠EFB =180°-32°=148°，又因为
∠AEF =∠AEC +∠GEF ，可得∠AEC ＜148°，即可判断是否正确；
（3）根据翻转的性质可得∠GEF =∠C ′EF ，又因为∠C′EG =64°，根据平行线性质即可得到∠BGE =∠C′EG =64°，即可判断是否正确；
（4）根据对顶角的性质得：∠CGF =∠BGE =64°，根据平行线得性质即可得：∠BFD =180°-∠CGF 即可得到结果．
【详解】
解：（1）∵//AE BG ，∠EFB=32°，
∴∠C ′EF =∠EFB =32°，故本小题正确；
（2）∵AE ∥BG ，∠EFB =32°，
∴∠AEF =180°-∠EFB =180°-32°=148°，
∵∠AEF =∠AEC +∠GEF ，
∴∠AEC ＜148°，故本小题错误；
（3）∵∠C′EF =32°，
∴∠GEF =∠C ′EF =32°，
∴∠C′EG =∠C′EF +∠GEF =32°+32°=64°，
∵AC′∥BD′，
∴∠BGE =∠C′EG =64°，故本小题正确；
（4）∵∠BGE =64°，
∴∠CGF =∠BGE =64°，
∵//DF CG ，
∴∠BFD =180°-∠CGF =180°-64°=116°，故本小题正确．
故正确的为：（1）（3）（4）共3个，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
20．90°
【分析】
过P1作P1Q ∥AB ，则P1Q ∥CD ，根据平行线的性质得到∠AEF+∠CFE=180°，∠AEP1=∠EP1Q ，∠CFP1=∠FP1Q ，结合角平分线的定义可计算∠E
解析：90°
902n
︒ 【分析】
过P 1作P 1Q ∥AB ，则P 1Q ∥CD ，根据平行线的性质得到∠AEF +∠CFE =180°，
∠AEP 1=∠EP 1Q ，∠CFP 1=∠FP 1Q ，结合角平分线的定义可计算∠EP 1F ，再同理求出∠P 2，∠P 3，总结规律可得n P ∠．
【详解】
解：过P 1作P 1Q ∥AB ，则P 1Q ∥CD ，
∵AB ∥CD ，
∴∠AEF +∠CFE =180°，
∠AEP 1=∠EP 1Q ，∠CFP 1=∠FP 1Q ，
∵AEF ∠和CFE ∠的角平分线交于点1P ，
∴∠EP 1F =∠EP 1Q +∠FP 1Q =∠AEP 1+∠CFP 1=12（∠AEF +∠CFE ）=90°；
同理可得：∠P 2=14（∠AEF +∠CFE ）=45°， ∠P 3=18
（∠AEF +∠CFE ）=22.5°， ...， ∴902n n
P ︒∠=， 故答案为：90°，
902n ︒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，规律性问题，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算求解．
三、解答题
∠HAP；理由见解析．21．（1）∠ABC＝100°；（2）∠ABC＞∠AFC；（3）∠N＝90°﹣1
2
【分析】
（1）过点B作BM//HD，则HD//GE//BM，根据平行线的性质求得∠ABM与∠CBM，便可求得最后结果；
（2）过B作BP//HD//GE，过F作FQ//HD//GE，由平行线的性质得，∠ABC＝
∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，由角平分线的性质和已知角的度数分别求得
∠HAF，∠FCG，最后便可求得结果；
（3）过P作PK//HD//GE，先由平行线的性质证明∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝
∠HAF+∠FCG，再根据角平分线求得∠NPC与∠PCN，由后由三角形内角和定理便可求得结果．
【详解】
解：（1）过点B作BM//HD，则HD//GE//BM，如图1，
∴∠ABM＝180°﹣∠DAB，∠CBM＝∠BCG，
∵∠DAB＝120°，∠BCG＝40°，
∴∠ABM＝60°，∠CBM＝40°，
∴∠ABC＝∠ABM+∠CBM＝100°；
（2）过B作BP//HD//GE，过F作FQ//HD//GE，如图2，
∴∠ABP＝∠HAB，∠CBP＝∠BCG，∠AFQ＝∠HAF，∠CFQ＝∠FCG，∴∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAB＝180°﹣∠DAB＝60°，
∵AF平分∠HAB，BC平分∠FCG，∠BCG＝20°，
∴∠HAF＝30°，∠FCG＝40°，
∴∠ABC＝60°+20°＝80°，∠AFC＝30°+40°＝70°，
∴∠ABC＞∠AFC；
（3）过P作PK//HD//GE，如图3，
∴∠APK＝∠HAP，∠CPK＝∠PCG，
∴∠APC＝∠HAP+∠PCG，
∵PN平分∠APC，
∴∠NPC＝1
2∠HAP+1
2
∠PCG，
∵∠PCE＝180°﹣∠PCG，CN平分∠PCE，∴∠PCN＝90°﹣1
2
∠PCG，
∵∠N+∠NPC+∠PCN＝180°，
∴∠N＝180°﹣1
2∠HAP﹣1
2
∠PCG﹣90°+1
2
∠PCG＝90°﹣1
2
∠HAP，
即：∠N＝90°﹣1
2
∠HAP．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．
22．（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E在AC的延
长线上时，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）
()1
2
m n
n
-
【分析】
（1）如图1中，过点E作ET∥A B．利用平行线的性质解决问题．
（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可．
（3）利用（1）中结论，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解决问题即可．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥A B．由平移可得AB∥CD，
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．
（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥A B．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．
如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点E作ET∥A B．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．
（3）如图，设∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，
∵AB ∥CD ，
∴∠BMD =∠ABM +∠CDM ，
∴m =2x +2y ，
∴x +y =12m ，
∵∠BFD =∠ABF +∠CDF ，∠ABE =n ∠EBF ，∠CDE =n ∠EDF ，
∴∠BFD =
()111n n n x y x y n n n ---+=+=112n m n -⨯=()12m n n
-． 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）︒=∠105EBC ．
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到C BDA ∠=∠,然后结合AB BC ⊥即可证明；
（2）过B 作//BH DM ，先说明ABD CBH ∠=∠，然后再说明//BH NC 得到CBH C ∠=∠，最后运用等量代换解答即可；
（3）设∠DBE =a ，则∠BFC =3a ，根据角平分线的定义可得∠ABD =∠C =2a ，
∠FBC =12∠DBC =a +45°，根据三角形内角和可得∠BFC +∠FBC +∠BCF =180°，可得
∠AFC =∠BCF 的度数表达式，再根据平行的性质可得∠AFC +∠NCF =180°，代入即可算出a 的度数，进而完成解答．
【详解】
（1）证明：∵//AM CN ，
∴C BDA ∠=∠，
∵AB BC ⊥于B ，
∴90B ∠=︒，
∴90A BDA ∠+∠=︒，
∴90A C ∠+∠=︒；
（2）证明：过B 作//BH DM ，
∵BD MA ⊥，
∴90ABD ABH ∠+∠=︒，
又∵AB BC ⊥，
∴90ABH CBH ∠+∠=︒，
∴ABD CBH ∠=∠，
∵//BH DM ，//AM CN
∴//BH NC ，
∴CBH C ∠=∠，
∴ABD C ∠=∠；
（3）设∠DBE =a ，则∠BFC =3a ，
∵BE 平分∠ABD ，
∴∠ABD =∠C =2a ，
又∵AB ⊥BC ，BF 平分∠DBC ，
∴∠DBC =∠ABD +∠ABC =2a +90，即：∠FBC =12∠DBC =a +45°
又∵∠BFC +∠FBC +∠BCF =180°，即：3a +a +45°+∠BCF =180°
∴∠BCF =135°-4a ，
∴∠AFC =∠BCF =135°-4a ，
又∵AM //CN ，
∴∠AFC +∠ NCF =180°，即：∠AFC +∠BCN +∠BCF =180°，
∴135°-4a +135°-4a +2a =180，解得a =15°，
∴∠ABE =15°，
∴∠EBC =∠ABE +∠ABC =15°+90°=105°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角平分线的性质是解答本题的关键．
24．（1）见解析；（2）10°；（3）18015α︒-
【分析】
（1）过点E 作EF ∥CD ，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出,CDE DEF ∠=∠结合已知条件180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒，得出180,FEB ABE ∠+∠=︒即可证明；
（2）过点E 作HE ∥CD ，设,,GEF x FEB EFB y ∠=∠=∠= 由（1）得AB ∥CD ，则AB ∥CD ∥HE ，由平行线的性质，得出20,DEF D EFB y ∠=∠+∠=︒+再由EG 平分DEB ∠，得出,DEG GEB GEF FEB x y ∠=∠=∠+∠=+则2DEF DEG GEF x y ∠=∠+∠=+，则可列出关于x 和y 的方程，即可求得x ，即GEF ∠的度数；
（3）过点N 作NP ∥CD ，过点M 作QM ∥CD ，由（1）得AB ∥CD ，则
NP ∥CD ∥AB ∥QM ，根据14
CDM CDE ∠=∠和CDM α∠=，得出3,MDE α∠=根据CD ∥PN ∥QM ,DE ∥NB ,得出,PND CDM DMQ α∠=∠=∠=3,EDM BNM α∠=∠=即
4,BNP α∠=根据NP ∥AB ，得出4,PNB ABN α∠=∠=再由14
ABN ABE ∠=∠，得出16,ABM α∠=由AB ∥QM ,得出18016,QMB α∠=︒-因为NMB NMQ QMB ∠=∠+∠，代入α的式子即可求出BMN ∠．
【详解】
（1）过点E 作EF ∥CD ，如图，
∵EF ∥CD ,
∴,CDE DEF ∠=∠
∴,DEB CDE DEB DEF FEB ∠-∠=∠-∠=∠
∵180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒,
∴180,FEB ABE ∠+∠=︒
∴EF ∥AB ，
∴CD ∥AB ；
（2）过点E 作HE ∥CD ，如图，
设,,GEF x FEB EFB y ∠=∠=∠=
由（1）得AB ∥CD ，则AB ∥CD ∥HE ，
∴20,,D DEH HEF EFB y ∠=∠=︒∠=∠=
∴20,DEF DEH HEF D EFB y ∠=∠+∠=∠+∠=︒+
又∵EG 平分DEB ∠，
∴,DEG GEB GEF FEB x y ∠=∠=∠+∠=+
∴2,DEF DEG GEF x y x x y ∠=∠+∠=++=+
即220,x y y +=︒+
解得：10,x =︒即10GEF ∠=︒；
（3）过点N 作NP ∥CD ，过点M 作QM ∥CD ，如图，
由（1）得AB ∥CD ，则NP ∥CD ∥AB ∥QM ，
∵NP ∥CD ，CD ∥QM ，,CDM α∠=
∴PND CDM DMQ α∠=∠=∠=,
又∵14
CDM CDE ∠=∠， ∴33,MDE CDM α∠=∠=
∵//BN DE ,
∴3,MDE BNM α∠=∠=
∴34,PNB PND BNM ααα∠=∠+∠=+=
又∵PN ∥AB ，
∴4,PNB NBA α∠=∠= ∵14
ABN ABE ∠=∠, ∴44416,ABM ABN αα∠=∠=⨯=
又∵AB ∥QM ，
∴180,ABM QMB ∠+∠=︒
∴18018016,QMB ABM α∠=︒-∠=︒-
∴1801618015NMB NMQ QMB ααα∠=∠+∠=+︒-=-．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系．
25．（1）150°；（2）∠OCD +∠BO ′E ′=360°-α；（3）∠AOB =∠BO ′E ′
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到∠AOE 的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE 的度数；
（2）如图②，过O 点作OF ∥CD ，根据平行线的判定和性质可得∠OCD 、∠BO ′E ′的数量关系；
（3）由已知推出CP ∥OB ，得到∠AOB +∠PCO =180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD =2∠PCO =360°-2∠AOB ，根据（2）∠OCD +∠BO ′E ′=360°-∠AOB ，进而推出∠AOB =∠BO ′E ′．
【详解】
解：（1）∵CD ∥OE ，
∴∠AOE =∠OCD =120°，
∴∠BOE =360°-∠AOE -∠AOB =360°-90°-120°=150°；
（2）∠OCD +∠BO ′E ′=360°-α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，
∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；
（3）∠AOB=∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′=90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB=180°，
∴2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，
∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，
∴∠AOB=∠BO′E′．
【点睛】
此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键．。