东北三校高考数学第二次模拟考试试题 文(扫描版)

东北三校2013届高考数学第二次模拟考试试题文（扫描版）
2013年三省三校第二次联合考试文科数学答案 一．选择题（每小题5分，共60分）
1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．C 9．D 10．B 11．A 12．B 二．填空题（每小题5分，共20分） 13. ]4,0[ 14. 35 15. 7 16. 2
1 三．解答题
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由条件，)3
2sin())6
(2sin()(π
π
+
=+
=x x x f ……2分
所以， 函数)(x f 的最小正周期为ππ
=2
2 ……4分 （Ⅱ）由2
3)(=A f 得23
)32sin(=+πA ，6,3232,37323ππππππ=∴=+∴<
+<A A A Θ ……8分
Q
,sin 16
sin
2,sin sin C
C
c
A a =∴=π
4
2sin =
∴C ，
4
14
cos ,2
,=
∴<∴>C C c a πΘ, ……10分 8
6
14422341421sin cos cos sin )sin(sin +=
⨯+⨯=
+=--=∴C A C A C A B π ……12分
18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵10005%50⨯=，由甲图知，甲组有4108421130++++++=（人），∴乙组有20人．
又∵4060%24⨯=，∴甲组有1人、乙组有(0.06250.0375)4208+⨯⨯=人符合要
求，
(18)5%180+÷=（人）
，即估计1000名学生中保持率大于等于60%的人数为180人．……4分
（Ⅱ）乙组准确回忆音节数在)12,8[范围内的学生有2040125.0⨯⨯=1人，记为a ，)16,12[范围
内的学生有2204025.0=⨯⨯人，记为B A ,,)20,16[范围内的学生有2人，记为D C ,
从这五人中随机选两人，共有10种等可能的结果：
),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(D C D B C B D A C A B A D a C a B a A a
记“两人均能准确记忆12个（含12个）以上”为事件E , 则事件E 包括6种可能结
果：),(),,(),,(),,(),,(),,(D C D B C B D A C A B A 故53106)(==
E P ,即两人均准确回忆12个（含12个）以上的概率为5
3
……10分 （Ⅲ）甲组学生准确回忆音节数共有：28812612221841481010642=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯个
故甲组学生的平均保持率为
24%6.940
1
30288401=⨯=⨯ 乙组学生准确回忆音节数共有：
4324)0375.0300625.026075.022025.018025.0140125.0100125.06(=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 故乙组学生平均保持率为
24%54%6.2140
120432401>=⨯=⨯ 所以从本次实验结果来看，乙组临睡前背单词记忆效果更好. ……12分 （回答21.69.6>等，也可给分） 19.（本小题满分12分）
解： （Ⅰ）,//AE BE MP BE ⊥Q MP AE ∴⊥ ……2分
又BC ⊥Q 平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，BC AE ∴⊥ ΘN 为DE 的中点，P 为AE 的中点，,//AD NP ∴
BC NP BC AD //,//∴Θ， ,NP AE ∴⊥ ……4分
又,,NP MP P NP MP =⊂Q I 平面PMN
MN AE MNP MN MNP AE ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面Θ ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知AE MP ⊥,且2
121==
BE MP //,ABE AD BC AD ∴⊥Q 平面,ABE MP 平面⊂Θ,MP AD ⊥∴,
ADNP AE AD A AE AD 平面⊂=,,I Θ,⊥∴MP ADNP 平面 ……8分
//,ABE AD BC AD ∴⊥Q 平面，AP AD ⊥∴,
又,//AD NP ΘADNP 四边形∴为直角梯形 ……10分
Θ8
33223
)12
1(=⋅
+=ADNP
S 梯，21=MP , ∴四棱锥ADNP M
-的体积16
3
218333131=
⋅⋅
=⋅=MP S V ADNP ……12分 20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）不妨设 121(,0),(,0),(0,),F c F c B b - 1,22||1111=∴==+b b F B F B ……1分
22112122B F B F c b c a ⋅=-+=-∴∴=u u u u r u u u u r
……3分
所以椭圆方程为14
22
=+y x ……4分 （Ⅱ）①当直线1l 与x 轴重合时，
设)23
,1(),23,
1(),0,2(),0,2(--D C B A ，
则1531224AC DB ⋅=⨯+=u u u r u u u r ……5分
②当直线1l 不与x 轴重合时，设其方程为1+=my x ，设),(),,(2211y x B y x A 由⎩
⎨⎧=++=4412
2y x my x 得032)4(2
2=-++my y m 43,42,221221+-=+-=+m y y m m y y ……6分
Θ⋅-⋅-=-⋅-=⋅)()( ),(),1(),,(),1(22221111y my y x y my y x =-==-=
D
4
)1(3)1(22212
++=
+-=⋅-∴m m y y m
由2l 与1l 垂直知：2241)1(3m m ++=
⋅-
)
41)(4()1(1541)1(34
)1(322222
222m m m m m m m +++=
+++
++=
⋅-⋅-=⋅∴ ……10分
5
12
255)1(152
222=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++≥
m m 当且仅当1±=m 取到“=”.
综合①②,min 12
()5
AC DB ⋅=u u u r u u u r ……12分
21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）x
x g x a a x f 1
)(',1)('2
=
-+
= 由题设知00>x ，且)(')('00x g x f =，即0
2
01
1x x a a =
-+
， ……2分 0)1()1(,01020020=-+-∴=-+-∴x x a a x ax
因为上式对任意实数a 恒成立，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴.
01,01020x x ……4分
故，所求10=x ……5分 （Ⅱ）1)()(≥-x g x f 即1ln 1
≥--+x x
a ax ， 方法一：在(0,)x ∈+∞时1ln 1
≥--+
x x
a ax 恒成立，则在1=x 处必成立，即101≥--+a a ， 故1≥a 是不等式1)()(≥-x g x f 恒成立的必要条件. ……7分 另一方面，当1≥a 时，记,ln 1
)(x x
a ax x h --+
=则在),0(+∞上，1)(≥x h 2
222)
1)(1(111)('x x a ax x a x ax x x a
a x h --+=
-+-=--+= ……9分 0
1,0,1>-+∴>≥a ax x a Θ
∴)1,0(∈x 时0)('<x h ，)(x h 单调递减；(1,)x ∈+∞时0)('>x h ，)(x h 单调递增
12)1()(min -==∴a h x h
Θ1≥a ，112≥-∴a ，即1)(≥x h 恒成立
故1≥a 是不等式1)()(≥-x g x f 恒成立的充分条件. ……11分
综上，实数a 的取值范围是[)+∞,1 ……12分 方法二：记,ln 1
)(x x
a ax x h --+
=则在),0(+∞上，1)(≥x h )0,0()
1)(1
1(111)('2
22
2>>--+=-+-=--+=a x x x a x a x a x ax x x a a x h ……7分
① 若102a <≤
，1
11a
-+>，(0,1)x ∈时，0)('>x h ，)(x h 单调递增，012)1()(≤-=<a h x h ， 这与),0(+∞上1)(≥x h 矛盾； ……8分
② 若
1
12a <<，1011a
<-+<，),1(+∞上)(,0)('x h x h >递增，而112)1(<-=a h ， 这与),0(+∞上1)(≥x h 矛盾；……9分
③若1≥a ，01
1≤+
-a
，∴)1,0(∈x 时0)('<x h ，)(x h 单调递减；(1,)x ∈+∞时0)('>x h ，)(x h 单调递增
112)1()(min ≥-==∴a h x h ，即1)(≥x h 恒成立 ……11分 综上，实数a 的取值范围是[)+∞,1 ……12分
22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 (Ⅰ)证明：连接BE.
∵BC 为⊙O 的切线 ∴∠ABC＝90°
∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠AEB＝90° ……2分 ∴∠DBE＋∠OBE＝90°,∠AEO＋∠OEB＝90°
∵OB＝OE,∴∠OBE＝∠OEB ∴∠DBE＝∠AEO ……4分 ∵∠AEO＝∠CED ∴∠CED＝∠CBE, ∵∠C＝∠C∴△CED∽△CBE ，
∴
CE CD CB CE
=
∴CE 2
＝CD ·CB ……6分 (Ⅱ)∵OB＝1,BC ＝2 5 ∴CE＝OC －OE 5分
由(Ⅰ)CE 2 ＝CD•CB 得51)2
＝2CD ，∴CD＝35……10分
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解：(Ⅰ)直线:2cos()36
l π
ρθ-
=3cos sin 3ρθρθ+=，
∴直线l 33x y +=
∴点3)P 在直线l 上. ……5分
(Ⅱ)直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t
y t x 233,21（t 为参数），曲线C 的直角坐标方程为221515x y +=
将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，
有22213())15,28022
t t t -
+=∴+-=，036>=∆，设方程的两根为12,t t ， 121288PA PB t t t t ∴⋅===-= ……10分
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 解：(Ⅰ)原不等式等价于1
172-≤+-x x
当1<x 时，)1(1)72(--≤+--x x ，解得x x ∴≥7不存在； 当271≤
≤x 时，)1(1)72(-≤+--x x ，解得2733≤≤∴≥x x ；
当27>
x 时，)1(1)72(-≤+-x x ，解得527
5≤<∴≤x x .
综上，不等式的解集为[]5,3 ……5分
(Ⅱ) 方法一：由函数)(x f y =与函数ax y =的图象可知， 当且仅当27
2
-<≥
a a 或时，函数)(x f y =与函数ax y =的图象有交点， 故存在x 使不等式()f x ax ≤成立时，a 的取值范围是),7
2[)2,(+∞--∞Y ……10分 方法二：()f x ax ≤即 ax x ≤+-172，
（ⅰ）当2
7
≥
x ，能成立06)2(≥+-x a ， 若02≥-a ，则066)2(2
7
6)2(>≥+-≥+-a x a ，2≥∴a 满足条件； 若02<-a ，则6)2(276)2(+-≤
+-a x a ,由06)2(27
≥+-a 解得：27
2<≤a . 72
≥
∴a
……7分
（ⅱ）当2
7
<x 时，能成立08)2(≥-+x a ，
若02<+a ，则在2
8
+≤
a x 时就有08)2(≥-+x a ，2-<∴a 满足条件； 若02=+a ，则088)2(<-=-+x a ，2-=∴a 不满足条件； 若02>+a ，则8)2(278)2(-+<
-+a x a ，由08)2(2
7
>-+a ，解得72>a . 272
-<>
∴a a 或 .
……9分 综上，272
-<≥a a 或 .
即a 的取值范围是),7
2[)2,(+∞--∞Y ……10分。