（完整版）行列式的计算方法总结

（完整版）行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结:
1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式.
2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式:
B A B
C A B
C A ==
0021
,
B A B
A D D
B A
mn )1(0
021
-==
,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n
n a
b
a
b a
b b a b a
b
a
D 22O
N
N
O
=
,
利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式
a
b b
a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-=
n n n n n n n D b a D a
b b a D ,此为递推公式,应用可得
n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ.
3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式.
例:n
n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛ00
000
01
133112
2113213
21321
321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100
101010
011)(3
332
221
111
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------?
-=∏=n
n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公
因子i i a x -) 1
001000
010)(3
332
222111
1
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛn
n n n
i i
i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-?
-=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)
其它的例子：特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相同.
n x a a a a a x a a a a a x a a a a
a x a ++++Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛ321,n
n n
n a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x ++++Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛ3
2132132132
1. 4. 逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用逐行(列)相减可以化出零. 5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变).
例子:
n
n n n n
n
n n n
n n n n
n b a b a b a a b a b a b a a b a b a b a a b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a ++++-++++-++++----=
++++++++++++10
10101000001
11121222122121111212
1
222121211
1Λ
ΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛ
Λ
∑∑∑∑∑∑======+--+=---+--+=
------=n
i i
n i i i n
i i
n n
i i
n i i i n
i i
n n b b a n
a b b b b b a n
a a a a
b b b 1
1
1211
1
12
121111
010*******
111
111
1
0101
00111011101Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
∑∑∑∑∑∑∑=≠======-+++=-++=n j n j
i i j i j n
i i n
i i n
i i i n
i i n
i i a a b b a b a n b a 11
1
1
1
1
1
)(1)1)(1(.
例子:
n
n
x a a
a
a
a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a
a
a
a x a a a a a x a a
a a a x a ++++=++++Λ
ΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
ΛΛ0
000132
1
32
1
).1(0
00000000
00010
1
00010001000111213211
321∑∑
==+=+=
----=
n
i i
n n
n
i i
n
x a x x x x x x x a a a a x a x x x x a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛ
6. 利用范德蒙德行列式.
计算行列式: n n
n n n
n n n n n n
n
x x x x x x x x x x x x x x x x D ΛΛ
Λ
ΛΛ
Λ
ΛΛΛΛ3
2
12232221223
22
213
2
1
1111----=
解: 令: n
n n
n n
n n n n n n n n n n n n y x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D ΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛ2
11112112222212
2222
121
11
111
--------=,这是一个1+n 级范德蒙德行列式. 一方面,由范德蒙德行
列式得)())(()(2111n n
i j j i
x y x y x y x x
D ---?-=
∏≤<≤Λ.可看做是关于y 的一个n 次多项式.
另一方面,将1D 按最后一列展开,可得一个关于y 的多项式01111p y p y p y p D n n n n ++++=--Λ,其中1
-n y 的系数
1-n p 与所求行列式D 的关系为1--=n p D .
由)())(()(2111n n
i j j i
x y x y x y x x
D ---?-=
∏≤<≤Λ来计算1
-n y
的系数1-n p 得:∑∏=≤<≤-?--
=n
i i n
i j j i
n x x x
p 1
11)(,
故有∑∏=≤<≤-?-=-=n
i i n
i j j i
n x x x
p D 1
11)(
其它的例子:
=+-+++-++-++------n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n
b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a 1 11121
2111112
1
2
22
2
222
122
11
112
1211
111ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
Λ ……每一行提公因子n i a ,
n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a b
a b a a a )()()()(1
)()()()(1)()()()(1
1
111121111221222222211111211111
21++-++++++--+=Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ).(1121∏≤<≤+-=n i j j j i
i n
n n n a b a b a a a Λ
7.利用数学归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳)
证明当βα≠时,,10
0000010001
00011β
αβαβ
ααββ
αβααββ
ααββ
α--=+++++=
++n n n D Λ
ΛΛ
Λ
ΛΛΛΛΛ
ΛΛ
证明时,将n D 按第一行(或第一列)展开得21)(---+=n n n D D D αββα,利用归纳假设可得. 8. 利用递推公式.
例子: 计算行列式,10
0000010001
000β
ααββ
αβααββ
ααββ
α+++++=
Λ
ΛΛ
Λ
ΛΛΛΛΛ
ΛΛn D
解: 按第一行展开得: 21)(---+=n n n D D D αββα,将此式化为:
(1) )(211----=-n n n n D D D D αβα或 (2) )(211----=-n n n n
D D D D βαβ 利用递推公式(1)得:
n n n n n n n n D D D D D D D D βαβαβαβα=-==-=-=------
-)()()(122322211Λ,即n n n D D βα+=-1. (3)
利用递推公式(2)得:
n n n n n n n n D D D D D D D D αβαβαβαβ=-==-=-=-------)()()(122322211Λ,即n n n D D αβ+=-1. (4)
由(3)(4) 解得: ,,)1(,1
1??
=+≠--=++βααβαβαβαn n n n n D
其它的例子
n
n a
c
b a a
c b a c b a D Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ0
00000000000=
,按第一行展开可得
21---=n n n bcD aD D ,此时令,,bc a ==+αββα则21)(---+=n n n D D D αββα,
变形为211)(----=-n n n n D D D D αβα,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果. 这里,,bc a ==+αββα即βα,是方程02 =+-bc ax x 的两个根.
9. 分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和,将行列式分解成两个容易求的行列式的和.
例子:a
c
c
c
c
b a
c c c b b a c c b b b a c b b b b c a c a
c
c
c
c
b a
c c c b b a c c
b b b a c
b b b b a D n Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛ-+==
2
10
000V V a
c
c
c
b a
c c b b a c b b b a b b b b c a a
c
c
c
c
b a
c c c b b a c c b b b a c b b b b c +=-+
=Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
1V : 除第一行外,其余各行加上第一行的1-倍,所得行列式按第一列
展开,2V 按第一列展开.
1
1)(0
00000
0--=----------=
n b a c b
a b c b c b
c b
a b c b c b b b a b c b
a b b b b c V Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
Λ
12)(--=n D c a V , 故11)()(---+-=n n n D c a b a c D ,
由c b ,的对称性质,亦可得11
)()(---+-=n n n D b a c a b D ,这两个式子中削去1-n D ,可得结论,
b
c c a b b a c D n
n n ----=)()(.
注: (1) 同一个行列式,可有多种计算方法.要利用行列式自身元素的特点,选择合适的计算方法. (2) 以上的各种方法并不是互相独立的,计算一个行列式时,有时需要综合运用以上方法,。