线性代数课程小结
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n维单位向量
向量、向量组与矩阵
0 0 ei 1 0
(i 1,2, , n)
A ( 1 , 2 ,, m )
§4.2 向量间的线性关系
k1 1 + k2 2+ …+km m =0
含有零向量的 n 维向量组必定线性相关
• 分块矩阵的运算与一般矩阵的运算相同。在对分块矩阵 进行运算时，要注意以下几点：
• 1) 计算两个矩阵的加法时，要将两个矩阵进行相同 的划分，以保证对应子块同型；
• 2) 进行乘法运算时，要使对第一个矩阵列的分法与 第二个矩阵行的分法一致，这样才能保证对应子块 能相乘； • 3) 求矩阵转置时，要将子块当作元素将分块矩阵转 置后，再将每个子块转置.
r A T r A ; 若A~B，则r A r B
对矩阵施行初等变换后，矩阵的秩不变. 通过初等行变换把矩阵变成阶梯形矩阵，从而直 接看出矩阵的秩.
§3.4 线性方程组有解的判定定理
线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件为： ~ r ( A) r ( A)
A
1
1
A.
T 1
A A1 .
1
1
A 1 B 1 A 1
A
A
1
T
A1 A
1
设方阵A满足方程A2 A 2E 0, 证明 : A, A 2E都可逆, 并求它们的逆矩阵.
§2.4 分块矩阵的运算
• 以子块为元素的矩阵称分块矩阵。
性无关组
r (1 , 2 ,, m )
等价向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价
向量组的秩与矩阵的秩的关系
• Th:设矩阵
A (aij ) mn
的列向量依次为
1 , 2 ,, n
则 r (1 , 2 ,, n ) r ( A)
• 通过转置，行向量变为列向量，所以矩阵A的秩 等于它列向量的秩，也等于它行向量的秩。 • →通过矩阵的秩求向量组的秩
f ( x) 1 x 0 0 0 x 1
行列式的性质
(要充分利用行列式的性质进行行列式的计算）
性质1
行列式与它的转置行列式相等.
性质2
互换行列式的两行（列）,行列式变号.
推论:如果行列式有两行（列）完全相同，则此 行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘 5A 以同一数k，等于用数k乘此行列式. 推论：行列式中如果有一行元素全为零，或有 两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和.则…
阵，单位矩阵 行列式有值的定义，而矩阵则没有
§2.2 矩阵的运算
• 一、矩阵的加法、减法 • 二、数与矩阵相乘
线性运算
• 三、矩阵与矩阵相乘 （不满足交换律）
C AB . cij aik bkj
k 1 s
• 四、矩阵的转置 • 五、方阵的行列式
ABT BT AT .
AT A ;
称为n维向量，简称为向量。 这n个数称为该 向量的n个分量，第i个数ai 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量，
行向量,列向量
两个n维向量相等、零向量、负向量。
n 维向量的线性运算
=( a 1 b 1 , a 2 b 2 , … , a n b n ).
k=(ka1, ka2 , …， kan).
• 2）数乘：
k V
• 且满足运算规则（8条）则称V对于所定义加法及数 乘运算构成数域P上的线性空间（向量空间） 定义2 设V是一个线性空间，S是V的一个非空子 集，如果S对于V中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称S为V的子空间．
非齐次线性方程组
• 非齐次线性方程组 • 对应齐次线性方程组
Ax b Ax 0
( 9) ( 4)
• Th7(解的性质)：1）设γ1，γ2是(9)的任意两个解向量， 则γ1 - γ2是对应齐次线性方程组(4)的解向量；
• 2）设γ是(9)的任意解向量，η是对应齐次线性方程组
(4)的解向量，则γ+ η是(9)的解向量。
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调 i , j 两行, 记作ri rj）；
2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k , 记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到
另一行对应的元素上去 （第 j 行的 k 倍加到第 i 行上记作krj ri） .
• 向量 可由向量组1, 2, …, m线性表示 r(A)= r(A ,)
线性表示与线性相关、线性无关的关系
§4.3向量组的秩
•向量组
1 , 2 ,, s
与向量组
1 , 2 ,, t 等价。
1, 2, …, r 是向量组1, 2, …, m 的一个极大线
初等列变换 初等变换 矩阵等价
初等变换不改变矩阵的秩
1 • 阶梯型矩阵：零行 在非零行的下面； 自第二个非零行起，每个非零行的 0 第一个非零元素在上一个非零行的 0 0 第一个非零元素的右面。
1 2 1 4 1 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0
唯一解 n r ( A) r ( A) 时，有 r n 无穷多解 推论：齐次线性方程组Ax=0至少有0解（平凡解）； 他有非0解的充分必要条件为： r ( A) r n
当
第4章 向量组的线性相关性
n维向量 定义： n 个数 a1 , a2 ,, an 所组成的有序数组
• 简化的阶梯形矩阵：每个非零行 的第一个非零元素为1；每个非 零行 的第一个非零元素所在列的 其他元素都为零。
1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
0 4 0 3 1 3 0 0
• Th1：任何矩阵可经初等行变换化为阶梯形和简化 的阶梯形矩阵；可经初等变换化为标准形矩阵。
第一章 行列式
二、三阶行列式的计算 对角线法则
由 n 2 个数组成的n 阶行列式等于所有取自 不同 行不同列的n 个元素的乘积的代数和
p1 p2 pn
1
J p1 p2 pn
a1 p1 a2 p2 anpn
a11 a21 记作 D an1
a12
a1n
x
3 4
a22 a2 n an 2 ann
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
性质6：行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D aij Aij i 1,2,, n
j 1
n
性质7（包含性质6）：
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1 D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
Er 0 Er • 标准形矩阵 0 0 , 0 , Er 0 , Er , 0 mn
§3.2 初等矩阵
定义 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为 初等矩阵.
1. 对调两行或两列； Rij Cij 2. 以数 k 0 乘某行或某列； Ri (k ) Ci (k ) 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去． Rij (k ) C ji (k )
•Th8(解的结构)：设设γ0是(9)的一个解，η1，η2，，
ηs是对应齐次线性方程组(4)的基础解系，则
0 c11 c22 css (c1 , c2 ,, cs是任意常数)
给出非齐次线性方程组(9)的所有解（通解）
§4.5 向量空间（了解）
• 定义1 设V是一个非空集合，P为数域． ， V， kP定义了(线性运算) • 1）加法： V
1 0 Ax 0 0 0
0
1
b11 b1,n r x1 x 2 br1 br ,n r 0 ( 6) 0 x 0 n
0 1, , 0
0 0 1
(7)
x1 b11 xr 1 b1 ,n r xn 分别代入 x b x b r 1 r 1 r ,n r xn r
§4.4 齐次线性方程组解的性质 设有齐次线性方程组 Ax 0
( 4)
• Th5(解的性质）：设η1，η2是（4）的解向量，则它 们的线性组合也是（4）的解向量。 • →若（4）有非零解，则它有无穷多解。
• 定义(基础解系)：设η1，η2 ， ，ηs是（4）的一组解向 量，若 • 1) η1，η2 ， ，ηs线性相关； • 2)方程组（4）的任何一个解向量都可以由η1，η2 ， ， ηs线性表示， • 则称η1，η2 ， ，ηs是齐次线性方程组（4）的一个基 础解系。
两个n维向量线性相关，它们对应分量成比例
部分相关则整体相关；整体无关则部分无关 线性相关性的矩阵表示:向量组1, 2, …, m线性相关的 充分必要条件是r(A)<m,线性无关的充分必要条件是 r(A)=m.其中A是以1, 2, …, m为列向量构成的矩阵
线性表示
=k1 1+k22+ … +kmm
第二章 矩 阵
§2.1 矩阵的概念
a11 a 21 A a m1
简记为
a12 a 22 am1
A Amn aij mn aij .
a1 n a2n a mn
矩阵A的 m , n元
同型矩阵；相等；行矩阵,列矩阵,对角矩阵，零矩
x1 b11 xr 1 b1 ,n r xn x b x b r 1 r 1 r ,n r xn r
现对 xr 1 , , xn 取下列 n r 组数：
xr 1 1 xr 2 0 , xn 0
Th2：设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相 当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初 等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.
Th1`
§3.3 矩阵的秩
k 阶子式 A的不为零的子式的最高阶数称为 A 的秩，记为r(A).
若 A 为 mn 矩阵则 r(A)≤m 且 r(A) ≤n
n
克拉默法则
a x
j 1 ij n j
bi (i 1,2,, n)
的系数行列式不等于零，即
a11 a12 a1 n a 21 a 22 a 2 n 0 D a n1 a n 2 a nn
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
• Th6(解的结构）：齐次线性方程组(4) 的系数矩
阵A的秩r<n，则方程组(4)存在由n-r个解向量η1，
η2 ， ，ηn-r构成的基础解系。它们的线性组合
c11 c22 cnrnr (c1 , c2 ,, cnr是任意常数) (5)
• 给出了齐次线性方程组(4) 的所有解。
A n A ;
AB A B ;
§2.3 可逆矩阵
定义条件是 A 0 ，且 A A , A
利用待定系数法
初等行变换 1 A E E A 利用初等变换求逆阵的方法：
可逆矩阵的性质
B
向量、向量组与矩阵
0 0 ei 1 0
(i 1,2, , n)
A ( 1 , 2 ,, m )
§4.2 向量间的线性关系
k1 1 + k2 2+ …+km m =0
含有零向量的 n 维向量组必定线性相关
• 分块矩阵的运算与一般矩阵的运算相同。在对分块矩阵 进行运算时，要注意以下几点：
• 1) 计算两个矩阵的加法时，要将两个矩阵进行相同 的划分，以保证对应子块同型；
• 2) 进行乘法运算时，要使对第一个矩阵列的分法与 第二个矩阵行的分法一致，这样才能保证对应子块 能相乘； • 3) 求矩阵转置时，要将子块当作元素将分块矩阵转 置后，再将每个子块转置.
r A T r A ; 若A~B，则r A r B
对矩阵施行初等变换后，矩阵的秩不变. 通过初等行变换把矩阵变成阶梯形矩阵，从而直 接看出矩阵的秩.
§3.4 线性方程组有解的判定定理
线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件为： ~ r ( A) r ( A)
A
1
1
A.
T 1
A A1 .
1
1
A 1 B 1 A 1
A
A
1
T
A1 A
1
设方阵A满足方程A2 A 2E 0, 证明 : A, A 2E都可逆, 并求它们的逆矩阵.
§2.4 分块矩阵的运算
• 以子块为元素的矩阵称分块矩阵。
性无关组
r (1 , 2 ,, m )
等价向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价
向量组的秩与矩阵的秩的关系
• Th:设矩阵
A (aij ) mn
的列向量依次为
1 , 2 ,, n
则 r (1 , 2 ,, n ) r ( A)
• 通过转置，行向量变为列向量，所以矩阵A的秩 等于它列向量的秩，也等于它行向量的秩。 • →通过矩阵的秩求向量组的秩
f ( x) 1 x 0 0 0 x 1
行列式的性质
(要充分利用行列式的性质进行行列式的计算）
性质1
行列式与它的转置行列式相等.
性质2
互换行列式的两行（列）,行列式变号.
推论:如果行列式有两行（列）完全相同，则此 行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘 5A 以同一数k，等于用数k乘此行列式. 推论：行列式中如果有一行元素全为零，或有 两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和.则…
阵，单位矩阵 行列式有值的定义，而矩阵则没有
§2.2 矩阵的运算
• 一、矩阵的加法、减法 • 二、数与矩阵相乘
线性运算
• 三、矩阵与矩阵相乘 （不满足交换律）
C AB . cij aik bkj
k 1 s
• 四、矩阵的转置 • 五、方阵的行列式
ABT BT AT .
AT A ;
称为n维向量，简称为向量。 这n个数称为该 向量的n个分量，第i个数ai 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量，
行向量,列向量
两个n维向量相等、零向量、负向量。
n 维向量的线性运算
=( a 1 b 1 , a 2 b 2 , … , a n b n ).
k=(ka1, ka2 , …， kan).
• 2）数乘：
k V
• 且满足运算规则（8条）则称V对于所定义加法及数 乘运算构成数域P上的线性空间（向量空间） 定义2 设V是一个线性空间，S是V的一个非空子 集，如果S对于V中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称S为V的子空间．
非齐次线性方程组
• 非齐次线性方程组 • 对应齐次线性方程组
Ax b Ax 0
( 9) ( 4)
• Th7(解的性质)：1）设γ1，γ2是(9)的任意两个解向量， 则γ1 - γ2是对应齐次线性方程组(4)的解向量；
• 2）设γ是(9)的任意解向量，η是对应齐次线性方程组
(4)的解向量，则γ+ η是(9)的解向量。
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调 i , j 两行, 记作ri rj）；
2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k , 记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到
另一行对应的元素上去 （第 j 行的 k 倍加到第 i 行上记作krj ri） .
• 向量 可由向量组1, 2, …, m线性表示 r(A)= r(A ,)
线性表示与线性相关、线性无关的关系
§4.3向量组的秩
•向量组
1 , 2 ,, s
与向量组
1 , 2 ,, t 等价。
1, 2, …, r 是向量组1, 2, …, m 的一个极大线
初等列变换 初等变换 矩阵等价
初等变换不改变矩阵的秩
1 • 阶梯型矩阵：零行 在非零行的下面； 自第二个非零行起，每个非零行的 0 第一个非零元素在上一个非零行的 0 0 第一个非零元素的右面。
1 2 1 4 1 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0
唯一解 n r ( A) r ( A) 时，有 r n 无穷多解 推论：齐次线性方程组Ax=0至少有0解（平凡解）； 他有非0解的充分必要条件为： r ( A) r n
当
第4章 向量组的线性相关性
n维向量 定义： n 个数 a1 , a2 ,, an 所组成的有序数组
• 简化的阶梯形矩阵：每个非零行 的第一个非零元素为1；每个非 零行 的第一个非零元素所在列的 其他元素都为零。
1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
0 4 0 3 1 3 0 0
• Th1：任何矩阵可经初等行变换化为阶梯形和简化 的阶梯形矩阵；可经初等变换化为标准形矩阵。
第一章 行列式
二、三阶行列式的计算 对角线法则
由 n 2 个数组成的n 阶行列式等于所有取自 不同 行不同列的n 个元素的乘积的代数和
p1 p2 pn
1
J p1 p2 pn
a1 p1 a2 p2 anpn
a11 a21 记作 D an1
a12
a1n
x
3 4
a22 a2 n an 2 ann
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
性质6：行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D aij Aij i 1,2,, n
j 1
n
性质7（包含性质6）：
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1 D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
Er 0 Er • 标准形矩阵 0 0 , 0 , Er 0 , Er , 0 mn
§3.2 初等矩阵
定义 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为 初等矩阵.
1. 对调两行或两列； Rij Cij 2. 以数 k 0 乘某行或某列； Ri (k ) Ci (k ) 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去． Rij (k ) C ji (k )
•Th8(解的结构)：设设γ0是(9)的一个解，η1，η2，，
ηs是对应齐次线性方程组(4)的基础解系，则
0 c11 c22 css (c1 , c2 ,, cs是任意常数)
给出非齐次线性方程组(9)的所有解（通解）
§4.5 向量空间（了解）
• 定义1 设V是一个非空集合，P为数域． ， V， kP定义了(线性运算) • 1）加法： V
1 0 Ax 0 0 0
0
1
b11 b1,n r x1 x 2 br1 br ,n r 0 ( 6) 0 x 0 n
0 1, , 0
0 0 1
(7)
x1 b11 xr 1 b1 ,n r xn 分别代入 x b x b r 1 r 1 r ,n r xn r
§4.4 齐次线性方程组解的性质 设有齐次线性方程组 Ax 0
( 4)
• Th5(解的性质）：设η1，η2是（4）的解向量，则它 们的线性组合也是（4）的解向量。 • →若（4）有非零解，则它有无穷多解。
• 定义(基础解系)：设η1，η2 ， ，ηs是（4）的一组解向 量，若 • 1) η1，η2 ， ，ηs线性相关； • 2)方程组（4）的任何一个解向量都可以由η1，η2 ， ， ηs线性表示， • 则称η1，η2 ， ，ηs是齐次线性方程组（4）的一个基 础解系。
两个n维向量线性相关，它们对应分量成比例
部分相关则整体相关；整体无关则部分无关 线性相关性的矩阵表示:向量组1, 2, …, m线性相关的 充分必要条件是r(A)<m,线性无关的充分必要条件是 r(A)=m.其中A是以1, 2, …, m为列向量构成的矩阵
线性表示
=k1 1+k22+ … +kmm
第二章 矩 阵
§2.1 矩阵的概念
a11 a 21 A a m1
简记为
a12 a 22 am1
A Amn aij mn aij .
a1 n a2n a mn
矩阵A的 m , n元
同型矩阵；相等；行矩阵,列矩阵,对角矩阵，零矩
x1 b11 xr 1 b1 ,n r xn x b x b r 1 r 1 r ,n r xn r
现对 xr 1 , , xn 取下列 n r 组数：
xr 1 1 xr 2 0 , xn 0
Th2：设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相 当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初 等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.
Th1`
§3.3 矩阵的秩
k 阶子式 A的不为零的子式的最高阶数称为 A 的秩，记为r(A).
若 A 为 mn 矩阵则 r(A)≤m 且 r(A) ≤n
n
克拉默法则
a x
j 1 ij n j
bi (i 1,2,, n)
的系数行列式不等于零，即
a11 a12 a1 n a 21 a 22 a 2 n 0 D a n1 a n 2 a nn
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
• Th6(解的结构）：齐次线性方程组(4) 的系数矩
阵A的秩r<n，则方程组(4)存在由n-r个解向量η1，
η2 ， ，ηn-r构成的基础解系。它们的线性组合
c11 c22 cnrnr (c1 , c2 ,, cnr是任意常数) (5)
• 给出了齐次线性方程组(4) 的所有解。
A n A ;
AB A B ;
§2.3 可逆矩阵
定义条件是 A 0 ，且 A A , A
利用待定系数法
初等行变换 1 A E E A 利用初等变换求逆阵的方法：
可逆矩阵的性质
B