小升初第二次活动·数学解析

45
图1 45
方案二：在一边切下两个边长为 45 厘米的正方形，然后焊接到对边上，如图 2，做成一个水箱， 此水箱容积为： 315 90 45 1275750(cm3) 1275.75(L) ．
45
315
45 90
45
图2
方案三：先切下两个长为 180 厘米，宽为 45 厘米的长方形，然后焊接邻边上作为水箱的两个侧面， 如图 3，此水箱的容积为：180 180 45 1458000(cm3) 1458(L) ．
5. 树林里原来有一些麻雀和燕子，麻雀数量是燕子的 7 ；后来又飞来 3 只燕子，此时麻雀与燕子 9
的数量比为 3 : 4 ，那么现在麻雀和燕子共有________只． 【解析】麻雀与燕子原来的数量比为 7 : 9 21: 27 ，现在的数量 (28 27) (28 21) 147 （只）． 【答案】147
a d bc
【答案】 x 12 ， y 7 ， z 94
二、解答题（共 46 分，其中第 7 题 6 分，第 8,9,10,11,12 题各 8 分；请写出必要解答过程，只有答 案不给分）
7. a
1
1380 ，求 a b c d e 的值（ a ， b ， c ， d ， e 为非零自然数）．
bc 11 d1
1051
e
【解析】利用分数的性质，层层推理，可得 a 1 ， b 3 ， c 5 ， d 7 ， e 9 ，所以
a b c d e 25 ．
【答案】25
8. 一个正方体木块共有 8 个角，切去一个角，还剩下几个角？ 【解析】此题分四种情况（如图）： （1） 过三个顶点切去一个角，此时还剩 7 个角； （2） 过两个顶点切去一个角，此时还剩 8 个角；
: SAEG
1S 12
:1S 12
1:1，
SEFG
SBEF
1 2 SBEG
1 2
1 2
1 2
2 3
S
1S 12
，
四边形 CEFG 的面积为 1 S 1 S 1 S 1 2012 335 1 (cm2 )
12 12 6 6
3
FG C
E
10. 12012 22012 32012 20122012 计算结果的个位数字是多少？ 【解析】12012 1(mod10) ，22012 6(mod10) ，32012 1(mod10) ，42012 6(mod10) ，52012 5(mod10) ， 62012 6(mod10) ， 72012 1(mod10) ， 82012 6(mod10) ， 92012 1(mod10) ， 02012 0(mod10) ，所 以12012 22012 102012 3(mod10) ， 12012 22012 32012 20122012 12012 22012 3 201(mod10) ， 12012 22012 3 201 0(mod10) ， 12012 22012 32012 20122012 0(mod10) ，即计算结果的个位数字是 0． 【答案】0 11. 如图，一个棱长为 10 厘米的正方体，从前到后、从左到右、从上到下各挖掉一个 4 4 10 的
班级
学校
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密封线内不要答题
（3） 过一个顶点切去一个角，此时还剩 9 个角； （4） 不过顶点切去一个角，此时还剩 10 个角．
A
D
FG
B
C
E
【答案】7 个，或 8 个，或 9 个，或 10 个．
【答案】 335 1 cm2 3
9. 在正方形 ABCD 中， BE 2EC ， DG GC ，AE 与 BG 相交于 F，正方形 ABCD 的面积为 2012cm2 。求四边形 CEFG 的面积．
6. 已知关于 x 的方程 5 [x 2(x a )] 4x 与 6x a 3x 4 1 有相同的解，那么此时这个解是
5
18 12
________．
【解析】由 5 [x 2(x a )] 4x 得： 5x 10x 2a 4x ， 9x 2a ； 5
由 6x a 3x 4 1得：12x 2a 9x 12 36 ， 3x 2a 24 ； 18 12
【解析】此题可以用不定方程求解 三个人的总得分为 22 9 9 40 ，每一个项目总得分为 a b c ， 所以 N (a b c) 22 9 9 40 ，可知 N 是 40 的因数； 又 a b c 1 2 3 ，即 a b c 6 ，所以 6N N (a b c) 40 ，可得 N 6 ． 由题中条件可知比赛项目至少有两个，即 N 2 ，所以 N 可取 2，4，5． （1）若 N=2，则只有两个项目，而乙取得朗诵项目第一，总分为 9 分，有 9 a c ， a 8 ，这样 甲不可能得 22 分，舍去； （2）若 N=4，由乙得分情况可知： 9 a 3c ，又 c 1，所以 a 6 ， 若 a 5 ，那么四个项目最多得 20 分，甲就不可能得 22 分； 若 a 6 ，由 4 (a b c) 40 得 b c 4 ；又 b c ，所以 b 3 ， c 1，此时甲最多得 3 个第一和 1 个第二，共 3 6 3 21 分， 21 22 ，舍去； （3）若 N 5 ，由 N (a b c) 40 得 a b c 8 ； 若 c 2 ，则 a b c 4 3 2 ，即 a b c 9 ，与 a b c 8 矛盾，所以 c 1； 若 a 5 ，甲五个项目最多得 20 分，故 a 5 ；若 a 6 ，则 b c 2 ，只有 b c 1 ，与 b c 矛盾； 所以 a 5 ， b 2 ， c 1． 甲： 22 4 5 2 ，所以甲取得了 4 个第一和 1 个第二； 乙： 9 5 4 1 ，所以乙取得了 1 个第一和 4 个第三； 丙： 9 4 2 1 ，所以丙取得了 4 个第二和 1 个第三． 综上， N 5 ；甲在竞赛中共取得 4 个项目第一． 【答案】 N 5 ，甲在竞赛中共取得4个项目第一
三、论述题（每题 12 分，共 24 分；请写出必要解答过程，只有答案不给分）
13. 用一块长 360 厘米，宽 180 厘米的长方形铁皮焊接成一个高为 45 厘米的无盖长方体水箱，怎 样设计既省材料，又能保证容积最大？容积最大是多少？（最多只能切成 5 块再焊接）
【解析】 方案一：从这个长方形铁皮的四个角各切掉一个边长为 45 厘米的正方形，然后折起四边焊接成一 个高为 45 厘米的水箱，如图 1，此水箱的容积为：
【解析】根据抽屉原理最不利原则，当取出 23 根红色筷子、1 根白色筷子、1 根绿色筷子和 1 根黑 色筷子时为最糟糕情况，此时再取 1 根即可；共 23 1 1 1 1 27 （根） 【答案】27
3. 找规律填数，根据前三个图中规律，第四个图中 x ______ ， y ______ ， z ______ ．
cd
3 2x 3 x
34
42
【解析】
6x 12 ，
4x 6 ，得 (12x 18) (24x 48) 6 ， x 2 ．
3 2x
3x
【答案】2
一、填空题（每题 5 分，共 30 分，将答案填在下面的空格处） 1. 今天是 2012 年 05 月 28 日，请在 20120528 这八个数字之间添加＋、－、×、÷四种运算符号
联系电话
姓名 密封线内不要答题
2020 年春季学而思小升初第二次活动 数学
考 生 1.本试卷共 4 页，14 题 须 2.本试卷满分 100 分，考试时间 90 分钟 知 3.在试卷密封线内填写学校、班级、姓名、联系电话
3
4
ab
4. 定义新运算：
a d b c ；如果 3 4 4 2 6 ，那么 x ______ ．
【解析】设甲的工效为 x ，单独完成需要 a 万元；乙的工效为 y ，单独完成需要 b 万元；根据题意， 列方程
8(x y) 6x 12 y
1 ，解得
1
x y
1 12 1 24
；
有所得工钱可知：
681a(21a2
b 24
12
)
b 24
10.4 9.6
，解得
a b
12 7.2
，
7.2 12 ，从节约开支的角度考虑，巍巍应该选择乙公司． 【答案】乙公司
A
D
B
【解析】连接 EG 和 AG，记正方形 ABCD 的面积为 S．
可知 SCEG
1 2
1 2
1S 3
1S 12
，
SAEG S SABE SCEG SADG S1S 1 S1S 3 12 4 1S 3
12 1
SABE
2
3
S
S 3
，
在四边形
ABEG
中，由蝴蝶定理可知， BF
: FG
SABE
密封线内不要答题
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45
45
180
270 90 45 1093500(cm3) 1093.5(L) ．
45 图3
对比方案一、方案二、方案三可知，方案三既省材料，容积又大，容积最大为 1458000 cm3 ．
【答案】容积最大为 1458000 cm3
班级
学校
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14. 有一类竞赛共含有 N 个项目，有甲、乙、丙三位选手参加．在每个项目中，第一、二、三名 分别得 a 分、 b 分、 c 分，其中 a 、 b 、 c 均为正整数且 a b c ．比赛结束后，甲得 22 分， 乙得 9 分，丙得 9 分，并且乙在朗诵项目中取得第一．求 N 的值，并求出甲在竞赛中共取得 了几个项目第一？
中的某些符号，使得下面等式成立． 20120528 9 【解析】注意到 8 1 9 ，则可以使其他部分运算结果为 0，可得 2 0 1 2 0 5 2 8 9 .（答 案不唯一） 【答案】 2 0 1 2 0 5 2 8 9 （答案不唯一）
2. 盒子里有 8 根白色筷子，11 根绿色筷子，15 根黑色筷子和 23 根红色筷子，至少拿出________ 根才能保证有两双颜色不同的筷子．
长方体，得到的几何体的体积是多少？表面积是多少？
【解析】 体积：分解，用整体减去挖掉部分，挖掉部分可看做 6 个 4 4 3 的长方体和一个 4 4 4 的正方体． 10 10 10 4 4 3 6 4 4 4 1000 288 64 648(cm3 )
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所以 3x 9x 24 ，得 x 2 ．
【答案】2
6 30 83
7 43 94
12
138 14 9
10 y xz
【解析】根据图中规律， b a 2 ， c a 3 ， d b c a ，所以 x 10 2 12 ， y 10 3 7 ， z 12 7 10 94 ．
联系电话
姓名 密封线内不要答题
表面积：10 10 6 4 4 6 4 3 4 6 600 96 288 792(cm2 )
【答案】体积： 648cm3 ，表面积： 792cm2
45 270 45 90
12. 巍巍准备装修一套房子，如果甲、乙两个装饰公司合做需 8 周完成，共需装修费 10.4 万元； 如果先由甲单独工作 6 周后，再由乙工作 12 周也可完成任务，共需装修费 9.6 万元．如果只 选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，巍巍是选甲公司还是乙公司？请说明理由．