江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备二审题方法秘籍学案

必备二审题方法秘籍
审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题.
一审审条件挖隐含
有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误.
典型例题
例1 (2018江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)=sinx-x+-,则关于x的不等式
f(1-x2)+f(5x-7)<0的解集为.
▲审题指导
sin(-x)=-sinx,
2-x=f'(x)<0f(1-x2)<
-f(5x-7)=f(7-5x)1-x2>7-5x
答案(2,3)
解析∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∵f'(x)=cosx-1--2x ln2,
∴f'(x)<0,∴函数f(x)单调递减,则不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0可化为f(1-x2)<f(7-5x),即
1-x2>7-5x,解得2<x<3,故所求不等式的解集为(2,3).
跟踪集训
1.已知函数f(x)=2x,当x∈[0,3]时,f(x+ )≤f[( x+a)2]恒成立,则a的取值范围
为.
二审审结论会转换
解决问题的最终目标是求出结果或证明结论,因而解决问题时的思维过程大多围绕着结论定向思考.审视结论,就是在结论的引导下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向.
典型例题
例2 已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.
▲审题指导思路:
证明两曲线有
唯一公共点函数φ(x)=e x-x2-x-1
有唯一一个零点
φ'(x)=e x-x-1结论
证明曲线y=e x与曲线y=x2+x+1公共点的个数等价于函数φ(x)=e x-x2-x-1零点的个数.
∵φ(0)=1- =0,∴φ(x)存在零点x=0.
又φ'(x)=e x-x-1,令h(x)=φ'(x)=e x-x-1,
则h'(x)=e x-1.
当x<0时,h'(x)<0,
∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减;
当x>0时,h'(x)>0,
∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.
∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0,
即φ'(x)在R上的最小值为φ'(0)=0.
∴φ'(x)≥0(当且仅当x=0时,等号成立),
∴φ(x)在R上是单调递增的,
∴φ(x)在R上有唯一的零点,
故曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.
跟踪集训
2.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)已知二次函数g(x)对任意实数x都满足
g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1.令f(x)=g+mlnx+(m∈R,x>0).
(1)求g(x)的表达式;
(2)若∃x>0,f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;
(3)设 <m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:∀x1,x2∈[ ,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.
三审审结构定方案
数学问题中的条件和结论,大都是以数式的结构形式呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构深入分析,加工转化,就可以找到解决问题的方案. 典型例题
例3 设数列{a n}( = , ,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<
成立的n的最小值.
000
▲审题指导
(1)
n取10
(2)a n=2n→=→T n=1-→解不等式|T n-1|<
000
解析(1)由已知S n=2a n-a1,
得S n-1=2a n-1-a1( ≥ ),
所以a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1( ≥ ),
即a n=2a n-1( ≥ ).
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因为a1,a2+1,a3成等差数列,
即a1+a3=2(a2+1),
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.
所以数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.
故a n =2n
. (2)由(1)得
=
,
所以T n = +
+…+
=
-
-
=1-
.
由|T n -1|<
000
,得 -
- <
000
,即2n
>1000.
因为29
=512<1000<1024=210
,所以 ≥ 0. 所以使|T n -1|<
000
成立的n 的最小值为10.
跟踪集训
3.(2018盐城时杨中学高三月考)在数列{a n }中,a 1= ,a n+1=3
-
,b n = 0
,其中 ∈N *
. (1)求证:数列{b n }为等差数列;
(2)设c n =b n b n+1cosn π, ∈N *
,数列{c n }的前n 项和为T n ,若当 ∈N *
且n 为偶数时,T n ≤t 2
恒成立,求实数t 的取值范围;
(3)设数列{a n }的前n 项和为S n ,试求数列{S 2n -S n }的最大值.
四审 审图形抓特点
在不少数学高考试题中,问题的条件经常以图形的形式给出,或将条件隐含在图形中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想是破解考题的关键. 典型例题
例4 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) ∈R, 0,0
的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=f -
-f
的单调递增区间.
▲审题指导第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利用周期公式求得ω的值,然后代入图中特殊点的坐标求A和φ的值;第(2)问,利用两角和的三角函数公式和辅助角公式将g(x)的解析式化为
y=Asin(ωx+φ)的形式,再将ωx+φ看作一个整体,利用y=sinx的单调区间,通过解不等式求得结果.
解析(1)由题图知,周期T=2-=π,
所以ω==2,
因为点,0在函数图象上,
所以Asin=0,
即sin=0.
,
又因为0<φ<,所以<+φ<
3
从而+φ=π,即φ=.
又点(0,1)在函数图象上,所以Asin=1,得A=2.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)g(x)=2sin--2sin2+
=2sin2x-2s 3cos
=2sin2x-2sin
3
.
=sin2x-3cos2x=2sin-
3
由2kπ-≤ x-
≤ kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
3
所以函数g(x)的单调递增区间是-,k ,k∈Z.
跟踪集训
4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则f(2)= .
五审审图表找规律
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.
典型例题
例5 把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设a ij( ,j∈N*)是这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若a ij=2015,则i+j= .
1
2,4
3,5,7
6,8,10,12
9,11,13,15,17
14,16,18,20,22,24
…
▲审题指导i是奇数2015位于奇数行
的位置,求出i判断这一行数的个数求出j求出i+j
答案110
解析由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数, 0 = × 00 -1,
所以2015为第1008个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前31个奇数行内奇数的总个数为3 × +3 30× = ,前32个奇数行内奇数的总个数为3 × +3 3 × = 0 ,故2015在第32个奇数行内,所以i=63,因为第31个奇数行的最后一个奇数是 × -1=1921,所以第63行的第一个数为1923,
所以2015=1923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110.
跟踪集训
,把数列{a n}的各项排成三角形状,如图所示,记A(m,n)表示第m行,第n列的项, 5.已知数列{a n},a n= ·
3
则A(10,8)= .
a1
a2a3
a4a5a6
a7a8a9a10
…
6.下表给出一个“三角形数阵”.
333
…
已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a ij( ≥j, ,j∈N*).
(1)求a83;
(2)试写出a ij关于i,j的表达式;
(3)记第n行的和为A n,求数列{A n}的前m项和B m的表达式.
六审审范围防易错
范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束条件,从整体上把握问题.
典型例题
例6 已知函数f(x)=lnx+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
▲审题指导
结论
(2)由(1)中结论→f(x)的最大值
lna+a-1<0g(a)=lna+a-1
解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.
若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈0,时,f'(x)>0;当x∈,∞时,f'(x)<0,所以f(x)在0,上单调递增,在,∞上单调递减.
(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a-=-lna+a-1.因此f>2a-2等价于lna+a-1<0.
令g(a)=lna+a-1,a>0,g'(a)=+1>0,
则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,
于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.
因此,a的取值范围是(0,1).
跟踪集训
7.在三角形ABC中,已知2·=||·||,设∠CAB=α,
(1)求角α的值;
,,求cosβ的值.
(2)若cos(β-α)=3,其中β∈
3
七审审方法寻捷径
方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半功倍.
典型例题
.
例7 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为
3
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q两点.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.
▲审题指导
(1)
(2)四边形OPTQ 是平行四边形
S ▱OPTQ =2S △OPQ →S △OPQ =
|OF||y 1-y 2|→y 1与y 2
的关系→联立直线PQ 的 方程与椭圆的方程
解析 (1)由已知可得 =
3
,c=2,所以a= . 由a 2
=b 2
+c 2
,得b= ,所以椭圆C 的标准方程是 +
=1. (2)设T 点的坐标为(-3,m), 则直线TF 的斜率k TF =
-0-3-(- )
=-m.
当m≠0时,直线PQ 的斜率k PQ =
,
则直线PQ 的方程是x=my-2. 当m=0时,直线PQ 的方程是x=-2, 也满足方程x=my-2.
设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得 - ,
,
消去x,得(m 2+3)y 2-4my-2=0,
∴Δ=16m 2
+8(m 2
+3)>0,y 1+y 2= 3,y 1y 2=-
3, 则x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=-
3
. 因为四边形OPTQ 是平行四边形, 所以 = ,即(x 1,y 1)=(-3-x 2,m-y 2). 所以
-
3 -3,
3
m,解得m=± .
所以S 四边形OPTQ =2S △OPQ = ×
·|OF|·|y 1-y 2|
=2 3
- ·-
3
=2
跟踪集训
8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点A是椭圆的左顶点,过原点的直线MN与椭圆交于M,N两点(M在第三象限),与椭圆的右准线交于点P.
b2.
已知AM⊥MN,且·=
3
(1)求椭圆C的离心率e;
a,求椭圆C的标准方程.
(2)若S△ANM+S△POF= 0
3
答案精解精析
一审审条件挖隐含跟踪集训
1.答案{a|a≥ 或a≤-8}
解析因为f(x)=2x是单调增函数,
所以由f(x+ )≤f[( x+a)2]得x+ ≤( x+a)2,
则问题转化为x+ ≤( x+a)2对x∈[0,3]恒成立,
即4x2+(4a-1)x+a2- ≥0对x∈[0,3]恒成立,
令h(x)=4x2+(4a-1)x+a2-1,
若-<0,则h(0)≥0,此时a≥ ;
若->3,则h(3)≥0,此时a≤-8;
若0≤-≤3,则Δ=(4a-1)2-16(a2- )≤0,此时无解.
综上,a的取值范围是{a|a≥ 或a≤-8}.
二审审结论会转换跟踪集训
2.解析(1)设g(x)=ax2+bx+c,a≠0,于是
,
g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2,所以
- .
又g(1)=-1,则b=-.所以g(x)=x2-x-1.
(2)f(x)=g+mlnx+=x2+m x(m∈R,x>0).
当m>0时,由对数函数性质知f(x)的值域为R;
当m=0时,f(x)=,∀x>0,f(x)>0恒成立;
当m<0时,由f'(x)=x+=0⇒x=-,列表:
这时,f(x)min =f( - )=-
+mln - .
f(x)min >0⇔ -
m -
0, 0
⇒-e<m<0. 所以若∀x>0,f(x)>0恒成立,则实数m 的取值范围是(-e,0]. 故∃x>0,f(x)≤0成立,实数m 的取值范围(-∞,-e]∪(0,+∞). (3)证明:因为∀x∈[ ,m],H'(x)=( - )( - )
≤0,
所以H(x)在[1,m]内单调递减.
于是|H(x 1)-H(x 2)|≤H( )-H(m)=
m 2
-mlnm-
, |H(x 1)-H(x 2)|<1⇒
m 2
-mlnm- <1⇒ m-lnm-3
<0, 记h(m)=
m-lnm-3
( <m≤e),
则h'(m)= - +3 =3
- 3
+
3>0, 所以函数h(m)=
m-lnm-3
在(1,e]上是单调增函数,
所以h(m)≤h(e)=e -1-3 e =
(e -3)(e )
e
<0,故命题成立.
三审 审结构定方案
跟踪集训
3.解析 (1)证明:∵b n+1= 0
=
·3 - =
0(
) (3
- ) ( )=
,
∴b n+1-b n =
- 0
=1. ∴数列{b n }是公差为1的等差数列. (2)由题意可知,b 1=
=1,故b n =n.
因为c n =b n b n+1cosn π, ∈N *
,
所以T n =c 1+c 2+…+c n =-b 1b 2+b 2b 3-b 3b 4+b 4b 5-…+(-1)n
b n b n+1. 当 ∈N *
且n 为偶数时,设 = m,m∈N *
. 则T n =T 2m =-b 1b 2+b 2b 3-b 3b 4+b 4b 5-…+(-1)2m
b 2m b 2m+1. =b 2(-b 1+b 3)+b 4(-b 3+b 5)+…+b 2m (-b 2m-1+b 2m+1) =2(b 2+b 4+…+b 2n )= ( + +…+m)= m 2
+2m=
n 2
+n. 要使T n ≤t 2
对 ∈N *
且n 为偶数恒成立,
只要使n2+ ≤t 2对 ∈N*且n为偶数恒成立,
即使t≥+对n为正偶数恒成立.
=+= ,∴t≥ ,
∵
m
故实数t的取值范围是[ ,+∞).
(3)由(2)知b n=n,又b n= 0,∴a n= 0-.
∴S n=10…-,
∴S2n=10……-,
设M n=S2n-S n=10…-,
∴M n+1=
…-,
10
3
∴M n+1-M n=10--
-,
=10--= 0
( )( )
->0,即M1<M2,
∴当n=1时,M n+1-M n= 0
3
当 ≥ 时,M n+1-M n<0,即M2>M3>M4>….
-1=.
∴(M n)max=M2= 0×
3
因此数列{S2n-S n}的最大值为.
四审审图形抓特点
跟踪集训
4.答案-
=,解得ω=3 .又f(1)=sin 3 =1,解析由三角函数的图象可得3T=3-1=2,所以最小正周期T=
3
解得φ=-+2kπ,k∈Z,
所以f(x)=sin 3 x- k ,k∈Z,
则f(2)=sin 3 -=sin=-.
五审审图表找规律
跟踪集训
5.答案 ×
3
3
解析由题意知:第一行共1项,第二行共2项,第三行共3项,……,可以猜测第n行共n+1项,因为A(10,8)
是第十行第八列,故前九行的项数总和是S9=( )=45,再加上第十行的8项就是A(10,8)=a53= ×
3 3 ,
故答案为 ×
3 3
.
6.解析(1)由题知,{a i1}成等差数列,因为a11=,a21=,
所以公差d=,a81=+(8- )×=2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a31=3,a32=3,所以,每行的公比q=,故a83= ×=.
(2)由(1)知a i1=+(i-1)=,所以a ij=a i1·-
=·
-
= ·.
(3)A n=a n1…
-
=--
=-n.
B m=( + +…+m)-
3….
设T m=++3+…+,①
则T m=++3+…+,②
由①-②,得T m=+++…+-=1--=1-,
所以B m=·()--=()+-1.
六审审范围防易错
跟踪集训
7.解析(1)由2·=||·||,
得2||·||cosα=||·||,
所以cosα=,又因为α为三角形ABC的内角,所以α=
3
.
(2)由(1)知sinα=3,且β-α∈0,,又cos(β-α)=3,所以sin(β-α)=, 故cosβ=cos(β-α+α)=cos(β-α)cosα-sin(β-α)sinα=3×-×3=33.
七审审方法寻捷径跟踪集训
8.解析(1)由题意知
,
,
消去y,
得x2+ax+b2=0,
解得x1=-a,x2=-,
所以x M=-∈(-a,0),·=x M x A=a=
3
b2,=3,所以e=3.
(2)由(1)知M-
3b,-
3
b,右准线方程为x=
3
b,
直线MN的方程为y=所以P3
3b,
3
b,
S△POF=OF·y P=3b·
3
b=22,
S△AMN=2S△AOM=OA×|y M|= b×
3b=
3
b2,
所以2b2+
3b2= 0
3
a,
0 3b2= 0
3
b2,所以b=,a=2,
椭圆C的标准方程为+=1.。