微点6 阿波罗尼斯圆综合训练 (解析版)

专题1
阿波罗尼斯圆及其应用
微点6阿波罗尼
斯圆综合训练
专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点6
阿波罗尼斯圆综合训练
一、单选题
（2022宁夏·石嘴山三中高二月考）
1．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，
点P 满足1
2
=PA PB ．则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（）
A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．16π
（2022广东·广州一中高二期中）
2．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（常数大于零且不等于一）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已
知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，动点M 满足MA =，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C .若对任意实数k ，直线l ：()1y k x b =-+与圆C 恒有公共点，则b 的取值范围是（
）
A ．⎡⎣
B ．⎡⎣
C ．⎡⎣
D ．-⎡⎣（2022·河北保定·高二期末）
3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（0λ>，且1λ≠）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()4,0-A ，()2,0B ，点
P 满足
2PA PB
=，则点P 的轨迹的圆心坐标为（
）
A ．()4,0
B ．()0,4
C ．()
4,-0D ．()
2,04．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数
动点(,)P x y 满足2PA PO
=,则动点P 轨迹与圆()2
221x y -+=的位置关系是（）
A ．相交
B ．相离
C ．内切
D ．外切
5．阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年）
，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A ，B ，则所有满足
PA PB
λ=（0λ>，
且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P ，Q ，动点M 满足2MP MQ =，记M 的轨迹为C ，若与C 无公共点的直线l 上存在点R ，使得MR 的最
小值为6，且最大值为10，则C 的长度为（）A ．2π
B ．4π
C ．8π
D ．16π
（2022·广东茂名·高二期末）
6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O (0，0)，A (3，0)，动点P (x ，y )满2PA
PO
=，则动点P 轨迹与圆22(2)2x y -+=的位置关系是（）A ．相交
B ．相离
C ．内切
D ．外切
（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中）
7．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点(1,0),(1,0)A B -，动点P 满足
2PA PB
=，当P 、A 、B 不共线时，PAB 面积的最大值是
（）
A ．4
B ．2
C ．2
3
D ．
43
8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数λ（0λ>，且1λ≠），那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C 到()()1,0,1,0A B -的距离之
C 到直线280x y -+=的距离的最小值为（）
A ．
B
C ．D
（2022四川遂宁·高二期末）
9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他
的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足
1
2
PA PB
=
．当,,P A B 三点不共线时，PAB △面积的最大值为（）
A ．24
B ．12
C ．D
（2022湖北黄州中学高二开学考试）
10．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数()0,1k k k >≠的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点()2,0A -、()2,0B ，动点C 满足2AC BC =，则动点C 的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P ，
已知点D 在圆P 上（点D 在第一象限），AD 交圆P 于点E ，连接EB 并延长交圆P 于点F ，连接DF ，当DFE 30∠= 时，直线AD 的斜率为（）
A ．
13
B ．
13
C ．4
D 二、多选题
（2022江苏·高二专题练习）
11．在平面上有相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足PA PB λ=(其中0λ>，且1λ≠)，则点P 的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.设(),0A a -，(),0B a ，a 为正实数，下列说法正确的是（
）
A ．当2λ=时，此阿波罗尼斯圆的半径43
r a =
B ．当12
λ=时，以AB 为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切C ．当01λ<<时，点B 在阿波罗尼斯圆圆心的左侧D ．当1λ>时，点A 在阿波罗尼斯圆外，点B 在圆内（2022·浙江·玉环玉城中学高二期中）
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()()1,0,1,0A B -．点P 满足1
2
PA PB
=
，设点P 所构成的曲线为E ，下列结论正确的是（
）
5⎛⎫
B ．
4
43
PB ≤≤C ．曲线E 的周长为π
D ．曲线
E 上的点到直线10x y +-=的最小距离为
)
41
3
13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，
()2,0A -，()4,0B ．点P 满足
||1
||2
PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（
）
A ．C 的方程为()2
2416
x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA
=D ．C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为1
14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以
他的名字命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，
()2,0A -、()4,0B ，点Р满足
1
2
PA PB =，设点Р所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（）
A ．C 的方程为()2
2416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得1
AD =C ．在C 上存在点M ，使M 在直线20x y +-=上D ．在C 上存在点N ，使得2
2
4NO NA +=（2022河北保定·高二期中）
15．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A ､B 的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xoy 中，()2,0A ､()4,0B ，点P 满足
1
2
PA PB
=
，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（）
A ．曲线C 的方程为()2
2416
x y ++=
B ．在曲线
C 上存在点
D ，使得1
AD =C ．在曲线C 上存在点M ，使M 在直线上20x y +-=D ．在曲线C 上存在点N ，使得2
2
4NO NA +=（2022福建龙岩·高二期中）
16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值
(1)λλ≠的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，
简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A -，(2,0)B ，动点C 满足||1
||2
CA CB =，直线:10l mx y m -++=，则（
）
A ．动点C 的轨迹方程为22(2)4x y ++=
B ．直线l 与动点
C 的轨迹一定相交C ．动点C 到直线l
1D ．若直线l 与动点C 的轨迹交于P ，Q 两
点，且||PQ =1m =-三、填空题
（2022天津河北·高二期中）
17．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，A （﹣2，0），B （4，0），点P 满足
||1
||2
PA PB =，则点P 所构成的曲线C 的方程为_______________．18．阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点()0,0O ，()3,0A ，动点P 满足
1
2
PO PA
=
，则点P 的轨迹方程是___________．（2022四川省武胜烈面中学校高二期中）
19．阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数λ(0λ>且1λ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，已知OAM △的两个顶点O A 、是定点，它们的坐标分别为00O (，
)､(30)A ，；另一个顶点M 是动点，且满足∠=∠si n 2si n A O M O A M ，则当OAM △的面积最大时，OA 边上的高为___________.
（2022四川巴中·高二期末）
世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数λ（0λ>且1λ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知OAM △的两个顶
点O 、
A 是定点，它们的坐标分别为(00)O ， 、(30)A ， ；另一个顶点M 是动点，且满足
||1
||2
MO MA =．则当OAM △的面积最大时，OA 边上的高为___________．21．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，BC 的长为______.
22．平面向量a ，b 满足3a b -= ，2a b = ，则a 与a b -
夹角最大值为______．
23．已知平面向量满足1a b c === ，a b ⊥r r
，则
232c a a b c +++- 的最小值为______．24．已知△ABC 的面积3，且AB ＝AC .若2CD DA =
,则BD 的最小值为______.四、双空题
（2022重庆·高二期末）
25．设动点P 与两不同定点A
B 、在同一平面上且满足||
||
PA PB λ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在直角坐标系xOy 中，(3,0),(3,0),(,)A B P x y -，动点P 满足
||
2,||
PA P PB =点的轨迹Γ的方程为_______．点Q 是直线:34100l x y -+=上任意一点，过Q 作Γ的切线，相切于,M N ，当||MN 取得最小值时，求cos MQN ∠的值______________（2022广东·深圳七中高三月考）
26．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值(0λλ>且
1)λ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，已知点
()0,3A ，若动点M 满足2=MA MO ，则动点M 的轨迹Γ方程是___________；若直线
:10l x my +-=与轨迹Γ交于,P Q ，当PQ 取最小值时，则m =___________.
27．被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点P 到两个不同定点,A B 的距离之比为常数()01k k k >≠且，则P 点的轨迹是一个圆心在AB 直线上的圆，简称“阿氏圆”.据此请回答如下问题：
为S ，若3a =时，则max S =______;若1S =时，则a 取值范围为______．
28．阿波罗尼奥斯（Apollonius ）
（公元前262～公元前190），古希腊人，与欧几里得和阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》凭一己之力将圆锥曲线研究殆尽，致使后人没有任何可插足之地；直到17世纪，笛卡尔和费马的坐标系之后，数学家建立起了解析几何体系，圆锥曲线的研究才有了突破.阿波罗尼奥斯在他的著作里得到了这样的结论：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，也称阿氏圆.已知动点P 到点
()2,0M -与到点()1,0N 的距离之比为2：1，则动点P 的轨迹方程为________.
五、解答题
（2022辽宁抚顺·高二期末）29．设A ，B 是平面上两点，则满足
PA k PB
=(其中k 为常数，0k ≠且1k ≠)的点P 的轨迹
是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆，已知)
0A
，,02B ⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
，且k （1）求点P 所在圆M 的方程.
（2）已知圆()()2
2
:225x y Ω++-=与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左边)，斜率不为0的直线l 过点D 且与圆M E ，F 两点，证明：ECD FCD ∠=∠.（2022福建省福州八中高二期中）
30．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数
k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系
xOy
中的点E ，F ，则满足PF =的动点P 的轨迹记为圆E .
(1)求圆E 的方程；
(2)过点(3,3)Q 向圆E 作切线QS ，QT ，切点分别是S ，T ，求直线ST 的方程.31．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯()Apollonius 在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A ，B 距离之比为
(0λλ>且1)λ≠的点P 的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆．
(1)已知两定点()2,0A -，()4,0B ，若动点P 满足
1
2
PA PB
=
，求点P 的轨迹方程；(2)已知()6,0A -，P 是圆()2
2:416C x y ++=上任意一点，在平面上是否存在点B ，使
得
1
2
PA PB
=
恒成立？若存在，求出点B 坐标；若不存在，说明理由；(3)已知P 是圆22:4D x y +=上任意一点，在平面内求出两个定点A ，B ，使得12
PA PB
=
恒成立．只需写出两个定点A ，B 的坐标，无需证明．32．平面上两点A 、B ，则所有满足
PA k PB
=且k 不等于1的点P 的轨迹是一个圆，这个
轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆1C 上的动点P 满足：2(PO PA
=其中O 为坐标原点，A 点的坐标为()0,3.
(1)直线L
y x =︰上任取一点Q ，作圆1C 的切线，切点分别为M ，N ，求四边形1QMC N 面积的最小值；
(2)在（1）的条件下，证明：直线MN 恒过一定点并写出该定点坐标.
参考答案：
1．D
【分析】设(),P x y ，则由
1
2
=PA PB 结合距离公式化简可得()22416++=x y ，从而可知点P 的轨迹是以(4,0)-为圆心，4为半径的圆，进而可求出面积
【详解】设点(
),P x y ，则
1
2
PA PB =化简整理得2280x y x ++=，即()2
2416++=x y ，所以点P 的轨迹是以(4,0)-为圆心，4为半径的圆，所以所求图形的面积为16π，故选：D 2．C
【分析】设()M x y ，，由题意列式求出C 圆的方程，再由直线方程可得直线l 恒过定点(1)b ，，求出圆C 上横坐标为1的点的纵坐标即可.
【详解】设()M x y ，，由
(20)A -，
，且MA =，得22
2MA MO =，即22(2)8x y -+=，直线l ：(1)y k x b =-+恒过定点(1)b ，，把1x =代入
22(2)8x y -+=，解得y =，
要使对任意实数k ，直线l ：22(
2)8x y -+
=与圆C 恒有公共点，则b
≤≤b 的取值范围是⎡⎣
故选：C 3．
A
=，整理并化为圆
的标准形式，即可确定圆心.【详解】
令P (x ，y )
，=，
两边平方并整理得：()2
2416x y -+=，∴圆心为(4，0)．故选：A ．4．D
【分析】求阿波罗尼斯圆后判断两圆的位置关系.
【详解】由已知动点(,)P x y 满足2PA
PO
=，得2
=即动点P 轨迹为圆：()2
214x y ++=，
21=+Q
，∴两圆外切.
故选:D.5．B
【分析】根据给定条件确定轨迹C 是圆，利用圆的性质求出其半径即可计算作答.
【详解】依题意，M 的轨迹C 是圆，设其圆心为点D ，半径为r ，显然直线l 与圆C 相离，令点D 到直线l 的距离为d ，
由圆的性质得：6
10d r d r -=⎧⎨+=⎩
，解得8d =，2r =，
所以C 的长度为4π.故选：B 6．A
【分析】首先求得点P 的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.
2=，
化简为：()2
214x y ++=，
动点P 的轨迹是以()1,0-为圆心，2为半径的圆，
圆22(2)2x y -+=是以()2,0为半径的圆，两圆圆心间的距离32d =<所以两圆相交.故选：A 7．D 【分析】利用
||
2||
PA PB =求出圆的方程和半径，进而利用圆的范围可求出三角形面积的最大值.【详解】设()P x y ，，因为(10)A -，
、()1，0B ，且||
2||
PA PB =，
2=，整理得22331030x y x +-+=，
即圆的方程为22
516(39x y -+=，半径为43
；
所以4
||3
y ≤，则PAB △面积的最大值是1442233⨯⨯=.
故选：D.8．A
【分析】设(,)C x y ，依题意
||
||
CA CB =，根据两点的距离公式求出动点C 的轨迹方程，再求出圆心到直线的距离，即可求出点C 到直线距离的最小值；
【详解】解：设(,)C x y ，则||
||
CA CB ==22(2)3x y -+=，
所以点C 的轨迹为以()2,0D 为圆心，r =D 到直线280x y -+=的距离
d =
=，
所以点C 到直线280x y -+=的距离的最小值为故选：A 9．B
【解析】设(,)P x y ，可表示出PA 、PB ，根据题意，列出等式，化简整理，即可得点P 的轨迹方程，如图所示，可的P 到AB 的距离最大值，代入公式，即可求得答案.
【详解】设(,)P x y ，则PA PB =
因为
1
2
PA PB
=
，所以=22224[(2)](4)x y x y ++=-+，整理可得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，
如图所示：当P 在圆心Q （-4,0）的正上方时，P 到AB 的距离最大，且为半径
4,
所以PAB △面积的最大值为11
641222
AB PQ ⨯⨯=⨯⨯=.
故选：B
【点睛】解题的关键是根据条件，求得点P 的轨迹方程，根据圆的几何性质，求得答案，考查数形结合，计算化简的能力，属中档题.10．A
【分析】设点(),C x y ，根据2AC BC =求出点C 的轨迹方程，过圆心P 作PG DE ⊥于点G ，求出PG 、PA ，可求出sin PAG ∠的值，利用同角三角函数的基本关系可求得直线AD 的斜率.
【详解】如图所示，设动点(),C x y
=，
化简可得2
2
20403x y x +-+=，化为标准方程可得圆2
21064:39P x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭．因为260DPE DFE ∠=∠= ，PE PD =，则DPE 为等边三角形，
过圆心P 作PG DE ⊥于点G
，则sin 60PG PE ==
，3sin 1643
PG PAG PA ∠===
，
所以cos PAG ∠==
4tan AD k PAG =∠==
，
故选：A ．11．AD
【解析】设(),P x y ，根据阿波罗尼斯圆的定义，求得其方程()()2
2222
2221411a a x y λλλλ⎛⎫+ ⎪-+= ⎪--⎝⎭
，然后逐项判断.
【详解】设(),P x y ，所以
PA PB ==，
因为PA PB λ=，
所以
PA =
=()()2
2222
2221411a a x y λλλλ⎛⎫+ ⎪-+= ⎪--⎝⎭
A.当2λ=时，此阿波罗尼斯圆的半径22413
a a
r λλ=
=-，故正确；B.当12λ=时，以AB 为直径的圆为222x y a +=，阿波罗尼斯圆为2
2
2
51639a x a y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭
，圆
心距为53a ，两半径之和为7
3a ，两半径之差的绝对值为13
a ，不相切，故错误；
C.
当01λ<<时，圆心的横坐标为
()2
22
12111a
a a λ
λλ+⎛
⎫=+< ⎪--⎝⎭
，所以点B 在阿波罗尼斯圆圆心的右侧，故错误；
D.当1λ>时，点A 与圆心的距离
()2
2222122111
a
a a
a r λ
λλλλλ++=>=---，在阿波罗尼斯圆外，点B
与圆心的距离()2
2
2
21221
11
a
a a a r λ
λλλλ+-=
<=---，在圆内，故正确；故选：AD 12．ABD
【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出点P 所构成的曲线方程E ，然后逐一判断即可.
【详解】设(),P x y ，由
1
2
PA PB
=
=
整理可得2
2
10103x x y +++=，化为2
251639x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭，
所以曲线E 的圆心坐标为5,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，半径为43，故A 正确；
圆心5,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
到点()10B ,
的距离为83，所以48433338PB -≤≤+，即4
43
PB ≤≤，故B 正确；
圆的周长为823
r π
π=
，故C 错误；圆心到直线10x y +-=
3=，所以曲线E 上的点到直线10x y
+-=
的最小距离为)
44
1333
-=.
故选：ABD 13．ABD
【分析】对于A ，设点(),P x y ，由
||1
||2
PA PB =结合两点间的距离公式化简即可判断，对于B ，由A 可知曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，从而可求出圆上的点到点()1,1的距离的范围，进而进行判断，对于C ，设()00,M x y ，由2MO MA =，由距离公式可得方
程，再结点()00,M x y 在曲线C 上，得到一个方程，两方程联立求解判断，对于D ，由于曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，所以只要求出圆心到直线的距离减去圆的半径可得答案
【详解】由题意可设点(),P x y ，由()2,0A -，()4,0B ，||1||2PA PB =1
2=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，所以选项A 正确；
对于选项B ，曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，点()1,1与圆心的距离为
=4
4
+，而
34]∈，所以选项B 正确；
对于选项C ，设()00,M x y ，由2MO MA ==()
2
2
00416x y ++=，联立方程消去0y 得02x =，解得0y 无解，所以选项C 错误；
对于选项D ，
C 的圆心()4,0-到直线34130x y --=的距离为|3(4)13|
55
d ⨯--==，且曲线C
的半径为4，则C 上的点到直线34130x y --=的最小距离541d r -=-=故选项D 正确；故选：ABD ．14．AD
【分析】通过设出点P 的坐标，利用
1
2
PA PB
=
，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 三个选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案.【详解】设点(,)P x y ，由
12
PA PB
=，
1
2
=
，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，故A 选项正确；
对于B 选项，设00(,)D x y ，由1AD =1=，
又22
00(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故B 选项错误；
对于C 选项，设00(,)M x y ，由M 在直线20x y +-=上得0020x y +-=，
又22
00(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故C 选项错误；
对于D 选项，设00(,)N x y ，由2
2
4NO NA +=，得2222
0000(2)4x y x y ++++=，又
2200(4)16x y ++=，联立方程可知有解，故D 选项正确.
故选：AD .15．AD
【分析】通过设出点P 的坐标，利用
1
2
PA PB
=
，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 三个选项逐一列出所满足条件，然后与曲线C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案.【详解】设点(,)P x y ，由
12
PA PB
=，
1
2
=
，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，故A 选项正确；
对于B 选项，设00(,)D x y ，由1AD =1=，
又22
00(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故B 选项错误；
对于C 选项，设00(,)M x y ，由M 在直线20x y +-=上得0020x y +-=，
又22
00(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故C 选项错误；
对于D 选项，设00(,)N x y ，由2
2
4NO NA +=，得2222
0000(2)4x y x y ++++=，又
2200(4)16x y ++=，联立方程可知有解，故D 选项正确.
故选：AD.16．ABD
【分析】设(,)C x y ，进而根据题意易得其轨迹方程22(2)4x y ++=，判断A 选项；再结合直线l 过定点(1,1)M -判断点与圆的位置关系判断B 选项；易知当直线l 与NM 垂直时动点C 到直线l 距离的最大，计算可判断C 选项；根据直线与圆相交弦长的求解方法求解即可判断D 选项.
【详解】解：设(,)C x y ．因为||1||2CA CB =1
2=，
所以2240x y x ++=，即22(2)4x y ++=，
所以对于A 选项，动点C 的轨迹为以(2,0)N -为圆心，2为半径的圆，故A 正确．
对于B 选项，因为直线l 过定点(1,1)M -，而点(1,1)M -在圆N 内，所以直线l 与圆N 相交，故B 正确．
对于C 选项，当直线l 与NM 垂直时，动点C 到直线l 的距离最大，且最大值为||2r NM +=+，故C 错误．
对于D 选项，记圆心N 到直线l 的距离为d ，则
d =()222
||4PQ r d =-，所以
()2248r d -=．
因为2r =，所以d =2
2(1)21
m m -=+，得1m =-，故D 正确．
故选：ABD
17．（x ＋4）2＋y 2＝16
【分析】首先设出点的坐标，然后列出等式，最后化简所得的等式可得轨迹方程.
【详解】由题意可设点(,)P x y ，由A （﹣2，0），B （4，0），||1||2PA PB =1
2=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，故答案为：22(4)16x y ++=.18．()2
214
x y ++=【分析】直接设点P 的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P 的轨迹方程．
【详解】设(),P x y ，
1
2
PO
PA =1
2
=
，整理得：22230x y x ++-=即()
2
214x y ++=．
故答案为：()2
214x y ++=．19．2
【分析】根据已知条件求出点M 的轨迹，然后经过分析可知OAM △的面积最大，此时OA 边上的高为圆的半径2.
【详解】设(),M x y ，因为∠=∠si n 2si n A O M O A M ，在OAM △中结合正弦定理可得2AM
OM
=，
即2AM OM =，=，化简整理得22230x y x ++-=，所以点M
的轨迹是以()1,0-为圆心，2为半径的圆（去掉点()()1,0,3,0），所以当OA AM ⊥时，OAM △的面积最大，此时OA 边上的高为圆的半径2.故答案为：2.20．2
【分析】首先求出点M 的轨迹方程，当OAM △的面积最大时，即OA 边上的高最大，即可求解.【详解】1
2
MO MA
=
，即两线段比值为大于零且不等于1的常数，∴点M 的轨迹是圆．设(),M x y ．()0,0O 、()3,0A ，2=MA MO ，
=，
平方整理得22230x y x ++-=，即22(1)4x y ++=，故点M 的轨迹是以()1,0C -为圆心，半径长为2的圆，因此，当OAM △的面积最大时，OA 边上的高即为该圆的半径2．故答案为：221．
【分析】建立直角坐标系，根据条件将B 点轨迹转化为阿氏圆的问题来解决
【详解】
如上图所示，以AC 的中点为原点，AC 边所在直线为x 轴建立直角坐标系，
因为6AC =，所以()30A -,
，()3,0C ，设点(),B x y ，因为sin 2sin C A =，由正弦定理可得：2c a =，即2AB BC =，所以：()()2
2
223434x y x y ++=-+，化简得：()2
2516x y -+=，且1x ≠，9x ≠，
圆的位置如上图所示，圆心为()5,0，半径4r =，
观察可得，三角形底边长AC 不变的情况下，当B 点位于圆心D 的正上方时，高最大，
此时ABC 的面积最大，B 点坐标为()5,4，所以
BC =
=故答案为：22．6
π##30︒
【分析】根据条件先求得()
a b a -⋅ ，再用夹角公式及基本不等式可求解.
【详解】解：∵3,2a b a b -==
，
∴()2
2222
2429a b
a a
b b b a b b -=-⋅+=-⋅+=
，
∴25922
a b b ⋅=- ，
∴
(
)
2222593942222
a b a a a b b b b -⋅=-⋅=-+=+ ；∴(
)
239
1322cos ,464b a b a a b a b a b
a b b +-⋅-===+≥=-
，
当且仅当b =
、a =
等号成立，∵0,a b a π≤-≤ ；∴
0,6
a b a π≤-≤ ；∴a b - 与a 夹角的最大值为6
π
．
故答案为：6
π23【分析】直接利用向量的绝对值（三角）不等式，即可得到结果.【详解】利用向量的绝对值（三角）不等式，因为平面向量满足1a b c === ，a b ⊥r r
，
所以=0a b ⋅
，
22c a c a ++=+ ，
则23223252c a a b c c a a b c a b +++-=+++-≥+=
．
故答案为
24．
3
【解析】由题可设AD x =,则3AB AC x ==,利用余弦定理可得
222222cos 106cos BD AB AD AB AD A x x A =+-⋅⋅=-⋅,再根据三角形面积公式可得
11
sin 33sin 322S AB AC A x x A =
⋅⋅=⋅⋅⋅=,则22sin 3A x =,进而cos A =,则2BD 为关于x 的函数,利用换元法和导函数求得最值即可【详解】由题,设AD x =,则3AB AC x ==,
所以()2
2222222cos 323cos 106cos BD AB AD AB AD A x x x x A x x A =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=-⋅,因为11sin 33sin 322S AB AC A x x A =
⋅⋅=⋅⋅⋅=,所以(]22
sin 0,13A x
=∈,
因为大边对大角,所以令A 为锐角,则cos A ,
所以222210610BD x x x =-=-,设223t x t ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭
,
则()10f t t =-所以()
10f t '=,令()0f t '=,则56t =
,则()f t 在25,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,在5,6⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增,
所以()min
551610663f t f ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭,
所以min 3
BD =
,
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查利用导函数求最值,考查运算能力25．
22(5)16
x y -+=725
-
【分析】设(,)P x y ，可得||PA ，||PB ，代入
||
2||
PA PB =，整理可得P 点的轨迹Γ的方程；画出图形，可知当Q 离圆心最近时，||MN 最小，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进一步可得cos MQN ∠的值．
【详解】解：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，则||PA
||PB ，由||2||PA PB =2=，化简可得22(5)16x y -+=，
∴此曲线的方程为22(5)16x y -+=；
（2）曲线Γ是以点(5,0)E 为圆心，4为半径的圆，如图，
要使||MN 最小，则 MN
最小，可知Q 离圆心E 最近，此时
||5QE =，||4NE =，则||3QN =，
3cos 5NQE ∴∠=，则2237cos 212()1525
MQN cos NQE ∠=∠-=⨯-=-．故答案为：22(5)16x y -+=；725
-．
26．22(1)4x y ++=1
【分析】设出点M 的坐标，利用给定几何关系列方程并化简即得轨迹Γ的方程；利用圆的性质即可求出PQ 取最小值时的m 值.
【详解】设动点(,)M x y ，因2=MA MO =22(1)4x y ++=，
所以动点M 的轨迹Γ的方程是：22(1)4x y ++=；
显然轨迹Γ是以点(0,1)C -为圆心，2为半径的圆，直线:10l x my +-=恒过定点(1,0)B ，点(1,0)B 在圆22(1)4x y ++=内，由圆的性质知，当弦PQ 长最短时，直线l 垂直于直线BC ，直线BC 斜率0(1)110BC k --==-，因此，111m
-⨯=-，解得1m =，所以当PQ 取最小值时，则1m =.
故答案为：22(1)4x y ++=；1
27．3)
+∞【分析】以B 作为原点建立平面直角坐标系，可得点B 和点C 的坐标，设出点A 的坐标，结合条件代入两点之间的距离公式可得点C 的轨迹为除去x 轴上两点的一个圆，利用圆上的点的纵坐标和三角形面积之间的关系即可解决问题．
【详解】解：以B 作为原点，BC 所在的直线作为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，若3a =，即3BC =，则不妨设C 在x 正半轴上，则()3,0C ，
设ABC 的顶点(),A x y ，而2AB AC =，
=22(4)4x y -+=，
根据条件可知A 不在直线BC 上，则0y ≠，即6x ≠且2x ≠，
所以A 点的轨迹为圆22(4)4x y -+=除去点()6,0与()2,0，可得max ||2y =，所以ABC 面积S 的最大值为max 11||32322
BC y =⨯⨯=，即max 3S =，同样的，当2AB AC =，BC a =，
则ABC 的顶点(),A x y =化简可得()22242()()033
x a y a y -+=≠，可得203
a y <，又1S =，则112a y =，即2y a =，
所以2
20
3a a <，解得a ，即a 取值范围为)
+∞．
故答案为：3；)
+∞．
28．()2
224x y -+=
【分析】根据题意得设(),P x y ，则PM =PN =意求解即可.
【详解】解：设(),P x y ，则PM =PN =
因为动点P 到点()2,0M -与到点()1,0N 的距离之比为2:1，
21
=，所以2222(2)4(1)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得2240x y x +-=，
即()2224x y -+=，所以动点P 的轨迹方程为()2
224x y -+=.故答案为：()2
224
x y -+=29．
（1）223x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）直接法求轨迹方程；
（2）设直线l 的方程为1x ty =-，联立圆方程，结合韦达定理，证明0CE CF k k +=，进而证得ECD FCD ∠=∠.
【详解】（1
）解：由题意可得，PA PB =
，即PA =，
则(
222222x y x y ⎡⎤⎛⎢⎥+=-+ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，整理得223x y +=，即圆M 的方程为223x y +=.
（2）证明：对于圆Ω，令0y =，得1x =-或3x =-，所以()3,0C -，()1,0D -.设直线l 的方程为1x ty =-，()11,E x y ，()22,F x y .
由221,3,
x ty x y =-⎧⎨+=⎩得()221220t y ty +--=，则12221t y y t +=
+，12221y y t =-+.121233
CE CF y y k k x x +=+++()()
()()
1221123333y x y x x x +++=++()()()()
1221122233y y t y ty x x +++=++()()
121212233ty y y y x x ++=⨯
++。