广东省佛山市大圃中学2018-2019学年高二数学文期末试卷含解析

广东省佛山市大圃中学2018-2019学年高二数学文期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
2. 已知集合，若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
.因为，所以.所以，即，选B.
3. 直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
C
【考点】直线的倾斜角．
【分析】圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d=．利用|MN|=2，可得k的取值范围，由于k=tanθ，解出即可．
【解答】解：圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d==．
∴|MN|=2==，
解得，
∴，
设直线的倾斜角为θ，
则≤tanθ≤．
∴θ∈∪．
故选：C．
4. 在正方体中，为的交点，则与所成角的
（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
5. 设的定义域为，则函数的定义域为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
6. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若△ABC的面积
S=，则角C的大小是( )
A．90°B．60°C．45°D．30°
参考答案：
C
【考点】余弦定理的应用．
【专题】计算题；函数思想；解三角形．
【分析】直接利用三角形的面积以及余弦定理求解即可．
【解答】解：a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，
△ABC的面积S=，
可得=，
可得sinC==cosC，
∴C=45°．
故选：C．
【点评】本题考查余弦定理以及三角形的面积的求法，考查计算能力．
7. 数列，3，，，，…，则9是这个数列的第（）
A．12项B．13项C．14项
D．15项
参考答案：
C
8. 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）
A．B．C．D．2
参考答案：
B
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的定义，求出A的坐标，再计算△AOF的面积．
【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．
∵|AF|=3，
∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3
∴1+x A=3
∴x A=2，
∴y A=±2，
∴△AOF的面积为=．
故选：B．
9. 若的展开式中所有二项式系数的之和为32，则展开式中的常数项是
（）
A. －270
B. －90
C. 270
D. 90－
参考答案：
B
【分析】
由二项式定理及展开式通项公式得：，由的展开式的通项为
，令得，即可求得展开式中的常数项．
【详解】解：由的展开式中所有二项式系数的之和为32，
得，解得，
由的展开式的通项为，
令得，
即该展开式中的常数项是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属于基础题．
10. 在下列条件中，可判断平面α与β平行的是( )
A．α⊥γ，且β⊥γ
B．m，n是两条异面直线，且m∥β，n∥β，m∥α，n∥α
C．m，n是α内的两条直线，且m∥β，n∥β
D．α内存在不共线的三点到β的距离相等
参考答案：
B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】通过举反例推断A、C、D是错误的，即可得到结果．
【解答】解：A中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误．
B中，利用平面与平面平行的判定，可得正确；
C中：如果这两条直线平行，那么平面α与β可能相交，所以C错误．
D中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到β的距离相等，这两个平面相交，B错误．
故选B．
【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，是基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 以棱长为1的正方体的各个面的中心为顶点的几何体的体积为__________。

参考答案：
12. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。

当水面升高1米后，水面宽度是________米.
参考答案：
略
13. 如右图，有一个边长为2的正方形，其中有一块边长为1的正方形阴影部分，向大的正方形中撒芝麻，假设芝麻落在正方形中任何位置上的概率相等，则芝麻落在阴影区域上的概率为
参考答案：
略
14. 某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如下图)．根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是。

参考答案：
600
15. 设,,则的值是_________.
参考答案：
略
16. 命题：在上有意义，命题：函数
的定义域为．如果且为真命题，则的取值范围
为▲．
参考答案：
17. 对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如右(阴影区域及其边界)，其中为凸集的是
(写出其中所有凸集相应图形的序号)。

参考答案：
(2)(3)
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，是椭圆上任意一点，则当直线的斜率都存在时，其乘积恒为定值。

类比椭圆，写出双曲线
的类似性质，并加以证明。

参考答案：
略
19. 已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点。

（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线焦点的直线与抛物线交于不同的两点、，若，求直线的方程。

参考答案：
（1）由已知可令所求抛物线的方程为，而点在抛物线上，则，所以，故所求抛物线方程为；
（2）由（1）知。

若直线垂直于轴，则，此时，与题设不符；
若直线与轴不垂直，可令直线的方程为，再设，
由，于是，
则
令，解得，从而，所求直线的方程为。

略
20. 设函数，，其中，且.
（Ⅰ）若函数与的图像在点（1,0）处有相同的切线，求的值；
（Ⅱ）若，，判断方程在区间上的实根的个数，并加以说明；
（Ⅲ）若时，比较的大小，并证明你的结论。

参考答案：
略
21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（I）欲证平面MBD⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内
一直线与平面PAD垂直，而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD⊥平面PAD；
（II）过P作PO⊥AD交AD于O，根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知PO⊥平面ABCD，从而PO为四棱锥P﹣ABCD的高，四边形ABCD是梯形，根据梯形的面积公式求出底面积，最后用锥体的体积公式进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在△ABD中，
由于AD=4，BD=8，，
所以AD2+BD2=AB2．故AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
又BD?平面MBD，
故平面MBD⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：过P作PO⊥AD交AD于O，
由于平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．因此PO为四棱锥P﹣ABCD的高，
又△PAD是边长为4的等边三角形．因此．
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，
所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，
此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为．
故．
22. 设关于的方程
（Ⅰ）若方程有实数解，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.
参考答案：
解：（Ⅰ）原方程为，
，
时方程有实数解；-------------------------4分
（Ⅱ）①当时，，∴方程有唯一解；----6分
②当时，.
的解为；--8分令
的解为；--10分
综合①、②，得
1）当时原方程有两解：；
2）当时，原方程有唯一解；-------12分略。