正态分布概率公式(部分)

图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线
正态曲线可用方程式表示。

当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程：
f(x)= （6.16 ）
式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14 159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ ，但对某一定总体的μ 是一个常数；δ 也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ ，但对某一定总体的δ 是一个常数。

上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ2 的正态分布”。

正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。

（二）正态分布的特性
1 、正态分布曲线是以x= μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。

因的
数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ 的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。

在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。

2 、正态分布曲线有一个高峰。

随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ 时， f(x) 最大；在（μ ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。

3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ 处有拐点。

曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。

4 、正态曲线是由μ 和δ 两个参数来确定的，其中μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ，δ 确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。

μ 和δ不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。

所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。

任何一条特定的正态曲线只有在其μ 和δ确定以后才能确定。

5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1 ，正态分布与 x 轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于 1 。

而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。

正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的μ 和δ确定。

常用的理论面积或概率如下：
区间μ ± 1 δ面积或概率 =0.6826
μ ± 2 δ =0.9545
μ ± 3 δ=0.9973
μ± 1.960δ=0.9500
μ ±2.576 δ =0.9900
图 6-3 标准差相同（δ=1 ）而平均数
图 6-4 平均数相同（μ =0 ）而标准差
不同的三条正态曲线不同的三条正态曲线
（三）正态分布的概率计算
正态分布是连续性变数的理论分布，计算其概率的原理和方法不同于二项分布。

它不能计算变量取某一定值，即某一点时的概率，而只能计算变量落在某一区间内的概率（即概率密度）。

对于任何正态分布随机变量 x 落入任意区间（ a ， b ）的概率可以表示为：P(a<x<b) 。

其概率的计算是求概率密度函数在该区间的定积分，又由于求定积分反应在几何图形上是曲线在该区间上与 x 轴所夹的面积，所以，在曲线下某区间的面积等价于某区间的概率。

对于一般的正态曲线，其概率计算公式为：
P （ a<x<b ） = （ 6.17 ）
如果将定积分的形式与结果用累积函数（或称分布函数）表示，那么，正态曲线下从 - ∞ 到 x 的面积，其式如下：
F （ x ） = （ 6.18 ）
F(x) 称为正态分布的累积函数。

现如给变数任一定值，假如 x 等于 a ，那么，随机变数 x<a 的概率为
P （ x<a ） =F （ a ） = （ 6.19 ）
根据以上的方法，如果 a 、 b(a<b) 是 x 的两个定值，则区间（ a ， b ）的概率可以从下式计算
P(a<x<b)=F(b)-F(a)= - （ 6.20 ）
由正态曲线的特性可知，对于不同的μ 和δ ，曲线就有不同的形状和位置。

在所有一系列曲线中，μ =0 、δ =1 的那条曲线是最简单的，我们把μ = 0 、δ =1 对应的曲线称为标准的正态曲线，并用变数 u 代替 x 。

曲线的方程为：Φ（ u ） = （ 6.21 ）
Φ（ u ）称为标准正态分布的概率密度函数，随机变量 u 的分布称作标准的正态分布或 u 分布，记作为 N(0 ， 1) 。

同理，对于标准正态分布，其累积函数为
F （ u ） = （ 6.22 ）
其表示在标准正态曲线下从 -∞ 到 u 之间的面积或概率。

对于一个 u 值，例如等于 a ，标准正态分布的随机变量 u 落入到区间（ -∞ ， a ）的概率可以通过上式求得。

为了计算的方便，统计学家已根据 a 值的大小绘制了标准正态分布的累积分布函数数值表（附表 2 ），通过查表就可以获得（ -∞ ， a ）的概率。

例 6-9 ：设 u 服从标准正态分布 N （ 0 ， 1 ），试求（ 1 ）随机变量 u 落入（ 0 ， 1.21 ）区间的概率；（ 2 ）随机变量 u 落入（ -1.96 ， 1.9 6 ）区间的概率；（ 3 ）随机变量 u 落入（ -2.58 ， 2.58 ）区间的概率。

P （ 0<u<1.21 ） = F (1.21) - F (0)=0.8869-0.5000=0.3869
P(-.96<u<1.96)= F (1.96) - F (-1.96)=0.9750-0.0250=0.9500
P(-2.58<u<2.58)= F (2.58) - F (-2.58)=0.99506-0.00494=0.99012
从上述计算结果可知：从 u 分布中随机抽取一个 u 值，它落入（ -1.96 ， 1.
96 ）内的概率为 95% ，落到区间外的概率为 5% ，而落到区间（ -2.58,2.58 ）外的概率更小，只有 1% 。

这说明从 u 分布中随机抽取一个 u 值，它落入到（-1.96 ， 1.96 ）之外的可能性很小，是一个小概率事件。

对于具有平均数为μ 、标准差为δ 的一般正态分布，只要将它们转化为标准的正态分布（即正态分布标准化），再查表，就很容易获得随机变量 x 落入在某个区间内的概率。

转换的方法很简单，首先将随机变量 x 标准化，（或者说将随机误差
标准化），令：
u= （ 6.23 ）
即对 x 取其离均差值，再转换成以标准差为单位的量值 u 。

此 u 值叫正态标准离差或简称正态离差。

经过转换后，原遵从正态分布N ( μ ，δ2 ) 的随机变量 x 落在（ a ， b ）区间内的概率，就等于遵从标准正态分布 N （ 0 ，
1 ）的随机变量 u 落在 ( ，) 区间内的概率。

即：
P （ a<x<b ） =F(b)-F(a)=
从正态分布 N ( μ ，δ2 ) 到标准正态分布 N （ 0 ， 1 ），从几何意义上说仅是作了坐标轴的平移和尺度单位的变换。

它带来的相应改变是：分布中心从μ处移至 0 处；尺度单位从 x 的单位变为标准差的单位（即在 N ( μ ，δ2 ) 中横轴上的一个标准差距离在 N （ 0 ， 1 ）中作为 1 ），这些改变可简化处理步骤，而不改变正态分布的基本性质。

因此，在求一般正态分布的概率时，只要将区间的上下限作适当的转换，亦同样查附表 2 即可求得概率。

例 6-10 ：假定 x ——随机变数具有正态分布，平均数μ =30 ，标准差δ =5 ，试计算 P （ x<26 ）， P(26<x<40) ， P(x>40) ？
P(x<26)=F(26)= F ((26-30)/5)= F (-0.8)=0.2119
P(26<x<40)=F(40)-F(26)= )=
= F (2.0)- F (-0.8)=0.97725-0.2119=0.7654
P(x>40)=1-F(40)=1- =1- F (2.0)=1-0.97725=0.02275。