北京师范大学第一附属中学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(含答案解析)

一、选择题
1．将函数sin 4y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π
6
个单位，则所得图像对应的解析式为（ ） A ．sin 212y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
B ．sin 212y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
C ．sin 26x y π⎛⎫=-
⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭ 2．若函数()()sin 06f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且该
函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则0x 等于（ ） A ．
512
π
B ．
4π C ．
3
π D ．
6
π 3．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移
3
π
个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
B ．2sin 23y x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
C ．1
sin 2
3y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
D ．1
2
sin 2
3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
4．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．不确定
5．将函数()f x 的图象向左平移02πϕϕ⎛
⎫
<<
⎪⎝
⎭
个单位后得到函数()sin 2g x x =的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x ，2x ，有12min
3
x x π
-=
，则ϕ=（ ） A ．
512
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 6．sin15cos15+=（ ）
A ．
12
B ．
2
C ．
2
D ．
2
7．已知函数()()π
π3
6sin 0f x A x A ⎛⎫=>
⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点
与最低点的距离是5，则A 等于（ ）． A ．1
B ．2
C ．2.5
D ．4
8．已知()1
sin 2
=
-f x x x ，则()f x 的图象是（ ）． A ． B ．
C ．
D ．
9．若角α，β均为锐角，25
sin α=，()4cos 5αβ+=-，则cos β=（ ）
A 25
B ．
25
25
C 25
或
525
D ．25
10．sin 20cos10cos160sin10-=（ ） A ．3 B ．
12
C ．12
-
D 311．已知sin()cos(2)
()cos()tan x x f x x x
πππ--=--，则
313f π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值为（ ） A ．
12
B ．
13 C ．12
-
D ．13
-
12．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点
P ，则sin 2α的值等于（ ）
A ．2425
-
B ．
35
C ．
2425
D ．
35
二、填空题
13．已知22034
sin παα=
<<，，则sin cos αα-=_____________________. 14．已知()0,απ∈且tan 3α=，则cos α=______. 15．将函数sin 24y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
4
π
单位，所得到的函数解析式是_________. 16．设函数22
(1)sin(2)
()(2)1
x x f x x -+-=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=_________.
17．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>，若()f x 在()π,π-上有且只有3个零点，
则ω的取值范围为______.
18．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，1O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，2O 为圆弧CD 所在圆的圆心，点A 是圆弧AB 与直线AC 的切点，点B 是圆弧AB 与直线BD 的切点，点C 是圆弧CD 与直线AC 的切点，点D 是圆弧
CD 与直线BD 的切点，1218cm O O =，16cm AO =，215cm CO =，圆孔1O 的半径为
3cm ，则图中阴影部分的的面积为______2cm ．
19．若函数()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π4,6a ⎡
⎤⎢⎥⎣⎦上均递增，则实数a 的取值范围是______．
20．若0,2x π⎛⎫
∀∈ ⎪⎝⎭
，sin cos m x x ≥+恒成立，则m 的取值范围为_______________.
三、解答题
21．已知tan 1tan 1
α
α=--，求下列各式的值：
（1）
sin 3cos sin cos αα
αα
-+；
（2）2sin sin cos 2ααα++.
22．已知函数()2
ππ()sin
()3cos 3
2
2
3
3
f x x x x -+= （1）若π
[,π]2
x ∈-
，求 (
)f x 的递增区间和值域；
（2）若043()5f x =
+，求02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 23．已知函数()2
2
sin 2sin cos cos f x x x x x =+-. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的最小值. 24．函数[)()
()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：
（1）求()f x 的解析式； （2）若[]0,x π∈且6
()2
f x ≥，求x 的取值范围. 25．设函数22()cos 2cos 3
2x f x x π⎛
⎫=++ ⎪
⎝
⎭
. （1）求3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）求()f x 的最小值及()f x 取最小值时x 的集合； （3）求()f x 的单调递增区间.
26．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边在直线430x y -=上.
（1）求sin()απ+的值；
（2）求2sin cos sin cos 1tan αα
ααα
+
--值．
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一、选择题
1．C 解析：C 【分析】
根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】 将函数sin 4y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=-
⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的图像向左平移π6个单位，得
到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ
⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. 故选：C
2．A
解析：A 【分析】
由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得
()026x k k Z π
π+
=∈，结合00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可求得0x 的值. 【详解】
由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足
22
T π=，T π∴=，22T π
ω∴==，
()sin 26f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭，
由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026
x k k Z π
π+
=∈，解得
()0212
k x k Z ππ
=
-∈， 由于00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，解得0512x π=. 故选：A. 【点睛】
结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行： （1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02
x k k Z π
ωϕπ⇔+=
+∈；
（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.
3．C
解析：C 【分析】
根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式． 【详解】 解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移
3
π个单位，得到函数sin()3y x π
=+的图
象； 将sin()3
y x π
=+
的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到
1sin()23
y x π
=+的图象．
∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得
1
()sin 2
3y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．
故选：C ．
4．C
解析：C 【详解】
∵tan sin cos A B B <，∴
sin sin cos cos A B
B A
<，
若A 是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，
若A 是锐角，则sin sin cos cos A B A B <，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，
,A B 是三角形内角，∴02
A B π
<+<
，从而()2
C A B π
π=-+>
，C 为钝角，三角形仍
然为钝角三角形． 故选：C ． 【点睛】
易错点睛：本题考查三角形形状的判断．解题过程中，由
sin sin cos cos A B
B A
<常常直接得
出sin sin cos cos A B A B <，然后可判断出C 是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存在不全面．即应该根据A 角是锐角还是钝角分类讨论．实际上就是不等式性质的应用要正确．
5．D
解析：D 【分析】
利用三角函数的最值，取自变量1x 、2x 的特值，然后判断选项即可. 【详解】
因为函数()sin 2g x x =的周期为π，由题意可得：()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦， 若()()122f x g x -=，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有12min
3
x x π
-=
，
所以不妨取24
x π=，则1712x π=，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在1712x π
=取得最小值， 所以77121s 12in 2f ϕππ⎛⎫=-=- ⎪⎡⎤⎛⎫
⎪⎢⎝
⎥⎭⎣⎦⎭⎝，此时5+,6k k Z π
ϕπ=∈，又02πϕ<<，所以此时不符合题意，
取24
x π=
，则112x π=-，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在112x π
=-取得最小值， 所以12
sin 21ϕπ⎡⎤
⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-
，此时,6k k Z πϕπ=-∈，当0k =时，6π=ϕ满足题意，
故选：D ． 【点睛】
本题考查三角函数的图象的平移，三角函数性质之最值，关键在于取出2x ，得出1x ，再利用正弦函数取得最小值的点，求得ϕ的值，属于中档题．
6．D
解析：D 【分析】
由辅助角公式可直接计算得到结果. 【详解】
()6sin15cos152sin 15452sin 60+=+==
. 故选：D.
7．B
解析：B
【分析】
根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是55=，从而解得A 的值. 【详解】
解：函数()()π
π36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭
+的最小正周期2263
T ππ
πω
=== 函数()()π
π3
6sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低
点的距离是5，
5=，解得2A =.
故选：B. 【点睛】
对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或
()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ω
π
=
，最大值为A ，最小值为A -；奇
偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．
8．B
解析：B 【分析】
先判断函数的奇偶性，然后计算特殊点的函数值确定选项. 【详解】
()()1
sin 2
f x x x f x -=-+=-，()f x ∴为奇函数，
∴图象关于原点对称，故排除A ，D ；
当π
2x =
时，ππ1024
f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C ． 故选：B. 【点睛】
根据函数解析式选择函数图象问题的一般可从以下几点入手： （1）判断函数的定义域；
（2）判断原函数的奇偶性，根据图象的对称性排除某些选项； （3）代入特殊点求函数值，排除某些选项.
9．B
解析：B 【分析】
由平方关系求得cos α，sin()αβ+，然后由两角差的余弦公式计算． 【详解】
α，β均为锐角，sin 5
α=，()4cos 5αβ+=-，
cos 5α∴==，()3sin 5αβ+==，
cos cos[()]βαβα∴=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++4355=-
=．
故选：B ．
10．B
解析：B 【分析】
利用诱导公式cos160cos 20=-，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】
sin 20cos10cos160sin10-
()sin 20cos10cos 18020sin10=-- sin 20cos10cos 20sin10=+()sin 2010=+
sin30=12
=
故选：B
11．C
解析：C 【分析】
利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可. 【详解】 由sin()cos(2)
()cos()tan x x f x x x
πππ--=
--，
利用诱导公式得：
sin cos ()cos cos tan x x
f x x x x
=
=--，
所以31311cos cos 103332f π
πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 故选：C.
12．C
解析：C 【分析】
由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到
sin 2α的值
【详解】
解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)， 所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ， 所以
3
4sin ,cos 5
5
αα=
==
=
，
所以3424
sin 22sin cos 25525
ααα==⨯⨯=， 故选：C
二、填空题
13．【分析】结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系由即可求出正确答案【详解】解：因为所以所以故答案为:
解析：【分析】
结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系，由sin cos αα-=即可求出正确答案. 【详解】 解：因为04
π
α<<
，所以0sin cos αα-<，
所以sin cos αα-====，
故答案为: -
14．【分析】本题考查同角三角函数及其关系借助公式求解即可求解时需要判定符号的正负【详解】解：法一：由可得代入解得因为所以所以法二：由且可取终边上的一点坐标为根据三角函数终边定义公式故答案为：【点睛】方法
【分析】
本题考查同角三角函数及其关系，借助公式sin tan cos α
αα
=，22sin +cos =1αα求解即可，求解时需要判定符号的正负. 【详解】
解：法一：由sin tan =3cos α
αα
=
可得sin =3cos αα，
代入22sin +cos =1αα解得cos 10α=±
， 因为()0,tan 30απα∈=>，
，所以0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
所以cos 10
α=
.
法二：由()0,απ∈且tan 3α=可取α终边上的一点坐标为(1,3)，
根据三角函数终边定义公式
cos 10
α=
=
=
.
故答案为：10
. 【点睛】
方法点睛：同角三角函数基本关系的3个应用技巧： （1）弦切互化利用公式sin tan ()cos 2
k απ
ααπα=
≠+实现角α的弦切互化； （2）和(差)积转换利用2
(sin cos )=1sin 2ααα±±进行变形、转化；
（3）巧用“1”的变换2
22222
1
1sin
+cos =cos (tan 1)sin (1)tan αααααα
=+=+
. 15．【分析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案【详解】函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的倍得到再向右平移个单位得到故最终所得到的函数解析式为：故答案为： 解析：()sin f x x =
【分析】
利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案. 【详解】 函数sin 24y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍， 得到sin 4y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 再向右平移4π个单位，得到sin sin 44y x x ππ⎛
⎫=-+=
⎪⎝
⎭， 故最终所得到的函数解析式为：()sin f x x =. 故答案为：()sin f x x =.
16．2【分析】可考虑向左平移2个单位对函数解析式进行化简根据左右平移值域不变求解【详解】令则定义域为R 且故是奇函数故其最大值与最小值的和为零所以函数的最大值与最小值的和为2故在函数中
解析：2 【分析】
可考虑向左平移2个单位对函数解析式进行化简，根据左右平移值域不变求解. 【详解】
22
(1)sin(2)
()(2)1
x x f x x -+-=-+
222
(1)sin 2sin (2)111
x x x x
f x x x +++∴+==+++， 令2
2sin ()1
x x
g x x +=
+，则定义域为R ，且()()g x g x -=-， 故()g x 是奇函数，故其最大值与最小值的和为零， 所以函数(2)y f x =+的最大值与最小值的和为2， 故在函数()f x 中，2M m +=.
17．【分析】利用辅助角公式对进行化简得令解得故即可解得答案【详解】解：令解得的零点为：……若在上有且只有3个零点则需满足解得：故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是：将的解析式利用辅助角公式化为 解析：
5744
ω<≤ 【分析】
利用辅助角公式对()sin cos f x x x ωω=+
进行化简，得()4f x x πω⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，令
()4x k k z π
ωπ+=∈，解得()4k x k z ππωω=-+∈，故37449544ππ
πωω
πππω
ω<≤-≤-<-⎧⎨⎩，即可解得答案. 【详解】 解：
()sin cos f x x x ωω=+，
()4f x x πω⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭，
令()4
x k k z π
ωπ+
=∈，
解得()4k x k z ππ
ωω
=-+∈， ()f x ∴的零点为：…，94πω-，54πω-，4πω-，34πω，74π
ω
，…
若()f x 在
()π,π-上有且只有3个零点，
则需满足374
49544ππ
πωω
πππω
ω<≤-≤-<-
⎧⎨⎩， 解得：
57
44
ω<≤. 故答案为：57
44
ω<≤. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是：将()f x 的解析式利用辅助角公式化为
()sin y A ωx φ=+的形式，或者()cos y A x ωϕ=+，再结合正余弦函数的图象计算即可. 18．【分析】根据图形的割补思想可得阴影部分的面积为：两个直角梯形的面积减去一个扇形面积减去圆的面积再加上小扇形的面积即可得答案；【详解】如图所示：则故答案为：【点睛】利用割补思想发现图形间的关系结合直角 解析：189372π-
【分析】
根据图形的割补思想可得阴影部分的面积为：两个直角梯形的面积减去一个扇形面积，减去圆的面积，再加上小扇形的面积，即可得答案； 【详解】
如图所示：12O M CO ⊥，则21219,18,93
O M OO O M ===， ∴122123
3
O O M CO D AO B π
π
∠=
⇒∠=∠=
，
1121221O AO O C BO O D CO D AO B S S S S S S =+--+圆梯形梯形扇形扇形，
∴222112122(615)93153618937222323
S ππ
ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯=，
故答案为：189372π. 【点睛】
利用割补思想发现图形间的关系，结合直角梯形的面积公式、扇形的面积公式，是求解本题的关键.
19．【分析】由的范围求出的范围结合正弦函数性质得不等关系【详解】时时由题意又解得故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性在中则的单调性与的单调性一致因此对一个区间我们只要求得的范围它应
解析：π7π,624⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【分析】
由x 的范围求出26
x π
+的范围，结合正弦函数性质得不等关系．
【详解】
0,3a x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，22,6636a x πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，7π4,6x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦时，528,662x a πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，
由题意23623862a a ππππ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，又03
746a a π⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得7624a ππ≤<．
故答案为：π7π,624⎡⎫⎪⎢⎣⎭
．
【点睛】
方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性，在sin()y A x ωϕ=+中，0,0A ω>>，则sin()y A x ωϕ=+的单调性与sin y x =的单调性一致，因此对一个区间[,]a b ，我们只要求
得x ωϕ+的范围，它应在sin y x =的单调区间内，那么sin()y A x ωϕ=+在[,]a b 上就有相同的单调性．这是一种整体思想的应用．
20．【分析】根据三角函数的性质求得的最大值进而可求出结果【详解】因为由可得所以则因为恒成立所以只需故答案为：
解析：)
+∞
【分析】
根据三角函数的性质，求得sin cos x x +的最大值，进而可求出结果. 【详解】
因为sin cos 4x x x π⎛⎫+=
+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
可得3,
444x πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，
所以sin 42x π⎛⎤⎛
⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝
⎭⎝⎦
，则(
sin cos 4x x x π⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭， 因为0,
2x π⎛
⎫
∀∈ ⎪⎝
⎭
，sin cos m x x ≥+
恒成立，所以只需m ≥
故答案为：)
+∞.
三、解答题
21．（1）5
3
-；（2）2.6. 【分析】 由
tan 1tan 1
αα=--求出1
tan 2α=.
（1）由
sin 3cos sin cos αα
αα
-+分子分母同除以cos α求解；
（2）将2
sin sin cos 2ααα++，变形为2222
3sin sin cos 2cos sin cos αααα
αα
+++，再分子分母同除以2cos α求解
【详解】
因为tan 1tan 1
α
α=--，
所以1
tan 2
α=.
（1）
sin 3cos tan 35
sin cos tan 13
αααααα--==-++；
（2）2sin sin cos 2ααα++，
2222
3sin sin cos 2cos sin cos αααα
αα
++=+， 223tan tan 2
tan 1
ααα++=
+， 31242114
++=+，
2.6=
22．（1）递增区间为,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，值域为+⎣⎦
；（2
）
410±. 【分析】
（1）运用诱导公式和正弦、余弦的二倍角公式、辅助角公式化简函数
(
)2sin ++
332
x f x π⎛⎫
= ⎪⎝⎭，再运用整体代入法和正弦函数的性质可求得函数()f x 的单调区间和值域；
（2）由（1）和已知求得024sin +335x π⎛⎫
⎪⎝⎭=，继而求得023cos +3
35x π⎛⎫
⎪⎭=± ⎝，再由0022sin sin +3333x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，运用正弦的差角公式可求得02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.
【详解】 （1）因为函数
(
)21+cos 12223sin cos sin sin +33223333x x x x x x f x π⎫⎪
⎛⎫⎝⎭=+=+= ⎪⎝⎭，
又π[,π]2
x ∈-
，所以2+33[0,]x ππ∈，所以由20+332x ππ≤
≤，解得24x ππ
-≤≤，所以函数()f x 的递增区间为,24ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
又20sin +133x π⎛⎫≤≤
⎪⎝⎭2sin +33x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域
为+⎣⎦；
（2）因为04()5f x =
024sin ++33252
x π⎛⎫
+ =⎪⎝⎭，所以024sin +335x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=，所以023cos +3
35x π⎛⎫
⎪⎭=± ⎝，
所以
00002222
sin sin +sin +cos cos sin 333333333+3x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
410
±.
所以02sin 3x ⎛⎫=
⎪⎝⎭. 【点睛】
本题关键在于运用已知的角表示待求的角，凑角是解决问题的关键，属于中档题. 23．（1）最小正周期π；（2）最小值为1-. 【分析】
（1）化简函数解析式，得()24f x x π⎛
⎫- ⎝
=
⎪⎭，可得最小正周期为π；（2）由
0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-．
【详解】 （1）由已知，有
()
22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-sin 2cos2x x =-24x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
所以，()f x 的最小正周期22
T π
π==. （2）当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 所以当244
x ππ
-
=-
，即0x =时，()f x 取得最小值1-.
所以，函数()f x 在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上的最小值为1-. 【点睛】
本题主要考查三角函数恒等变换，属中档题.通过展开三角函数关系式，利用正弦二倍角公
式和降幂公式，辅助角公式将函数化简为()24f x x π⎛
⎫- ⎝
=
⎪⎭，由周期公式可得
22T π
π=
=，由x 的范围求得相位的范围，进一步得出32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
，进而求得sin 24x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的范围，得出答案.
24．（1）()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦
.
【分析】
（1）由图可得：A =
724123T πππω
=-=可求ω的值，再令2(21)3
k π
ϕπ
⨯
+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；
（2232x π⎛⎫
+
≥ ⎪⎝
⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪
⎝
⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解.
【详解】
（1）由题意知：A =741234
T πππ=-=， 所以2T π
πω
==即=2ω，
所以2(21)3
k π
ϕπ⨯
+=+，02ϕπ≤<，所以=
3
π
ϕ，
所以()23f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，
（2232
x π⎛⎫
+≥ ⎪
⎝
⎭，
即sin 232
x π⎛⎫
+≥ ⎪
⎝
⎭， 所以
()22223
3
3k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈， 令0k =可得223
3
3
x π
π
π≤+
≤
，解得06x π≤≤，
令1k =可得
22223
3
3x π
π
πππ+≤+
≤
+，解得：7
6
x ππ≤≤， 因为[]0,x π∈，所以06
x π
≤≤
或x π=，
即{}0,6x ππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦ 【点睛】
关键点点睛：利用五点法求函数解析式，关键是3
x π
=
是下降零点，所以
2(21)3k π
ϕπ⨯
+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝
⎭
()22223
33
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 25．（1）
1
2；（2）min ()0f x =，22,3x x k k z ππ⎧⎫=
+∈⎨⎬⎩⎭
；（3）单调递增区间为252,2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
. 【分析】
（1）利用两角和的余弦公式，二倍角公式以及两角差的正弦公式化简函数解析式可得
()1sin()6f x x π=--，代入3
x π
=，即可计算得解.
（2）由（1）利用正弦函数的性质即可求解. （3）利用正弦函数的单调性即可求解. 【详解】
解：（1）
2211()cos()2cos cos cos 1cos 11sin()32226
x f x x x x x x x x ππ=+
+=-++=+=--，
所以1
()1sin(
)3
362
f ππ
π=--=. （2）由于()sin()16f x x π
=--
+，所以当sin()16
x π
-=时，()0min f x =，此时
2,6
2
x k k z π
π
π-
=
+∈，
所以()f x 取最小值时x 的集合为2|2,3x x k k z ππ⎧
⎫=
+∈⎨⎬⎩
⎭
， 故()f x 的最小值为0，()f x 取最小值时x 的集合为2|2,3x x k k z ππ⎧
⎫=+∈⎨⎬⎩
⎭
. （3）令3222
6
2k x k π
π
π
ππ+
≤-
≤+
，k Z ∈，解得252233
k x k ππππ+≤≤+，
k Z ∈，
所以()f x 的单调递增区间为25[
2,2]33
k k ππππ++，()k z ∈.
【点睛】
本题主要考查了两角和的余弦公式，二倍角公式、两角差的正弦公式以及正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题. 26．（1）45-或4
5；（2）75-或75
； 【分析】
（1）在直线430x y -=上任取一点4(,)3P m m (0)m ≠，由已知角α的终边过点4
(,)3P m m ，
利用诱导公式与三角函数定义即可求解，要注意分类讨论m 的正负.
（2）先利用商的关系化简原式为sin cos αα+，结合第一问利用三角函数定义分别求得
cos α与sin α，要注意分类讨论m 的正负.
【详解】
（1）在直线430x y -=上任取一点4(,)3P m m (0)m ≠，由已知角α的终边过点4
(,)3P m m ，
x m ∴=，43y m =
，53r OP m == 利用诱导公式与三角函数定义可得：sin()sin 4
43553
m
m m m απα=-=-+=-， 当0m >时，4in()5
s απ-+=；当0m <时，4
sin()5απ+=
（2）原式22222sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos 1cos αααααα
αααααααααα-=+=+=
-----
()()sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα
+-=
=+-
同理（1）利用三角函数定义可得：
3553
cos m m
m m α=
=， 当0m >时，4sin 5
α
，3cos 5α=，此时原式75=；
当0m <时，4sin 5
α=-，3cos 5α=-，此时原式7
5=-；
【点睛】
易错点睛：本题考查三角函数化简求值，解本题时要注意的事项：角α的终边在直线430x y -=上，但未确定在象限，要分类讨论，考查学生的转化能力与运算解能力，属于
中档题.。