2020学年新教材高中数学章末质量检测(三)(含解析)新人教A版必修第一册(最新整理)

章末质量检测（三) 函数的概念与性质
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间（x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( )
解析：由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意．
答案：D
2．下列函数中，值域是（0，＋∞)的是（)
A．y＝x2－2x＋1 B．y＝错误!（x∈(0,＋∞））
C．y＝错误!(x∈N） D．y＝错误!
解析：在选项A中y可等于零，选项B中y显然大于1，选项C中x∈N，值域不是(0，＋∞)，选项D中｜x＋1|〉0,即y〉0。

答案：D
3．函数f（x)＝错误!－错误!的定义域是( ）
A．[－1，＋∞) B．（－∞，0）∪（0，＋∞）
C．［－1，0）∪(0，＋∞) D．R
解析：要使函数有意义，x的取值需满足错误!
解得x≥－1，且x≠0，
则函数的定义域是[－1，0)∪（0,＋∞）．
答案:C
4．设f(x)＝错误!则f(5)的值是( )
A．24 B．21
C．18 D．16
解析:f（5）＝f（f（10）)＝f（f（f（15））)＝f（f（18）)＝f(21）＝24.答案：A
5．下列各组函数相等的是（）
A．f(x)＝错误!,g(x）＝(错误!)2
B．f（x）＝1，g（x)＝x0
C．f(x)＝错误!g（t)＝|t|
D．f(x）＝x＋1，g（x)＝错误!
解析：选项A，B，D中两函数定义域不同，只有C项符合．
答案：C
6．设f(x)＝x2－1
x2＋1
，则错误!等于( )
A．1 B．－1
C.错误! D．－错误!
解析：f(2)＝错误!＝错误!＝错误!。

f错误!＝错误!＝错误!＝－错误!.
∴错误!＝－1.
答案：B
7．若函数f（x)的定义域为（0，＋∞)，且满足f（1)<f(2）〈f（3）,则函数f(x)在（0，＋∞)上（)
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．单调性不能确定
解析:函数单调性的定义突出了x1，x2的任意性，仅凭区间内有限个函数值的关系，不能作为判断函数单调性的依据，A，B,C错误，D正确．
答案：D
8．若f（x)＝错误!且f(x)＝1，则x＝（)
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析:当x≥0时,f（x)＝1⇒x＝1，当x〈0时，f（x)＝1⇒－x＝1,即x＝－1.
9．定义在R上的偶函数f（x)，对任意x1，x2∈［0，＋∞）（x1≠x2），有错误!<0,则( ）
A．f（3）〈f（－2)〈f（1) B．f(1）〈f(－2）<f（3)
C．f(－2)〈f（1)<f（3) D．f(3)<f(1)<f(－2）
解析：由已知错误!<0，
得f（x)在x∈［0，＋∞)上单调递减，
由偶函数性质得f（3）〈f（－2）<f(1）,故选A。

答案：A
10．函数f（x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间（－∞，4］上为减函数，则a的取值范围为（）
A．0<a≤错误! B．0≤a≤错误!
C．0〈a〈错误! D．a>错误!
解析：当a≠0时,函数f（x）的对称轴为x＝－错误!，
∵f（x)在(－∞,4]上为减函数，
∴图象开口朝上,a>0且－错误!≥4，得0<a≤错误!。

当a＝0时,f（x）＝－2x＋2,显然在（－∞，4]上为减函数．
答案：B
11．如果奇函数f（x）在区间［1，5]上是减函数，且最小值为3，那么f（x）在区间[－5，－1]上是（)
A．增函数且最小值为3
B．增函数且最大值为3
C．减函数且最小值为－3
D．减函数且最大值为－3
解析:当－5≤x≤－1时1≤－x≤5，
∴f（－x）≥3,即－f(x)≥3.
从而f(x)≤－3，
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同,
故f(x)在[－5,－1]是减函数．故选D.
12．已知函数f（x)＝ax2－2x＋1，若对一切x∈错误!，f(x)>0都成立，则实数a的取值范围为( ）
A。

错误! B.错误!
C．(1，＋∞) D．（－∞，1)
解析：因为对一切x∈错误!，f（x）〉0都成立，
所以a>2x－1
x2
＝错误!－错误!＝－错误!2＋1，
又－错误!2＋1≤1,所以a>1，
所以实数a的取值范围为(1，＋∞）．
答案：C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x）在［－1，2］上的图象如图所示,则f（x）的解析式为________．
解析：当x∈[－1，0]时，y＝x＋1;当x∈(0，2］时，y＝－错误!x，
故f(x)的解析式为f(x)＝错误!
答案：f(x)＝错误!
14．函数f（x)＝－（x＋2)2＋1的单调递减区间为________．
解析：函数f（x）＝－(x＋2）2＋1的图象开口向下，对称轴为直线x＝－2，在对称轴右侧函数单调递减，所以函数f（x）＝－(x＋2）2＋1的单调递减区间为[－2，＋∞)．答案：［－2，＋∞）
15．函数f(x)＝错误!（t>0）是区间（0，＋∞)上的增函数，则t的取值范围是________．
解析：函数f(x）＝错误!(t〉0）的图象如图：
因为函数f（x)＝错误!(t〉0）是区间（0，＋∞)上的增函数，所以t≥1。

答案：t≥1
16．对于定义在R上的函数f(x)，有下述结论：
①若f(x)是奇函数,则f(x－1)的图象关于点A（1,0）对称；
②若对x∈R,有f(x＋1)＝f（x－1），则f（x）的图象关于直线x＝1对称；
③若函数f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，则f（x)为偶函数；
④函数f(1＋x）与函数f(1－x）的图象关于直线x＝1对称．
其中正确结论的序号为________．
解析：若f(x)为奇函数，则f（x－1)＝－f(1－x），故①正确．
令t＝x－1，则由f(x＋1）＝f(x－1)可知，f(t）＝f(t＋2）,即f(x)＝f(x＋2）,其图
象不一定关于直线x＝1对称．例如,函数f(x)＝x
2
－错误!(其中［x］表示不超过x的最大整
数）,
其图象如图所示,满足f(x＋1）＝f（x－1)，但其图象不关于直线x＝1对称,故②不正确．
若g（x)＝f（x－1)的图象关于直线x＝1对称,则有g(x＋1）＝g（－x＋1)，即f（x)＝f（－x)，∴③正确．
对于④，不妨令f（x）＝x，则f(1＋x)＝1＋x，f(1－x)＝1－x，二者图象关于x＝0对称，故④错误．
答案：①③
三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分）已知函数f（x)＝错误!－错误!.
（1）求函数f(x)的定义域；
（2)求f（－1），f(12)的值．
解析：（1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为［－4，1）∪（1，＋∞)．
(2）f(－1）＝错误!－错误!＝－3－错误!.
f(12）＝错误!－错误!＝错误!－4＝－错误!。

18．（12分)画出函数y＝－x2＋2｜x｜＋1的图象并写出函数的单调区间．
解析：y＝错误!
即y＝错误!
函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞,－1],[0,1］，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
19．(12分）已知函数f（x）＝错误!
（1)求f(f（f(－2))）的值；
(2）若f（a）＝错误!，求a。

解析:（1)∵－2〈－1，∴f（－2）＝2×(－2)＋3＝－1，
∴f(f(－2))＝f（－1）＝2,
∴f（f（f(－2)））＝f（2)＝1＋错误!＝错误!。

（2)当a>1时，f（a）＝1＋错误!＝错误!，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f（a)＝a2＋1＝错误!，∴a＝±错误!∈［－1,1］;
当a〈－1时，f（a）＝2a＋3＝错误!,∴a＝－错误!>－1(舍去)．
综上,a＝2或a＝±错误!。

20．（12分)已知f(x）＝错误!，
(1）判断f(x)在（1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
（2）求f(x)在［2,6]上的最大值和最小值．
解析：(1)函数f（x）在（1，＋∞)上是减函数．
证明:任取x2>x1>1,
则f（x1)－f（x2）＝错误!－错误!＝错误!，
因为x1－1〉0，x2－1〉0，x2－x1〉0，
所以f（x1)－f(x2)〉0，
即f(x1）>f（x2）．
所以f(x）在(1,＋∞)上是减函数．
（2)由（1)可知f(x)在（1,＋∞)上是减函数,
所以f（x)在[2，6]上是减函数，
所以f(x）max＝f(2）＝1，f（x)min＝f(6)＝错误!，即f(x)min＝错误!，f（x）max＝1。

21．(12分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1。

80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3。

00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x（吨）．
（1)求y关于x的函数;
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
解析：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，此时乙的用水量也不超过4吨，y＝（5x＋3x)×1.8＝14。

4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x≤4且5x>4,y＝4×1.8＋3x×1。

8＋3(5x－4）＝20。

4x－4。

8；
当乙的用水量超过4吨时，即3x〉4，显然甲的用水量也超过4吨,y＝24x－9.6.
所以y＝错误!
（2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增，
当x∈错误!时，y≤f错误!<26.4；
当x∈错误!时，y≤f错误!<26.4；
当x∈错误!时，令24x－9.6＝26.4,
解得x＝1。

5.
所以甲户用水量为5x＝7.5，付费S1＝4×1。

8＋3.5×3＝17。

70（元）；
乙户用水量为3x＝4.5吨,付费S2＝4×1.8＋0。

5×3＝8.70（元)．
答：甲户用水量7.5吨,付费17。

70元；乙户用水量4。

5吨，付费8。

70元．
22．(12分）已知定义在（－1,1)上的奇函数f （x ）＝错误!是增函数,且f 错误!＝错误!.
(1)求函数f (x ）的解析式；
（2）解不等式f (t －1)＋f （2t )〈0.
解析:(1)因为f (x )＝错误!是定义在（－1,1)上的奇函数，
则f （0)＝0，得b ＝0。

又因为f 错误!＝错误!，
则错误!＝错误!⇒a ＝1，
所以f （x )＝错误!。

（2）因为定义在（－1,1）上的奇函数f (x )是增函数，
由f （t －1)＋f (2t ）<0
得f (t －1)〈－f （2t ）＝f （－2t )．
所以有⎩⎨⎧ －1<t －1<1，－1〈－2t 〈1，，t －1〈－2t ，错误!
解得0〈t 〈13
. 故不等式f (t －1)＋f (2t ）<0的解集为错误!.
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