高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》易错题汇编含解析

【高中数学】《平面向量》考试知识点
一、选择题
1．平面向量a →与b →的夹角为π3，()2,0a →=，1b →=，则2a b →→-=（ ）
A ．
B
C ．0
D ．2
【答案】D
【解析】
【分析】 根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案.
【详解】
()2,0a →=Q ，
||2a →
∴=
22222(2)||4||444421cos 43a b a b a b a b π→→→→∴-=-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=r r r r ， |2|2a b ∴-=r r ， 故选：D
【点睛】
本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于中档题.
2．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r r v v ，且||a =v ||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为（ ）
A ．3π
B ．23π
C ．6π
D ．56
π 【答案】B
【解析】
【分析】 对a b a b +=-v v v v 两边平方，求得0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .画出图像，根据图像确定b v 与
a b -v v 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.
【详解】 因为a b a b +=-v v v v ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+v v v v v v v v ，即0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .
如图，设AB a =u u u v v ，AD b =u u u v v ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为BDE ∠，因为
tan BDA ∠=3BDA π
∠=，23
BDE π∠=.故选B.
【点睛】
本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.
3．已知点M 在以1(,2)C a a -为圆心，以1为半径的圆上，距离为23的两点,P Q 在圆222:8120C x y y +-+=上，则MP MQ ⋅u u u r u u u u r 的最小值为（ ）
A ．18122-
B ．19122-
C ．18122+
D ．19122+ 【答案】B
【解析】
【分析】 设PQ 中点D ，得到,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，求得23MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，再
利用圆与圆的位置关系，即可求解故()
23223MP MQ ⋅≥--u u u r u u u u r ，得到答案. 【详解】
依题意，设PQ 中点D ，
则,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，所以23MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，
22222()12
PQ C D QC =-=Q ，D ∴在以1为半径，以2C 为圆心的圆上， 22221[(2)4]2(3)1832C C a a a =+--=-+≥Q ，
1221min min MD C C C D MC ∴=--
故()
2322319122MP MQ ⋅≥--=-u u u r u u u u r .
【点睛】
本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.
4．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v
（） A ．4
B ．6
C ．23
D ．43 【答案】B
【解析】
【分析】 根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．
【详解】
如图所示，
菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，
∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，
∴|||3 302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故选B ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
5．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，22
20OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r ，则PO 的最大值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r 可得262m x n y =-⎧⎨
=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值.
【详解】 设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r .
由3PB PA =u u u r u u u r 可得363m x x n y y
-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y =-⎧⎨=-⎩， 因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，
整理得到()2
234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2， 故PO 的最大值为325+=，
故选：C.
【点睛】
本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题. 6．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）
A ．,,M N P 三点共线
B ．,,M N Q 三点共线
C ．,,N P Q 三点共线
D ．,,M P Q 三点共线 【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面向量共线定理进行判断即可.
【详解】 因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r 所以()
2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r
,
因为5MN a b =+u u u u r r r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r 由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuu r 为共线向量,
又因为MN u u u u r 与NQ uuu r 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线. 故选: B
【点睛】
本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
7．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．1
B ．2-
C ．12
D ．12
- 【答案】C
【解析】
【分析】 以,BA BC u u u r u u u r 为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】 222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 11,22
AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r , 211()()322
AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22111362
BC BC BA BA =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 111123622
=-⨯⨯⨯=. 故选:C.
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
8．如图，已知1OA OB ==u u u v u u u v ，2OC =u u u v ，4tan 3
AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v =+，则m n
等于（ ）
A ．57
B ．75
C ．37
D ．73
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B 、C 的坐标，利用向量相等建立关于m 、n 的方程，求解即可．
【详解】
以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：
因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55
AOB AOB ∠=-∠=，， ∴A （1，0），B （34
55
-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴41
3tan θ413
--=-=7， 又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ2，sin θ72,又2OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45
n ） 即
15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57
m n =， 故选A ．
【点睛】 本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．
9．在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且．2BP PA =，则CP CB ⋅=u u u v u u u v （ ）
A ．13
B ．12
C ．23
D ．1
【答案】C
【解析】
【分析】 利用向量的加减法及数乘运算用,CA CB u u u r u u u r 表示CP u u u v ，再利用数量积的定义得解．
【详解】
依据已知作出图形如下：
()11213333CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v . 所以221213333CP CB CA CB CB CA CB CB ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v 221211cos 13333
π=
⨯⨯⨯+⨯= 故选C
【点睛】 本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题．
10．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+等于（ ）
A 323-+
B 323+
C 31
D 31+
【答案】B
【解析】
【分析】 建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值．
【详解】
解：1AC =Q ，3AB =，30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠
=︒，
以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,12D ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． ()
3,0AB =u u u r ，()0,1AC =uu u r ， ∴13,12AD ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ， ∴13231λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴3312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
， 231λμ∴+=+． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
11．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】C
【解析】
【分析】 设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值.
【详解】
设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则
()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则
22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r ，
因为点P 为椭圆上，所以有：22143
x y +=即22334y x =-， 所以()222223132244
x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤，
所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r
的最大值为6
故选：C
【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.
12．已知向量m →，n →的夹角为60︒，且1m →=，m n →→-=n →=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
【分析】
设||n x →=，利用数量积的运算法则、性质计算即可.
【详解】
设||n x →=， 因为1m →=，向量m →，n →的夹角为60︒， 所以2
213m n x x →→-=-+=，
即220x x --=，
解得2x =，或1x =-（舍去）， 所以2n →=.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题.
13．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称，
∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点. 由24y x y x ⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，
∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14．如图，向量a b -r r 等于
A ．1224e e --u r u u r
B ．1242e e --u r u u r
C ．123e e -r u u r
D ．123e e -+r u u r 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r ，
15．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为
（ ）
A ．714-
B ．24-
C ．514-
D ．30-
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求
出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，
()
0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D
因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q
()22
2001x x +=-解得01x =-
(
E ∴-
(
C Q ，()5,0D
CD ∴所在直线的方程为y =+
因为点M 在边CD 所在直线上，故设(,M x + (
,AM x ∴=+u u u u r
(
1E x M -=--u u u r
()
1AM ME x x -∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-
242660x x =-+-
23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝
当134
x =时()max 714
AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A
【点睛】
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
16．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（ ） A ．13 B ．223- C ．23- D ．1
3
- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.
【详解】
//a b ∴r r
1cos tan sin 3
ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭
故选：D
【点睛】
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.
17．已知向量a v ，b v 满足2a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（ ）
A ．22
B ．23
C ．2
D ．2 【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方运算可求得12
a b ⋅=r r ，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】
由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ，解得：12
a b ⋅=r r 2cos ,422
a b a b a b ⋅∴<>===r r r r r r 本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
18．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．上述均不是 【答案】B
【解析】
【分析】 取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r 代入计算，再利用向量的线性运算求解．
【详解】
如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，
则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
221111()()()53326
GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，
由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r ．
19．已知1F 、2F 分别为双曲线22
146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）
A ．12
B ．
C ．24
D ．【答案】C
【解析】
【分析】 设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF
MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.
【详解】 解：设1MF m =，2MF n =， ∵1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点，
∴24m n a -==，122F F c ==
∵120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ， ∴12MF MF ⊥，
∴222440m n c +==，
∴()2222m n m n mn -=+-，
即2401624mn =-=，
∴12mn =，
解得6m =，2n =， 设2NF t =，则124NF a t t =+=+，
在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，
解得6t =， ∴628MN =+=，
∴1MF N ∆的面积111862422
S MN MF =
⋅=⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，
120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ）
A 19
B 11
C 3
D ．74
【答案】A
【解析】
【分析】 根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.
【详解】 因为11131()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6
EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216
=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916
=
， 所以19||EB =u u u r ， 故选：A
【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。