2019-2020学年高考数学一轮复习《三角函数的性质》学案.doc

2019-2020学年高考数学一轮复习《三角函数的性质》学案
1．三角函数的性质
2．函数y ＝sinx 的对称性与周期性的关系．
⑴ 若相邻两条对称轴为x ＝a 和x ＝b ，则T ＝ ． ⑵ 若相邻两对称点(a ，0)和(b ，0) ，则T ＝ ．
⑶ 若有一个对称点(a ，0)和它相邻的一条对称轴x ＝b ，则T ＝ ． 注：该结论可以推广到其它任一函数．
∴2sin(m＋6π)cos(m ＋6
π
)＝
)
6
cos()
6sin(π
π
++
m m ∴sin(m＋
6π)＝0或cos(m ＋6π)＝±2
2 当sin(m ＋6π)＝0时，m ＝k π－6
π
(k≠z)，这与0＜m ＜1矛盾． 当cos(m ＋
6π)＝±2
2时，m ＝k π＋12π或m ＝k π－π125(k∈z)，现由0＜m ＜1时得m ＝12π典型例题 基础过关
故a ＝
b
π
＝
1)32sin(216)12(2sin 2+-=+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--πππx x
∴ππ
==
2
2T (2)当f(x)取最大值时，sin(2x －3
π
)＝1 有2x －
3π＝2k π＋2π 即x ＝k π＋12
5π(k ∈z) 故所求x 的集合为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+=z k k x x ,125|ππ 例2已知函数f (x)＝
x
x 2cos 1sin 2+
⑴ 求f (x)的定义域．
⑵ 用定义判断f (x)的奇偶性．
⑶ 在[－π，π]上作出函数f (x)的图象． ⑷ 指出f (x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1) 由1＋cos2x ＞0得2cos 2
x ＞0 ∴cos x ≠0即x ≠k π＋
2
π，(k ∈z)
∴函数f (x)的定义域为{x ｜x ≠k π＋2
π，k ∈z ｜}
(2)∵定义域关于原点对称，且对任意的定义域中x ， f (－x)＝
)(2cos 1sin 2)
2cos(1)sin(2x f x
x x x -=+-=
-+-
∴f (x)为奇函数. (3) f (x)＝
x
x x
x cos sin cos 2sin 2=又x ∈[－π，π]
x
y
2π
2
π
-
π -π
且x ≠－2
,2
π
π≠
x
∴f(x)＝⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤<-<≤--<<-)
22(tan )22(tan ππππππx x x x x 或
f (x)的图象如右：
(4) 由图知，f(x)的最小正周期为2π． f (x)的单调递增区间是(π
π
ππ
k k 22
,
22++-)(k ∈z)
变式训练2：求下列函数的定义域： （1）y=lgsin(cosx);（2）y=x x cos sin -. 解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0. ∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1.
方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-2π
+2k π＜x ＜2
π+2k π,k∈Z }. 方法二 利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0＜OM≤1,
∴OM 只能在x 轴的正半轴上， ∴其定义域为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+-Z k k x k x ,2222|ππππ.
（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.
方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2π］上y=sinx 和y=cosx 的图象，如图所示.
在［0，2π］内，满足sinx=cosx 的x 为4π，4
5π
，再结合正弦、余弦函数的周期是2π, 所以定义域为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≤
≤+Z k k x k x ,24524
|
ππππ
. 方法二 利用三角函数线，
如图MN 为正弦线，OM 为余弦线， 要使sinx ≥cosx,即MN≥OM， 则
4π≤x≤4
5π
（在［0，2π］内）. ∴定义域为
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,24524|ππππ
.
方法三 sinx-cosx=2sin )4
(π
-x ≥0，
将x-
4
π
视为一个整体，由正弦函数y=sinx 的图象和性质 可知2k π≤x -4
π
≤π+2k π, 解得2k π+
4π≤x≤4
5π+2k π,k∈Z . 所以定义域为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≤
≤+
Ζk k x kx x ,2454
2|πππ
. 例3设函数)10(cos 3sin )(<<+=a ax ax x f ，)10()6
tan()(<<+=m mx x g π
，已知f(x)、g(x)的最
小正周期相同，且2(g)＝f(1)；
（1）试确定f(x)、g (x)的解的式； （2）求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)当a ＝1时，f(x)＝2cos 2
2x
＋sinx ＋b
＝1)4
sin(2+++
b x π
∴递增区间为[2k π－
4
2,43πππ+k ](k ∈z)
(2)∵f (x)＝a(sinx ＋cosx)＋a ＋b ＝b
a x a +++
)4
sin(2π
而x∈[0，π]，x ＋4
π∈[
4
5,4π
π]
∴sin(x ＋
4
π
)∈[1,2
2
-
] ∴⎪⎩
⎪⎨⎧=++-=++4
)22
(232b a a b a a ∴⎪⎩
⎪⎨
⎧=-=42
1b a
变式训练3：已知函数f (x)＝2
1log (sinx －cosx)
⑴ 求它的定义域和值域；
⑵ 求它的单调区间； ⑶ 判断它的奇偶性；
⑷ 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期． 解：(1) 由题意得：sinx －cosx ＞0即2
sin(x －
4
π)＞０
从而得2k π＋
4
π＜x ＜2k π＋4
5π
函数的定义域为(4
5242π
ππ
π＋
，＋k k )(k∈z )
∵0＜sin(x －
4
π)≤1 ∴0＜sinx －cosx ≤2
即2
1 log (sinx －cosx )≥2
1
log 2
＝－2
1故函数f (x)的值域为[－2
1，＋∞]
(2) ∵sin x －cosx ＝2
sin(x －
4
π
)在f(x)的定义域上的单调递增区间为
(4
52432ππππ＋，＋
k k )(k ∈z)，单调递减区间为[4
3242π
ππ
π＋
，＋k k ](k ∈z)
(3) ∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称． ∴f(x)是非奇非偶函数．
(4) ∵f(x ＋2π)＝2
1 log [sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)]
＝2
1 log (sinx －cosx)＝f(x)
∴f (x)函数的最小正周期T ＝2π
例4.已知函数y ＝acosx ＋b 的最大值为1，最小值是－3，试确定)(x f ＝b sin(ax ＋3
π
)的单调区间．
解：(1)若a ＞0，则a ＋b ＝1，－a ＋b ＝－3， ∴ a＝2，b ＝－1，此时，)(x f ＝－sin(2x ＋3
π) 单调增区间为[k π＋12
π
，k π＋
12
7π
] (k∈z) 单调减区间为[k π－
125π，k π＋12
π
] (k∈z) (2) 若a ＜0，则－a ＋b ＝1，a ＋b ＝－3，
∴ a＝－2，b ＝－1， 单调增区间为[k π－12
π
，k π＋
12
5π
] (k∈z) 单调减区间为[k π＋
125π，k π＋12
11π] (k∈z) 变式训练4：某港口水的深度y （米）是时间t (0≤t<24，单位：时)的函数，记作y ＝f(t)，
下面是某日水深的数据：
t （时） 0
3
6 9 12 y （米） 10 13 9.
9 7 10 t （时） 15 18 21 24
y （米） 13
10.
1
7
10
经过长期观察，y ＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y ＝Asin ωx ＋b 的图象． （1）试根据以上数据，求出函数y ＝f(t)的近似表达式；
（2）一般情况下，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底中需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果希望该船在一天内安全进出港，请问，它至多在港里停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？ 解：(1) 由已知数据，易知函数y ＝f(t)的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10
∴y ＝3sin
6
π
t ＝10 (2) 由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米) ∴3sin
6πt ＋10≥11.5 sin 6πt≥2
1 解得2k π＋
6π≤6π
t ≤2k π＋6
5π 即12k ＋1≤t ≤12k＋5 k ∈z
在同一天内，取k ＝0或1． ∴1≤t ≤5 或 13≤t ≤17
∴该船最早能在凌晨1时进港，最迟下午17时出港，在港内最多能停留16小时．
1．求三角函数的定义域既要注意一般函数求定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，如常常丢掉使tanx 有意义的x≠n π＋
2
π
(n∈Z)． 2．求函数值域的问题一方面要熟悉求值域的一般方法和依据，另一方面要注意三角函数的有界性．
3．求周期一般先将函数式化为y ＝Af(ωx ＋ϕ)(f 为三角函数)，再用周期公式求解． 4．函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定的基本思想是把(ωx ＋ϕ)看作一个整体，再利用正弦函数的单调区间解出x 即为所求．若ω<0，可用诱导公式变为y ＝－Asin(－ωx －ϕ)再仿照以上方法解之
小结归纳。